湖南省师大附中高三数学第六次月考(理)

湖南省师大附中2008届高三第六次月考
理科数学
命题：湖南师大附中高三数学备课组
时量：120分钟满分：150分
得分：
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．在下列各数中，与sin2008°的值最接近的数是
A. 1
2
B.
3
2
C. －
1
2
D.－
3
2
2．若集合M=｛3,a2｝,N=｛2，4｝，则“a=2”是“M∩N=｛4｝的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3．已知△ABC中，A=120°，AB＝5，BC＝7，则sin
sin
B
C
的值为
A．8
5
B.
5
8
C.
5
3
D.
3
5
4．已知函数f(x)是定义在区间[-a,a]（a>0）上的奇函数，F（x）=f(x)+1，则F（x）的最大值与最小值之和为
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
5．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的
A.
1
16
B.
3
16
C.
1
12
D.
1
8
6.已知sinα＝4
5
，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限的角，那么tanβ的值是
A. －1
7
B.
1
7
C.－7
D.7
7．双曲线
2
4
x
－
2
5
y
＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右
支上，若线段PF1的中点在y 轴上那么点P到双曲线左准线的距离是
A. 13
3
B.
5
3
C.
15
4
D.
9
4
8. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1 中P是
侧面BB1C1C内一动点，若P的轨迹所在的
曲线是
A. 直线
B. 圆
C.双曲线
D. 抛物线
9．设[x]表示不超过x的最大整数，则x的不等式[x]2 —3[x]—10≤0的解集是
A.[－2，5]
B.[－2，)6
C.（－3，6）
D. [－1，)6
10. 设F为抛物线的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若,则
A. 9
B.6
C. 4
D.3
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分答案
二填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答卷上。

）
11.已知等差数列的公差为2，且、a3、a4成等比数列。

则a2= .
12.从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为。

13.已知函数f(x)=
()
2
1
2
log20
x
x
x x
⎧⎛⎫
≤
⎪ ⎪
⎝⎭
⎨
⎪+>
⎩
,若()0
f x,则
x的取值范围是
14. 已知实数x、y满足
210
210
1
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪+≤
⎩
，则的最大值是。

15.若定义在上的函数f(x) 满足：①对一切x，都有f(3x)=3f(x)；②
x时，f(x)=1。

则f(100)= ；方程F(x)=f(100)在区间(0,150)上解的个数为。

三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满12分）
已知函数f(x)=1，g(x)=
（Ⅰ）设x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴，求g()的值；
（Ⅱ）求使函数h(x)=f()(ω>0)在区间上是增函数的ω的最大值。

17.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧
棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。

（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的大小；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论。

18.（本小题满分12分）
已知函数 f(x)=,x。

（Ⅰ）若函数f(x)没有极值点，求m的取值范围；
（Ⅱ）若函数f(x)的图像在点(3,f(x))处的切线与y轴垂直，求证：对任意x1、，都有。

19.（本小题满分13分）
已知数列
满足a 1=1,a n+1=1
,22,n n a n n a n n ⎧+⎪⎨⎪-⎩为奇数
为偶数
，记
.
（Ⅰ）求a 2,a 3
（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式； （Ⅲ）求和S 2n+1=a 1+a 2+…+a 2n +a 2n+1
21.(本小题满分13分)
已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率
为
1
2
，且椭圆C 的中心关于直线x-3y-10=0的 对称点有椭圆C 的右准线上。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程 （Ⅱ）设A （m ，0），B （
1
m
，0）（0<m<1）是x 轴上的两点，过点A 作斜率不为0的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，作直线BN 交椭圆C 于另一点E ，证明△BME 是等腰三角形。

炎德·英才大联考高三月考试卷(六)
（附中版）理科数学参考答案
一、选择题 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 答案
C A
D C B C A D B
B
二、填空题
11.-6 12.2π 13.(－∞，－1 ]∪[2，＋∞） 14. 7 15.19; 3 16.解：（Ⅰ）由题设知f(x)=1+1
2
sin2x,因为x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴，所以2=k π+
2π
，（k ∈Z ）， g(x 0)= 12[1+cos(2x 0+6π)]=1
2[1+cos(k π+23
π)]
当k 为偶数时，g(x 0)= 1
2(1+cos 23
π)=14;
当k 为奇数时，g(x 0) = 1
2(1+cos 3π)=34
……………………………………………（6分）
（Ⅱ）因为h(x)=(1+
12sin ωx)+12[1+cos(ωx+6
π)]=12(sin ωx+32cos ωx-12sin ωx)
+32=12sin(ωx+3π)+3
2
当x ∈[-23π，3π]时，ωx+3
π
∈[-2,2333x ωπωππ++]， 因为h(x)在[-23π，3
π
]上是增函数，且ω>0，
所以[233ωππ-
+,
33ωππ+],22ππ⎡⎤
⊆-⎢⎥⎣⎦
,
即 23323
32ωππ
πωπππ
⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得ω≤12.所以ω的最大值为12………………（12分）
17. 解：解法一：(Ⅰ)连结设AC ，设AC 与BD 交于O 点，连结EO 。

由底面ABCD 是正方形知O 为AC 的中点，又E 为PC 的中点， ∴OE ∥PA
∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，
∴PA ∥平面BDE ……………………………………………（4分） （Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又BC ⊥CD ， ∴BC ⊥平面PCD ，又PD=DC ，E 这PC 的中点，
∴DE ⊥PC ，从而由三垂线定理知DE ⊥BE ， ∵∠BEC 是二面角B-DE-C 的平面角。

设正方形ABCD 的边长为a ，则PD=a ，EC=PC=12
， 在Rt △BCE 中，tan ∠
BEC=
BC
EC
=∴二面角B-DE-C 的大小为
…………………………………………(8分) （Ⅲ）作EF ⊥PB 于点F ，则Rt △PEF ∽Rt △PBC ，∴
PE PF
PB PC
=
, ∴PF ·PB=PE ·
PC=
2
a
a=2a ，连结DF ， ∵在△PBD 中，∠PDB==90°，PF ·PB=a 2=PD 2,∴PB ⊥DF,
从而PB ⊥平面DEF ，此时
PF=221
3a PB PB ====，
即在棱PB 上存在点F ，PF=
1
3
PB ，使得PB ⊥平面DEF …………………………（12分） 解法二：（Ⅰ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A （2，0，0），P （0，0，2），E （0，1，1），B （2，2，0）
PA =（2，0，-2），DE =（0，1，1），DB =（2，2，0）
设n 1=(x,y,z)是平面BDE 的一个法向量，
则由1100n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩
取y=-1,得n 1=(1，-1，1)
∵PA ·n 1=2-2=0 ∴PA ⊥n 1，又PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知n 1=(1，-1，1）是平面BDE 的一个法向量，又n 2=DA =（2，0，0）是平面DEC 的一个法向量。

设二面角B-DE-C 的平面角为θ，由图可知θ=〈n 1，n 2〉 ∴cos θ=cos 〈n 1，n 2〉=
12
12n n n n ⋅=
⋅3
=
故二面角B-DE-C 的大小为
atccos
3
………………………………（8分）
（Ⅲ∵()()2,2,2,0,1,1PB DE =-= ∴PB ·DE =0+2-2=0，∴PB ⊥DE
假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设PF PB λ=（0<λ<1）, 则PF =（2λ，2λ，-2λ），DF DP PF =+=（2λ，2λ，2—2λ） 由PF ·DF =0得4λ2+4λ2-2λ（2-2λ）=0，
∴λ=
13∈(0,1),此时PE=13
PB 即在棱PB 上存在点F ，PE=1
3
PB ，使得PB ⊥平面DEF ……………………………（12
分）
18. 解：（Ⅰ）因为f ′(x)=(2x+m)·e x +(x 2+mx+5) ·e x =[ x 2+(2+m)x+m+5] ·e x
而e x >0，g(x)= x 2+(2+m)x+m+5的二次项系数大于0， 若f(x)无极值点，则g(x)≥0对x ∈R 恒成立，
所以△=()()2
2
245160,44m m m m +-+=-≤-≤≤
即m 的取值范围为[-4，4] …………………………………………………………（6分） （Ⅱ）因为函数f(x)的图象在点（3，f(x)）处的切线与y 轴垂直，所以f ′(3)=0 即()2
33250,m m ++++=m=-5,此时f ′(x)=()
23x x x e -⋅
当0<x<3时，f ′(x)<0,f(x)为减函数； 当3<x<4时，f ′(x)>0,f(x)为增函数。

又f(0)=5，4
(4)5,f e =>从而f(x)在[0，4]上的最大值为f(4)=4e ,最小值为()3
3f e =-
所以对任意都有x 1,x 2∈[0,4],都有()()()()431243f f f f e e -≤-=+……（12分） 19. 解：（Ⅰ）2335
;22
a a ==-……………………………………………………………（2分）
（Ⅱ）当2n ≥时，()()2212111
212
n n n n b a a a n --+===+-
()()()22211122221122n n a n n a --=
--+-=+⎡⎤⎣⎦ 11
12
n b -=+ ∴()1122,2n n b b --=-又121
222b a -=-=-
∴1
1112222n n n b -⎛⎫
⎛⎫-=-⋅=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，即122n
n b ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
…………………………（7分）
（Ⅲ）∵21244,n n n a a n b n +=-=-
∴2112221n n n S a a a a ++=++
++
()()2421321n n a a a a a a +=+++++++
()()()()1211241424n n b b b a b b b n ++
++-⨯+-⨯+-⨯⎡⎤⎣⎦
()()1122412n a b b b n =+++-⨯+++
()1
2
1112211122422112212n
n n n n n n -⎛⎫⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭+ ⎪⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯=-+- ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪
⎪
⎝⎭
……………（13分） 20. 解：（Ⅰ）当x R ∈时，函数()22f x x bx =++的图象是开口向上的，且对称轴为2
b
x =-
的抛物线，()f x 的值域为28,4b ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭，所以()()()F x f f x -的值域也为
28,4b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
的充要条件是2842b b -≤-，即2
280b b --≥，所以2b ≤-或4b ≥，即b 的取值范围为(]
[),24,-∞-+∞，……………………………………………（5分）
（Ⅱ）()212f x x +-=即2
10x bx +-=，不妨设1202x x <<<
令()2
2
21,1
121,1
bx x H x x bx x x bx x ⎧+≤⎪=++-=⎨+->⎪⎩
因为()H x 在(]0,1上是单调函数，所以()0H x =在(]0,1上至多一个解。

若()12,1,2x x ∈，则12,x x 就是2
210x bx +-=的解，121
,02
x x =-
<与题设矛盾 因此，(]()120,1, 1.,2x x ∈∈ 由()10H x =得1
1
b x =-
，所以1b ≤- 由()20H x =得2212b x x =-，所以7
12
b -<<- 故当7
12
b -
<<-时，方程()212f x x +-=在()0,2上有两个解……………（9分） 由11b x =-
和2212b x x =
-消去b 得22
1
2b x x =-
因为()21,2x ∈，所以
12
11
4x x +<…………………………………………………（13分） 21. 解：（Ⅰ）
1
,22
c e a c a =
=∴= 设O 关于直线3100x y --=的对称点为O ′的横坐标为
()2
24c c c
=
又直线OO ′的方程为3y x =-。

由33100
y x
x y =-⎧⎨--=⎩得线段OO ′的中点
坐标为（1，-3） ∴142,2c c ==
，从而222
131,144
a b a c ==-=-= ∴椭圆方程为2
2
413
y x +=…………………………………………………………（5分） （Ⅱ）设点()()()112233,,,,M x y N x y E x y ，则直线l 的方程为()2
2y y x m x m
=--， 代入22
343x y +=得：
2222222222222222(3634)843630,x x m m y x my x y m x mx m -++-+-+-=………①
又22
22343x y +=，①可化为：
()()222
2222223218320m x m x my x x m x x m -+--+-=。

由已知，有2
2210m x m -+≠，从而
()()
()2222222212222
2232202_1
321x m x x m x m x x m x x x m mx m mx +--+-=-
=
≠--+，
22212
2221
m x x m
x m mx +-∴=--+
同理()()2233,,,N x y E x y 满足222234311x y y y x m x m ⎧+=⎪⎪
⎛⎫⎨=- ⎪⎪⎝⎭-
⎪⎩
解得：2
22222322
22
1122121121x x x m x m m m x mx m x m m ⎛⎫
+- ⎪+-⎝⎭==--+⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭ 13x x ∴=
故直线ME 垂直于x 轴，由椭圆的对称性知点M 、E 关于x 轴对称，而点B 在x 轴上，
BM BE ∴=，即△BME 为等腰三角形。

……………………………………（13分）。