高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系学案含解析新人教A版选修42

一 平面直角坐标系
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，
在变换φ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝λx λ＞y ′＝μy μ＞
的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .
求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 设出点M 的坐标(x ，y )，直接利用条件求解．
如图，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，
所以x 0＝x ，|y 0|＝1
m
|y |. ①
因为A 点在单位圆上运动， 所以x 2
0＋y 2
0＝1. ② 将①式代入②式，
即得所求曲线C 的方程为x 2
＋y 2
m
2＝1(m >0，且m ≠1)．
因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，
所以当0<m <1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2
，0)，(1－m 2
，0)； 当m >1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2
－1)，(0，m 2
－1)．
求轨迹的常用方法
(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的步骤直接求解．
(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程． (3)代入法：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，x 1，y 1的方程组，利用x ，y 表示x 1，y 1，把x 1，y 1代入已知曲线方程即为所求．
(4)参数法：动点P (x ，y )的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．
1．二次方程x 2
－ax ＋b ＝0的两根为sin θ，cos θ，求点P (a ，b )的轨迹方程
⎝
⎛⎭⎪⎫其中|θ|≤π4. 解：由已知可得
⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝sin θ＋cos θ， ①
b ＝sin θcos θ. ②
①2－2×②，得a 2
＝2b ＋1.
∵|θ|≤π4，由sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，
知0≤a ≤ 2.
由sin θcos θ＝12sin 2θ，知|b |≤1
2
.
∴点P (a ，b )的轨迹方程是a 2
＝2b ＋1(0≤a ≤2)．
2．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，求点A 的轨迹方程．
解：取BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则D (0,0)，
B (－2,0)，
C (2,0)．
设A (x ，y )为所求轨迹上任意一点， 则|AD |＝x 2
＋y 2
.
又|AD |＝3，
∴x 2
＋y 2
＝3，即x 2
＋y 2
＝9(y ≠0)． ∴点A 的轨迹方程为x 2
＋y 2
＝9(y ≠0).
由于△ABC 为等腰三角形，故可以BC 为x 轴，以BC 中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．
如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角
坐标系．
设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )． 则直线AC 的方程为
y ＝－h
a
x ＋h ，
即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h a
x ＋h ， 即：hx －ay ＋ah ＝0.
由点到直线的距离公式，得|BD |＝|2ah |
a 2＋h 2
，
|CE |＝
|2ah |
a 2＋h 2
.
∴|BD |＝|CE |，即BD ＝CE .
建立平面直角坐标系的原则
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
3．求证等腰梯形对角线相等．
已知：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC .求证：AC ＝BD .
证明：取BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设A (－a ，h )，B (－b,0)， 则D (a ，h )，C (b,0)． ∴|AC |＝b ＋a 2
＋h 2
，
|BD |＝
a ＋b
2
＋h 2
.
∴|AC |＝|BD |，
即等腰梯形ABCD 中，AC ＝BD .
4．已知△ABC 中，D 为边BC 的中点，求证：AB 2
＋AC 2
＝2(AD 2
＋BD 2
)． 证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标
系xOy ，则A (0,0)．
设B (a,0)，C (b ，c )， 则D ⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 2
，c 2，
所以AD 2
＋BD 2
＝
a ＋b
2
4
＋c 24
＋a －b
2
4
＋c 2
4
＝12(a 2＋b 2＋c 2
)， 又AB 2
＋AC 2
＝a 2
＋b 2
＋c 2
， 所以AB 2
＋AC 2
＝2(AD 2
＋BD 2
).
求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2
＝1变成曲线9＋
4
＝1.
设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换．
设变换为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝λ
x ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.
代入方程x ′29＋y ′2
4＝1，得λ2x 2
9＋μ2y
2
4＝1.
与x 2
＋y 2
＝1比较，将其变形为
λ29x 2＋μ2
4
y 2
＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝3x ，y ′＝2y .即将圆x 2＋y 2
＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的
2倍，可得到椭圆
x ′29
＋
y ′2
4
＝1.
坐标伸缩变换φ：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝λ
x ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0.
注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，
平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知变换前、后曲线方程也可求伸缩变换φ.
5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2
＋9y 2
＝36变成曲线x ′2
＋y ′2
＝1.
解：设变换为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝λ
x ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，
可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2
＝1.将
4x 2＋9y 2
＝36变为 436x 2＋936
y 2＝1，
即19x 2＋14y 2＝1，与λ2x 2＋μ2y 2
＝1比较， 比较系数得λ＝13，μ＝12
.
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ′＝1
3
x ，
y ′＝1
2y ，
即将椭圆4x 2＋9y 2
＝36上的所有点的横坐标变为原来的13
，纵坐标
变为原来的12
，可得到圆x ′2＋y ′2
＝1.
6．求4x 2
－9y 2
＝1经过伸缩变换⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2x ，
y ′＝3y 后的图形所对应的方程．
解：由伸缩变换⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2x ，
y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
2x ′，y ＝1
3y ′，
将其代入4x 2－9y 2
＝1，
得4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′2－9⎝ ⎛⎭
⎪⎫13y ′2
＝1.
整理，得x ′2－y ′2
＝1.
∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x ′2
－y ′2
＝1.
课时跟踪检测(一)
一、选择题
1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆 D ．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．
2．已知线段BC 长为8，点A 到B ，C 两点距离之和为10，则动点A 的轨迹为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线
解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A 的轨迹为一椭圆．
3．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )
A ．y 2
＝8x B ．y 2
＝－8x C ．y 2
＝4x D ．y 2＝－4x
解析：选B 由题意，得MN ―→＝(4,0)，MP ―→＝(x ＋2，y )，NP ―→＝(x －2，y )，由|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，
得4
x ＋
2
＋y 2＋4(x －2)＝0，整理，得y 2
＝－8x .
4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2x ′y ＝1
3
y ′ B.⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝2x y ′＝1
3y C.⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2x ′
y ＝3y ′ D.⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2x
y ′＝3y
解析：选B 设⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝λ
x ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，
则μy ＝sin λx ，
即y ＝1
μ
sin λx .
比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsin λx ，则有1
μ
＝3，λ＝2.
∴μ＝1
3，λ＝2.∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝1
3y .
二、填空题
5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为________．
解析：由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2x ，
y ′＝3y ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
2x ′，y ＝1
3y ′，
代入y ＝cos x ，
得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos 1
2x ′. 答案：y ＝3cos
x ′
2
6．把圆X 2
＋Y 2
＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x 2
＋y 2
16
＝1，则坐标变换公式是________．
解析：设⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝λ
X λ，y ＝μY
μ
，
则⎩⎪⎨⎪⎧
X ＝x λ，Y ＝y
μ.
代入X 2＋Y 2
＝16得 x 216λ2＋y 2
16μ
2＝1.
∴16λ2
＝1,16μ2
＝16. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，
μ＝1.
故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝X 4，
y ＝Y .
答案：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝X 4
，y ＝Y
7．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则点A 的轨迹方程为________． 解析：∵△ABC 的周长为10，
∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6＞4.
∴点A 轨迹为椭圆除去B ，C 两点，且2a ＝6,2c ＝4. ∴a ＝3，c ＝2，b 2
＝5.
∴点A 的轨迹方程为x 29＋y 2
5＝1(y ≠0)． 答案：x 29＋y 2
5＝1(y ≠0)
三、解答题
8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2
－36y 2
－8x ＋12＝0变成曲线x ′2
－y ′2
－4x ′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解：x 2－36y 2
－8x ＋12＝0可化为⎝
⎛⎭
⎪⎫x －422－9y 2＝1.①
x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.② 比较①②，可得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x 2，
y ′＝3y .
所以将曲线x 2－36y 2
－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3
倍，就可得到曲线x ′2
－y ′2
－4x ′＋3＝0的图象．
9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝1
2
|BC |.
证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c )．
则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2，c
2. 由于|BC |＝b 2
＋c 2
， |AM |＝
b 24＋
c 24＝1
2
b 2＋
c 2
， 故|AM |＝1
2
|BC |.
10．如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2
1，b <t 1<a .点
A 1，A 2分别为C 0的左、右顶点，动圆C 1与椭圆C 0相交于A ，
B ，
C ，
D 四点．求直线AA 1与直
线A 2B 交点M 的轨迹方程．
解：设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)， 则直线A 1A 的方程为y ＝y 1
x 1＋a
(x ＋a )，①
直线A 2B 的方程为y ＝
－y 1
x 1－a
(x －a )．② 由①②，得y 2
＝－y 2
1x 21－a
2(x 2－a 2
)．③
由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21
b
2＝1.
从而y 21
＝b 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
1a 2，代入③，得 x 2a 2－y 2
b 2
＝1(x <－a ，y <0)，此方程即为点M 的轨迹方程． 敬请批评指正。