数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第1讲函数图象与性质含解析

专题六函数与导数
第1讲函数图象与性质
高考定位1。

以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3。

函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。

真题感悟
1。

(2020·全国Ⅱ卷）设函数f（x)＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜，则f(x)(）
A。

是偶函数，且在错误!单调递增
B。

是奇函数，且在错误!单调递减
C。

是偶函数，且在错误!单调递增
D。

是奇函数，且在错误!单调递减
解析f(x）＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜的定义域为错误!.
∵f（－x)＝ln|－2x＋1｜－ln｜－2x－1|＝ln|2x－1｜－ln|2x＋1|＝－f（x），
∴f(x）为奇函数,故排除A,C。

又当x∈错误!时，
f(x）＝ln（－2x－1)－ln（1－2x）＝ln 错误!＝ln 错误!＝ln 错误!，∵y＝1＋错误!在错误!上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在错误!上单调递减。

故选D.
答案D
2。

（2019·全国Ⅰ卷)函数f（x）＝错误!在[－π,π］的图象大致为()
解析显然f(－x）＝－f(x），x∈[－π，π],所以f(x)为奇函数，排除A；
又当x＝π时，f（π）＝错误!〉0，排除B，C，只有D适合.
答案D
3.（2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）单调递减，且f（2)＝0,则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是(）
A.［－1，1］∪[3，＋∞）
B.[－3,－1]∪［0,1］
C.[－1，0]∪[1,＋∞）
D.[－1,0]∪［1，3]
解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0。

又f（x）在（－∞,0）单调递减，且f（2)＝0，画出函数f（x）的大致图象如图（1）所示,则函数f(x－1）的大致图象如图（2）所示。

当x≤0时，要满足xf(x－1）≥0,则f（x－1）≤0，
得－1≤x≤0.
当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1)≥0，
得1≤x≤3。

故满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1，3].
故选D。

答案D
4.(2019·全国Ⅱ卷)已知f（x)是奇函数，且当x〈0时，f(x）＝－
e ax，若f(ln 2）＝8，则a＝________.
解析依题意得,当x>0时，f（x)＝－f（－x）＝－（－e－ax)＝e －ax，
所以f(ln 2)＝e－a ln 2＝（e ln 2)－a＝2－a＝8。

解得a＝－3。

答案－3
考点整合
1。

函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换。

(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究。

(3)函数图象的对称性
①若函数y＝f（x)满足f(a＋x）＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x),则y ＝f（x)的图象关于直线x＝a对称；
②若函数y＝f（x)满足f（a＋x）＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a －x)，则y＝f（x)的图象关于点（a，0)对称。

2。

函数的性质
（1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质。

证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则。

(2）奇偶性:①若f (x )是偶函数,则f (x )＝f （－x ).
②若f （x )是奇函数，0在其定义域内，则f （0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.
(3）周期性：①若y ＝f （x ）对x ∈R ,f （x ＋a ）＝f (x －a ）或f （x ＋2a )＝f (x )(a >0）恒成立，则y ＝f （x )是周期为2a 的周期函数. ②若y ＝f (x ）是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f （x )是周期为2|a ｜的周期函数。

③若y ＝f (x ）是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x ）是周期为4|a |的周期函数.
④若f （x ＋a ）＝－f (x ）（）或f （x ＋a ＝1f (x )），则y ＝f （x )是周期为2｜a |的周期函数.
易错提醒 错用集合运算符号致误:函数的多个单调区间若不连续,不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接。

热点一 函数及其表示
【例1】 （1）(2020·合肥质检）函数f (x ）＝错误!＋ln （3x －1)的定义域为( ）
A 。

错误!
B 。

错误!
C。

错误!D。

错误!
（2)（2020·西安模拟)已知函数f（x）＝错误!若f(－1）＝3，则不等式f（x）≤5的解集为（）
A。

[－2，1] B.［－3，3]
C.[－2,2]
D.［－2,3]
解析（1）要使函数f（x）＝错误!＋ln(3x－1）有意义，则错误!解得错误!＜x≤错误!.
∴f（x)的定义域为错误!。

(2)∵f（x）＝错误!
f(－1)＝3,
∴f（－1)＝a－1＋1＝3,则a＝错误!，
故f（x)＝错误!
由f（x）≤5,∴当x＞0时,2x－1≤5,解得0＜x≤3,
当x≤0时，错误!错误!＋1≤5，－2≤x≤0.
综上，不等式f(x）≤5的解集为［－2，3］.
答案(1）B（2)D
探究提高 1.（1）给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式（组）求解即可.
（2)抽象函数:根据f(g(x）)中g(x)的范围与f（x）中x的范围相同求解。

2.对于分段函数求值或解不等式问题,一定要根据变量的取值条件进行分段讨论。

【训练1】(1）(2020·成都诊断）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号，用其名字命名的
“高斯函数"为：设x∈R，用［x］表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，［1.5］＝1。

已知函数f(x）＝错误!×4x－3×2x＋4（0＜x＜2)，则函数y＝［f（x）]的值域为()
A。

错误! B.｛－1，0，1｝
C.{－1，0，1,2｝D。

｛0，1，2｝
(2)设函数f（x)＝错误!则满足f(x＋1）<f(2x)的x的取值范围是（）
A。

(－∞,－1] B.(0，＋∞）
C。

（－1，0）D。

（－∞,0)
解析（1)令t＝2x，t∈（1，4），则f（t)＝错误!t2－3t＋4,t∈（1，4）.由二次函数性质，－错误!≤f(t)＜错误!，因此[f（t）］∈｛－1，0，1｝。

则函数y＝[f(x）］的值域为｛－1，0，1}。

(2）当x≤0时，函数f(x）＝2－x是减函数,则f（x)≥f(0）＝1.作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f（x＋1)＜f （2x)，则需错误!或错误!所以x〈0。

答案（1）B(2）D
热点二函数的图象及应用
【例2】（1)(2020·浙江卷）函数y＝x cos x＋sin x在区间［－π，π］上的图象可能是（)
（2）设函数f(x）＝错误!若函数y＝f（x)在区间(a，a＋1)上单调递增,则实数a的取值范围是()
A。

（－∞，1] B。

［1，4]
C.［4，＋∞) D。

(－∞，1]∪[4,＋∞）解析（1)因为f(x)＝x cos x＋sin x，则f(－x）＝－x cos x－sin x ＝－f（x),又x∈[－π，π]，所以f(x）为奇函数，其图象关于坐标原点对称,则C，D错误。

且x＝π时，y＝πcos π＋sin π＝－π＜0，知B错误，只有A满足.
（2）作出函数f（x）的图象如图所示，由图象可知，要使f（x）在（a，a＋1）上单调递增，
需满足a≥4或a＋1≤2。

因此a≥4或a≤1.
答案(1)A(2)D
探究提高 1.函数图象的辨识可从以下方面入手：（1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置。

（2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势。

(3)从函数
的奇偶性,判断图象的对称性。

（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象。

利用上述方法排除、筛选选项.
2。

(1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质。

(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】（1)(2019·全国Ⅲ卷）函数y＝错误!在［－6,6］的图象大致为（)
（2)（2020·北京卷）已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是（）
A。

（－1，1） B.（－∞，－1）∪(1，＋∞)
C.(0,1）D。

（－∞，0)∪(1，＋∞）
解析(1）因为y＝f（x）＝
2x3
2x＋2－x，x∈[－6，6］，
所以f(－x)＝错误!＝－错误!＝－f（x)，
所以f(x)是奇函数，排除选项C。

当x＝4时，y＝错误!＝错误!∈(7,8），排除A，D项，B正确.
（2)在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g（x)＝x＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0,1）和(1，2）.
又f（x)＞0等价于2x＞x＋1，
结合图象,可得x＜0或x＞1.
故f(x)＞0的解集为（－∞，0）∪(1，＋∞）。

故选D.
答案（1)B(2）D
热点三函数的性质及应用
角度1函数的周期性、奇偶性
【例3】（1）(2020·淄博二模）偶函数f(x）的图象关于点（1，0）对称,当－1≤x≤0时，f（x)＝－x2＋1，则f（2 020)＝() A。

2 B。

0 C。

－1 D。

1
（2)（多选题）(2020·淄博质检）已知函数f（x)的定义域为R，且f（x＋1)是偶函数，f（x－1)是奇函数，则下列说法正确的是(）
A。

f(7）＝0
B.f（x)的一个周期为8
C.f（x）图象的一个对称中心为(3，0)
D.f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2 019
解析（1）∵f（x)为偶函数,∴f（x）的图象关于直线x＝0对称,
又f(x)的图象关于点(1，0)对称，
∴f（x）的周期T＝4｜1－0｜＝4.
∴f(2 020）＝f（2 020－4×505）＝f(0)，
又当－1≤x≤0时，f(x）＝－x2＋1。

故f(2 020）＝f(0)＝1。

（2)依题意知，直线x＝1是f（x)图象的一条对称轴，（－1,0)是f（x)图象的一个对称中心，又因为f(x＋1)是偶函数,f(x－1）是奇函数，所以f(x＋1）＝f（－x＋1)，f(x－1)＝－f（－x－1)，所以f（x)＝f（－x＋2）,f（x)＝－f（－x－2)，所以f（－x＋2)＝－f（－x－2）,所以f（x＋2)＝－f（x－2）,∴f（x）＝－f（x －4)＝－[－f（x－8）]＝f（x－8)，所以f(x)是周期函数，且8为函数f(x)的一个周期，故B正确；f(7）＝f（－1)＝0,故A正确；因为f(x)图象上每隔4个单位长度出现一个对称中心，所以点（3,0）是函数f(x）图象的一个对称中心，故C正确；x＝2 019＝8×252＋3，所以直线x＝2 019不是函数f(x）图象的对称轴，故D错误,故选ABC.
答案(1）D（2）ABC
角度2函数的单调性与最值
【例4】（1）(2020·福州质检）已知定义域为R的函数f（x）满足f（－x）－f（x）＝0，且当x≥0时,f(x）＝错误!－2－x，设a ＝f（－31。

2），b＝f（3－0。

2），c＝f(log30.2）,则（)
A.c＞b＞a
B.a＞b＞c
C.c＞a＞b
D.a＞c＞b
（2）（2020·东北三省三校联考）已知定义在R上的函数f(x）满足f（x）＝f（－x）,且f（x）在(－∞，0]上单调递减，若不等式f（ax＋2）≤f（－1）对于任意x∈［1，2］恒成立,则a的最大值为________.
解析（1）由f(－x）－f(x）＝0及函数f（x）的定义域为R，
知f(x)是偶函数，易知f(x)＝x－2－x在[0，＋∞)上单调递增.
因为a＝f(－31。

2)＝f(31。

2），c＝f（log30。

2)＝f错误!＝f(－log35）＝f(log35),
且31。

2＞3,1＝log33＜log35＜log327＝3，0＜3－0。

2＜1,
即31.2＞log35＞3－0.2＞0，
所以f（31。

2）＞f（log35)＞f(3－0.2），即a＞c＞b。

(2)由于f(x）满足f(x)＝f(－x），且函数f(x）的定义域为R，可知f（x）的图象关于y轴对称，
∵f（x）在（－∞，0]上单调递减，
∴f(x）在[0,＋∞）上单调递增.
根据f(x）的图象特征可得－1≤ax＋2≤1在［1，2]上恒成立，得－错误!≤a≤－错误!在[1，2]上恒成立。

所以－3
2≤a≤－1,故a的最大值为－1.
答案（1)D（2)－1
探究提高1。

利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.
2。

函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.
【训练3】(1）（2020·贵阳调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f （2－x)＝f(x)，且当－1≤x＜0时，f(x）＝2x－1，则f（log220）＝(）
A.错误!B。

错误!C。

－错误! D.－错误!
(2)（多选题）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时,有f(x＋1）＝－f(x)，且当x∈［0，1）时，f（x)＝log2(x＋1)，下列命题正确的是(）
A.f(2 019）＋f(－2 020）＝0
B.函数f（x)在定义域上是周期为2的函数
C.直线y＝x与函数f(x)的图象有2个交点
D。

函数f(x）的值域为（－1，1)
解析（1）依题意，知f(2＋x)＝f（－x)＝－f(x)，则f(4＋x）＝f（x)，所以f（x)是周期函数,且周期为4。

又2＜log25＜3,则－1＜2－log25＜0,
所以f(log220)＝f（2＋log25）＝f(log25－2)
＝－f（2－log25）＝－（22－log25－1）＝－错误!＝错误!.
（2）根据题意，当x≥0时，有f（x＋1）＝－f(x），且当x∈[0，1)时，f（x)＝log2（x＋1），又由f（x）为奇函数，则f（x)的部分图象如图。

对于A,当x≥0时，有f（x＋1）＝－f（x)，则f（x ＋2）＝－f（x＋1)＝f（x)，即f（x＋2)＝f（x).当x∈[0，1)时，f(x）＝log2（x＋1),则f（0）＝log21＝0，f（1)＝－f（0）＝0,
又f（2 019）＝f(1)＝0，f（2 020）＝f（0）＝0，f(x）为奇函数，所以f(－2 020)＝－f(2 020)＝0，故f（2 019）＋f(－2 020）＝0，故A正确；对于B,由于f错误!＝f错误!＝－f错误!＝－log2错误!,f错误!＝－f错误!＝－log2错误!，∴f错误!≠f错误!，即周期不是2，B错误;对于C，
如图，直线y＝x与函数f（x）的图象有1个交点,其坐标为（0，0），C错误；对于D,函数f（x)的值域为（－1，1)，D正确。

故选AD.
答案(1）B（2）AD
A级巩固提升
一、选择题
1。

设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x)＝e x－1，则当x<0时，f（x）＝()
A.e－x－1
B.e－x＋1
C。

－e－x－1 D.－e－x＋1
解析设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝e－x－1,
又f（x)为奇函数，∴f（x）＝－f(－x)＝1－e－x.
答案D
2.已知f(x)是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f（1＋x)。

若f（1)＝2，则f(1）＋f（2）＋f(3）＋…＋f（50)＝(）A.－50 B。

0 C.2 D.50
解析法一∵f(x）是定义域为（－∞，＋∞)的奇函数，
且f(1－x)＝f（1＋x）＝－f(x－1），
∴f（4＋x）＝f（x）,∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，
又f（0）＝0，知f（2)＝f(0），f（4)＝f（0）＝0，
由f(1）＝2，知f（－1）＝－2，
则f(3）＝f(－1）＝－2,
从而f(1）＋f(2)＋f（3)＋f(4)＝0，
故f(1)＋f(2）＋f（3)＋f(4）＋…＋f（50）＝12×0＋f（49)＋f(50)＝f（1）＋f(2)＝2，故选C.
法二由题意可设
f（x)＝2sin错误!，作出f（x)的部分图象如图所示。

由图可知，f(x）的一个周期为4，所以f(1）＋f(2)＋f(3）＋…＋f(50）＝12［f(1）＋f（2)＋f(3）＋f(4）]＋f（49)＋f（50）＝12×0＋f（1)＋f(2）＝2.
答案C
3.(2020·江南十校模拟)函数f(x）＝错误!在错误!上的图象大致为（)
解析根据题意，有f（－x）＝－错误!＝－f(x），且定义域关于原点对称，
则在错误!上f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B；又在区间错误!上，x＞0，cos x＞0，2x＞0,2－x＞0，
则f（x)＞0，排除D,只有C适合。

答案C
4.（多选题)函数f(x)＝错误!则关于函数f(x）的说法正确的是()
A.定义域为R
B.值域为（－3,＋∞）
C.在R上为增函数
D.只有一个零点
解析f（x）＝｛e x－3，x＜1，，ln x，x≥1，∴f(x)的定义域为R，值域为(－3,e－3）∪[0，＋∞),且e－3＜0，∴f（x)在R上为增函数，且f(1）＝0,∴f(x)只有一个零点.故ACD正确，B不正确.答案ACD
5。

(2019·全国Ⅲ卷)设f(x）是定义域为R的偶函数,且在(0，＋∞）单调递减,则(）
A。

f错误!〉f(2－错误!)>f（2－错误!)
B.f错误!〉f（2－错误!)〉f（2－错误!)
C。

f(2－错误!）〉f(2－错误!)>f错误!
D.f（2－错误!）>f(2－错误!)>f错误!
解析因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f错误!＝f（－log34）＝f（log34).
又因为log34〉1>2－错误!〉2－错误!〉0，且函数f(x）在(0，＋∞)上单调递减,
所以f(log34)〈f(2－错误!）<f(2－错误!)。

答案C
6。

(多选题)已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x＋y）＝f（x)＋f(y）＋错误!，且f错误!＝0，当x>错误!时，f(x）〉0，则以下结论正确的是（）
A。

f（0）＝－错误!,f（－1)＝－错误!
B。

f(x)为R上的减函数
C.f（x)＋错误!为奇函数
D。

f（x）＋1为偶函数
解析由已知，令x＝y＝0,得f(0）＝f（0）＋f（0）＋错误!，∴f(0)＝－错误!,令x＝错误!,y＝－错误!,得f错误!＝f错误!＋f错误!＋错误!，∴f错误!＝－1，再令x＝y＝－错误!,得f错误!＝f错误!＋f错误!＋错误!,
∴f(－1）＝－错误!，A正确；取y＝－1，得f（x－1)＝f(x)＋f(－1）＋错误!，∴f(x－1)－f(x)＝－1〈0，即f(x－1)〈f（x），∵x－1<x，∴f(x）不是R上的减函数,B错误;令y＝－x，得f（x－x)＝f（x)＋f(－x）＋错误!，
∴错误!＋错误!＝0，故C正确；令g(x)＝f(x)＋错误!，由C可知g(x）为奇函数,∴g（－x）＋错误!＝－g(x）＋错误!，即错误!＋错误!＝－错误!＋错误!，∴f(－x）＋1＝－f（x）,故D错误.
答案AC
二、填空题
7.(2020·郑州模拟）已知f(x）＝e x＋e ax是偶函数，则f(x)的最小值为________。

解析∵f(x)＝e x＋e ax是偶函数，∴f（1)＝f（－1)，得e＋e a＝e －1＋e－a，则a＝－1。

所以f（x）＝e x＋e－x≥2错误!＝2.当且仅当x＝0时取等号.
故函数f（x）的最小值为2.
答案2
8.（2020·合肥模拟)已知奇函数f(x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)＜0的解集为________.
解析∵xf（x)＜0，∴x和f（x)异号，由于f(x）为奇函数,补齐函数的图象如图。

当x∈(－2，－1）∪(0，1）∪（2,＋∞）时，f（x)＞0，
当x∈(－∞，－2)∪（－1，0）∪（1，2）时，f(x）＜0，
∴不等式xf(x)＜0的解集为(－2，－1)∪(1，2）。

答案（－2，－1)∪(1,2)
9。

已知函数f（x）＝x2－x－1
x＋1,g（x）＝－e
x－1－ln x＋a对任意
的x1∈［1，3]，x2∈［1，3]恒有f(x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是________。

解析f(x)＝（x＋1）2－3（x＋1）＋1
x＋1＝（x＋1）＋错误!－3。

易知x∈[1，3］时，f′(x）＝1－错误!>0，∴f（x）在[1，3]上是增函数,f（x）min＝f(1）＝－错误!.
又g（x）在[1，3]上是减函数，知g（x)max＝g（1）＝a－1.
若恒有f（x1)≥g(x2)成立,则－错误!≥a－1，∴a≤错误!.
答案错误!
三、解答题
10。

已知函数f（x)＝a－错误!.
（1)求f（0）；
(2)探究f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3)若f(x）为奇函数,解不等式f(ax）〈f（2).
解（1)f(0）＝a－错误!＝a－1.
(2）f(x)在R上单调递增，证明如下:
∵f(x）的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1〈x2,
则f(x1)－f(x2）＝a－错误!－a＋错误!
＝错误!，
∵y＝2x在R上单调递增且x1〈x2,
∴0〈2x1〈2x2，∴2x1－2x2〈0，2x1＋1〉0，2x2＋1〉0。

∴f（x1）－f（x2)〈0，即f(x1）<f(x2)。

∴f(x)在R上单调递增。

（3）∵f(x)是奇函数，∴f（－x)＝－f（x），
即a－错误!＝－a＋错误!，解得a＝1（经检验符合题意).
∴f(ax)〈f(2)即为f（x）<f（2），
又∵f(x）在R上单调递增，∴x<2。

∴不等式的解集为（－∞,2）。

B级能力突破
11.(2020·福州模拟）已知函数f（x＋1)是定义在R上的偶函数，∀x1，x2∈[1,＋∞），且x1≠x2,都有（x1－x2）·［f(x2)－f（x1)］＜0，则不等式f(－2x＋1＋1）＜f(5)的解集为________。

解析因为函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数,
所以f(x＋1)的图象关于y轴对称.
因为f(x）的图象向左平移1个单位长度得到f（x＋1）的图象，所以f（x）的图象关于直线x＝1对称。

因为∀x1,x2∈［1，＋∞），且x1≠x2,
都有（x1－x2)［f（x2)－f(x1）］＜0，
所以函数f(x)在[1,＋∞）上单调递增，
由此可得函数f（x)在（－∞，1)上单调递减.
因为f（－2x＋1＋1）＜f（5），
且f（5）＝f(－3）,－2x＋1＋1＜1，
所以－2x＋1＋1＞－3，即2x＋1＜4，解得x＜1，
所以所求不等式的解集为(－∞，1)。

答案(－∞，1）
12。

已知函数f（x）＝x2－2ln x，h（x)＝x2－x＋a。

（1）求函数f(x）的极值；
（2)设函数k（x）＝f(x）－h(x），若函数k（x）在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围。

解（1)函数f（x)的定义域为（0，＋∞)，令f′(x）＝2x－错误!＝0，得x＝1。

当x∈(0，1)时,f′（x）＜0，当x∈(1,＋∞)时,f′（x)＞0,
所以函数f（x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值.
（2）k（x)＝f（x）－h(x）＝x－2ln x－a（x＞0),
所以k′（x)＝1－错误!，
令k′(x）＞0,得x＞2，所以k（x）在[1，2)上单调递减，在（2，3］上单调递增，
所以当x＝2时，函数k（x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a.
因为函数k（x)＝f(x）－h(x)在区间［1，3]上恰有两个不同零点，即有k（x）在［1，2）和（2，3］内各有一个零点，
所以错误!即有错误!
解得2－2ln 2<a≤3－2ln 3.
所以实数a的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3］。