北京市丰台区2020年中考数学综合练习一(含解析)

北京市丰台区2020年中考数学综合练习（一）
一．选择题（共8小题）
1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数将不少于16000000次．将16000000科学记数法表示应为（）
A．16×106B．1.6×107C．0.16×108D．1.6×108
3．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）
A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0D．﹣a＞b
4．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
5．若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
6．如果a2+3a﹣2＝0，那么代数式（）的值为（）A．1B．C．D．
7．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）1617181920
重物重量x（kg）0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（）
A．22.5B．25C．27.5D．30
8．为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y轴上动
点M的纵坐标y m表示学生的期中考试成绩，直线x＝10上动点N的纵坐标y n表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x＝6的交点为P，则点P的纵坐标y p就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是（）
A．①③B．②③C．②D．③
二．填空题（共8小题）
9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为．
10．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1～6这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为．
11．能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是．
13．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y 尺，可列方程组为．
14．如图，在▱ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，则的值是．
15．为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：
种类一日票二日票三日票五日票七日票单价（元/张）2030407090
某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为元．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D 是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为．
三．解答题（共8小题）
17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．
求作：直线PE，使得PE∥BC．
作法：如图2．
①在直线BC上取一点A，连接P A；
②作∠P AC的平分线AD；
③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；
④作直线PE．
所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AD平分∠P AC，
∴∠P AD＝∠CAD．
∵P A＝PE，
∴∠P AD＝，
∴∠PEA＝，
∴PE∥BC．（）（填推理依据）．
18．计算：（）﹣1﹣6tan30°﹣（﹣1）0+．
19．解不等式组：．
20．关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．21．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、
F、G，连接DE、DG．
（1）求证：四边形DGCE是菱形；
（2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，ED＝6，求BG的长．
22．如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC．
（1）求证：OC⊥OB；
（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．
23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝（x＞0）交于点A（2，n）．
（1）求n及k的值；
（2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．
24．某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：
b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10≤x＜20，20≤x＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x≤70）：
c．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x＜40这一组的是：
30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为分；
（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有人，其中单程不少于60分钟的有人．
25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．
（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD 和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．
26.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C
关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．
（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．
27.在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的
最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）
①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是E、F；
②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为（﹣3，3）；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；
②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
2．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数将不少于16000000次．将16000000科学记数法表示应为（）
A．16×106B．1.6×107C．0.16×108D．1.6×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将16000000用科学记数法表示为：1.6×107．
故选：B．
3．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）
A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0D．﹣a＞b
【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由数轴可得，
﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴a＜b，故选项A错误，
|a|＞|b|，故选项B错误，
ab＜0，故选项C错误，
﹣a＞b，故选项D正确，
故选：D．
4．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°，
由翻折不变性可知：∠2＝∠4＝（180°﹣80°）＝50°，
故选：A．
5．若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【分析】首先可求得每个外角为60°，然后根据外角和为360°即可求得多边形的边数．【解答】解：180°﹣120°＝60°，
360°÷60°＝6．
故选：C．
6．如果a2+3a﹣2＝0，那么代数式（）的值为（）A．1B．C．D．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝，
由a2+3a﹣2＝0，得到a2+3a＝2，
则原式＝，
故选：B．
7．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）1617181920
重物重量x（kg）0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（）
A．22.5B．25C．27.5D．30
【分析】根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x＝5时，代入函数解析式求值即可．
【解答】解：设弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系式为L＝kx+b，
将（0.5，16）、（1.0，17）代入，得：，
解得：，
∴L与x之间的函数关系式为：L＝2x+15；
当x＝5时，L＝2×5+15＝25（cm）
故重物为5kg时弹簧总长L是25cm，
故选：B．
8．为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y轴上动点M的纵坐标y m表示学生的期中考试成绩，直线x＝10上动点N的纵坐标y n表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x＝6的交点为P，则点P的纵坐标y p就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是（）
A．①③B．②③C．②D．③
【分析】根据题意在坐标系中画出对应的图象即可．
【解答】解：
如图所示：
①中，与x＝6的交点大于75，故错误
②中，乙与x＝6的交点大于甲与x＝6的交点，所以期末总评成绩乙大于甲，正确
③中，由图象可知，期末总评成绩占60%，故错误
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
10．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1～6这六个整数，投掷这个正方体一次，
则向上一面的数字是偶数的概率为．
【分析】由质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有3种情况，
∴投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的概率为：＝．
故答案为：．
11．能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是0（答案不唯一）．【分析】举出一个能使得ac＝bc或ac＜bc的一个c的值即可．
【解答】解：若a＞b，当c＝0时ac＝bc＝0，
故答案为：0（答案不唯一）．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是60°．
【分析】根据垂径定理求出＝，求出、、的度数，即可求出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
即、、的度数是＝120°，
∴∠ACD＝°＝60°，
故答案为：60°．
13．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，
不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y 尺，可列方程组为．
【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：y﹣x ＝4.5；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；
组成方程组即可．
【解答】解：根据题意得：；
故答案为：．
14．如图，在▱ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，则的值是．
【分析】由△EDF∽△CBF，可得＝，由此即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．AD＝BC，
设AD＝3a，则AE＝a，
∵DE∥BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴＝＝＝
故答案为．
15．为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：
种类一日票二日票三日票五日票七日票单价（元/张）2030407090
某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为80元．【分析】分5种方案计算费用比较即可．
【解答】解：连续6天不限次数乘坐地铁有5种方案
方案①：买一日票6张，费用20×6＝120（元）
方案②：买二日票3张：30×3＝90（元）
方案③：买三日票2张：40×2＝80（元）
方案④：买一日票1张，五日票1张：20+70＝90（元）
方案⑤：买七日票1张：90元
故方案③费用最低：40×2＝80（元）
故答案为80．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D 是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为4．
【分析】连接CD．根据直角三角形斜边中线的性质求出CD＝A′B′＝2，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：连接CD，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝4，
∵DB′＝DA′，
∴CD＝A′B′＝2，
∴BD≤CD+CB＝4，
∴BD的最大值为4，
故答案为4．
三．解答题（共8小题）
17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．
求作：直线PE，使得PE∥BC．
作法：如图2．
①在直线BC上取一点A，连接P A；
②作∠P AC的平分线AD；
③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；
④作直线PE．
所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AD平分∠P AC，
∴∠P AD＝∠CAD．
∵P A＝PE，
∴∠P AD＝∠PEA，
∴∠PEA＝∠CAD，
∴PE∥BC．（内错角相等两直线平行）（填推理依据）．
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义求解可得．
【解答】解：（1）如图所示：直线PE即为所求．
（2）证明：∵AD平分∠P AC，
∴∠P AD＝∠CAD．
∵P A＝PE，
∴∠P AD＝∠PEA，
∴∠PEA＝∠CAD，
∴PE∥BC．（内错角相等两直线平行）．
故答案为：∠PEA，∠CAD，内错角相等两直线平行．
18．计算：（）﹣1﹣6tan30°﹣（﹣1）0+．
【分析】原式利用零指数幂、负整式指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝2﹣6×﹣1+2＝1．
19．解不等式组：．
【分析】分别求得各不等式的解集，然后求得公共部分即可．
【解答】解：
由①得x≤2；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
20．关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．【分析】（1）先求出判别式△的值，再根据“△”的意义证明即可；
（2）根据求根公式得出x1＝3，x2＝﹣m，即可求出m的值和方程的根．
【解答】（1）证明：△＝（m﹣3）2﹣4×1×（﹣3m），
＝m2﹣6m+9+12m，
＝（m+3）2，
无论m取任何实数，（m+3）2≥0，即△≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵△＝（m+3）2，由求根公式，得
，，
原方程的根为：x1＝3，x2＝﹣m，
∵方程的两个根都是整数，
∴取m＝1，方程的两根为x1＝3，x2＝﹣1．
21．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、
F、G，连接DE、DG．
（1）求证：四边形DGCE是菱形；
（2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，ED＝6，求BG的长．
【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC，可得CE∥DG，DE∥GC，由菱形的判定可证结论；
（2）过点D作DH⊥BC，由菱形的性质可得DE＝DG＝6，DG∥EC，由直角三角形的性质可得BH＝DH＝3，HG＝DH＝3，即可求BG的长．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCG，
∵EG垂直平分CD
∴DG＝CG，DE＝EC，
∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC
∴CE∥DG，DE∥GC
∴四边形DECG是平行四边形，且DE＝EC
∴四边形DGCE是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形DGCE是菱形，
∴DE＝DG＝6，DG∥EC
∴∠ACB＝∠DGB＝30°，且DH⊥BC
∴DH＝3，HG＝DH＝3
∵∠B＝45°，DH⊥BC
∴∠B＝∠BDH＝45°
∴BH＝DH＝3
∴BG＝BH+HG＝3+3
22．如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC．
（1）求证：OC⊥OB；
（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BAP＝∠BP A，可证∠BAP+∠P AO＝90°，∠C+∠CPO＝90°，结论得证；
（2）作BD⊥AP于点D，先求出OB，OP的长，再求出CP长，根据△BPD∽△CPO，得出比例线段，求PD的长，则AP可求．
【解答】（1）证明：∵AB＝BP，
∴∠BAP＝∠BP A，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥BA，
∴∠BAO＝90°，即∠BAP+∠P AO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠P AO＝∠C，
∵∠BP A＝∠CPO，
∴∠C+∠CPO＝90°，
∴∠COP＝90°，
即CO⊥BO；
（2）解：如图，作BD⊥AP于点D，
在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4，
则BO＝5，OP＝2，
在Rt△CPO中，PO＝2，CO＝4，
则CP＝2，
∵BA＝BP，
∴AD＝PD，
由（1）知∠COP＝90°，
∵∠BDP＝90°，∠BPD＝∠CPO，
∴△BPD∽△CPO，
∴，即，
∴PD＝，
∴AP＝2PD＝．
23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝（x＞0）交于点A（2，n）．
（1）求n及k的值；
（2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．
【分析】（1）由点A的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法可求出k值；
（2）分AB＝AO，OA＝OB，BO＝BA三种情况考虑：①当AB＝AO时，利用等腰三角形的性质可求出CB1的长度，结合点C的坐标可得出点B1的坐标；②当OA＝OB时，由点A的坐标利用勾股定理可求出OA的长度，利用等腰三角形的性质可得出OB2的长度，进而可得出点B2的坐标；③当BO＝BA时，设OB3＝m，则CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中利用勾股定理可得出关于m的方程，解之即可得出点B3的坐标．综上，此题得解．
【解答】解：（1）∵点A（2，n）在双曲线y＝上，
∴n＝＝4，
∴点A的坐标为（2，4）．
将A（2，4）代入y＝kx，得：4＝2k，
解得：k＝2．
（2）分三种情况考虑，过点A作AC⊥y轴于点C，如图所示．
①当AB＝AO时，CO＝CB1＝4，
∴点B1的坐标为（0，8）；
②当OA＝OB时，∵点A的坐标为（2，4），
∴OC＝4，AC＝2，
∴OA＝＝2，
∴OB2＝2，
∴点B2的坐标为（0，2）；
③当BO＝BA时，设OB3＝m，则CB3＝4﹣m，AB3＝m，
在Rt△ACB3中，AB32＝CB32+AC2，即m2＝（4﹣m）2+22，
解得：m＝，
∴点B3的坐标为（0，）．
综上所述：点B的坐标为（0，8），（0，2），（0，）．
24．某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：
b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10≤x＜20，20≤x＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x≤70）：
c．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x＜40这一组的是：
30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为31分；
（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有200人，其中单程不少于60分钟的有8人．
【分析】（1）用被抽查总人数乘以乘公共交通对应的百分比可得其人数，再减去其它分组的人数求出40≤x＜50的人数，从而补全图形；
（2）根据中位数的概念计算可得；
（3）利用样本估计总体思想计算可得．
【解答】解：（1）∵选择公共交通的人数为100×50%＝50（人），
∴40≤x＜50的人数为50﹣（5+17+14+4+2）＝8（人），
补全直方图如下：
（2）采用公共交通方式单程所花费时间共50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，
所以采用公共交通方式单程所花费时间的中位数是＝31（分），
故答案为：31；
（3）估计该年级采用公共交通方式上学共有400×50%＝200（人），
其中单程不少于60分钟的有200×＝8（人），
故答案为：200、8．
25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．
（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD 和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】535：二次函数图象及其性质．
【分析】（1）利用配方法得y═m（x﹣3）2+1，由此即可得出顶点坐标；
（2）根据抛物线的对称轴以及AB＝4，即可得到A、B两点的坐标，代入抛物线即可求出m的值；
（3）结合图象即可得出当抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点时m的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣6mx+9m+1＝m（x﹣3）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（3，1）；
（2）∵对称轴为直线x＝3，且AB＝4，
∴A（1，0），B（5，0），
将点A的坐标代入抛物线，可得：m＝﹣；
（3）如图：
①当m＞0时满足，解得：m＞；
②当m＜时满足0，解得：m＜﹣1；]
综上，m＜﹣1或m＞．
26.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C
关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．
（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．
【考点】LO：四边形综合题．
【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△P AP'是等腰直角三角形，可得结论；
（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．
【解答】解：（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴AD＝C'D，
∵F是AC'的中点，
∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，
∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；
（2）结论：BP+DP＝AP，
理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，
∴∠P AP'＝90°，
在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，
∴∠DAP'＝∠BAP，
由（1）可知：∠FDP＝45°
∵∠DFP＝90°
∴∠APD＝45°，
∴∠P'＝45°，
∴AP＝AP'，
在△BAP和△DAP'中，
∵，
∴△BAP≌△DAP'（SAS），
∴BP＝DP'，
∴DP+BP＝PP'＝AP；
（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝AC•C'G，
Rt△ABC中，AB＝BC＝，
∴AC＝＝2，即AC为定值，
当C'G最大值，△AC'C的面积最大，
连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，
∵CD＝C'D＝，OD＝AC＝1，
∴C'G＝﹣1，
∴S△AC'C＝AC•C'G＝＝﹣1．
27.在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的
最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、
Q两点即为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）
①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是E、F；
②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为（﹣3，3）；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；
②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．
【考点】MR：圆的综合题．
【专题】21：阅读型；23：新定义．
【分析】（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行选择即可；
（2）先求出C、D点坐标以及CD长度，分析出N点到坐标轴距离中最小距离为，从而确定r的最小值，根据CD长度确定r的最大值．
【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”的点是E、F．
②点B在直线y＝x+6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），
这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．
故答案为①E、F；②（﹣3，3）；
（2）∵T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，
∴t1＝﹣k﹣3，t＝4k﹣3．
∵k＞0，
∴|﹣k﹣3|＝k+3＞3，4k﹣3＞﹣3．
依据“等距点”定义可得：
当﹣3＜4k﹣3＜4时，k+3＝4，解得k＝1；
当4k﹣3≥4时，k+3＝4k﹣3，解得k＝2．
综上所述，k的值为1或2．
②∵k＝1，
∴y＝x﹣3与坐标轴交点C（0，﹣3）、D（3，0），线段CD＝3．N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为，
若半径为r的⊙O上存在一点M与N是“等距点”，则r最小值为，r的最大值为CD长度3．
所以r的取值范围为≤r≤3．
故答案为E、F；（﹣3，3）。