18.2.2+第1课时+菱形的性质2023-2024学年人教版八年级数学下册

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∴S菱形ABCD=2AC·BD=2×10×24=120.
方法归纳交流
在与菱形相关的问题中,应注意菱形特有的
性质(邻边相等,对角线垂直,对角线平分一组内角),菱形与平行
四边形共有的性质往往不是考查的重点.
菱形的相关推理与证明
4. 如 图 ,E 和 F 分 别 是 菱 形 ABCD 的 边 AB 和 AD 的 中 点 , 且
生活中有广泛的应用.下面,我们要学习另外一种在生活中有广
泛应用的平行四边形——菱形.人们逢年过节,或者家有喜事,都
会粘贴一些菱形的窗花图案,可见,菱形是一种美丽的,源远流长
的平面图形.
菱形的定义与性质
阅读课本本课时第一个“思考”及其前面的内容,回答下列问
题.
1.明晰概念:有一组邻边 相等 的 平行四边形 叫做菱形.
菱形ABCD的面积为 ( A )
A.60 cm2
B.120 cm2
C.130 cm2 D.240 cm2
3.如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠B=60°,则AC的长为 10 .
合作探究
菱形的性质的应用
1.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发,沿折线
BC→CD方向移动,移动到点D时停止.
在△ABP形状的变化过程中,
依次出现的特殊三角形是 ( C)
A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
2.如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
2.如图,菱形ABCD的边长为4,过点A,C作对角线AC的垂线,分
别交CB和AD的延长线于点E,F,若AE=3,则四边形AECF的周长
为( A )
A.22 B.18
C.14 D.11
3.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=DF,
(2)∵四边形ABCD是菱形,
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∴OA=OC=2AC=6,OB=OD,AC⊥BD,
∴∠AOB=90°,
∴OB= 2 − O2 = 102 − 62 =8,
∴BD=2OB=16.
∵E,F分别是AB,AD的中点,
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∴EF是△ABD的中位线,∴EF=2BD=8.
·设题目的·
本题由菱形的性质判断三角形的形状和求线段的长.
2.(1)思考:平行四边形一定是菱形吗?菱形一定是平行四边
形吗?
不一定.一定.
(2)结论:菱形 具有 (填“具有”或“不具有”)平行四边形的所
有性质.
3.探究:如图,▱ABCD的一组邻边AD=AB.
(1)由▱ABCD对边相等可知AD= BC ,AB= CD ,故四条边
都 相等
.
(2)由AB=AD可知,点A在线段BD的 垂直平分 线上,由BC=CD
·解题关键点·
根据菱形的性质得到对角线互相垂直,利用直角三角形斜边
上的中线性质可判断三角形的形状;利用勾股定理求出OB的长,
进而求出BD的长,利用三角形中位线定理求出EF的长.
1.如图,AC,BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正
确的是 ( B )
A.△ABD与△ABC的周长相等
B.△ABD与△ABC的面积相等
(2)设菱形的边长为x.
∵AB=CD=x,CF=2,
∴DF=x-2.
∵△ABE≌△ADF,
∴BE=DF=x-2.
在Rt△ABE中,根据勾股定理得AE2+BE2=AB2,
即42+(x-2)2=x2,解得x=5,
∴菱形的边长是5.
3.如图,四边形ABCD是边长为13的菱形,其中对角线AC的长
为10.
连接AE,AF.
(1)求证:AE=AF.
(2)连接EF,AC,求证:
直线AC是线段EF的垂直平分线.
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
= ,
在△ABE和△ADF中, ∠ = ∠,
= ,
∴△ABE≌△ADF(SAS),∴AE=AF.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD.
ABCD=4S△AOB=
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4× ×OA×OB= AC·BD
2
2
菱 形
.
(3)已知菱形的对角线的长,可运用 勾股定理
计算菱形的
边长,从而得到菱形的周长.
归纳总结
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菱形的面积可以等于 乘以 两条对角线的积
2
.
2.思考:在“例3”中,要计算菱形花坛的面积,先通过边长和一
个内角,计算 对角线AC、BD
学法指导
可知点C在线段BD的 垂直平分 线上,即AC 垂直平分BD,同理BD
垂直平分 AC.
(3)由(2)可知,在等腰△ABD中,∠DAO等于∠BAO吗?还有几
个类似的等腰三角形呢?
由三线合一可知相等.还有三个类似的等腰三角形.
归纳总结
(1)菱形具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的
特殊性质:四条边都 相等 ,对角线互相 垂直 ,且每一条对角
∵BE=DF,∴CE=CF.
∵AE=AF,
∴点A、点C都在线段EF的垂直平分线上,
∴直线AC是线段EF的垂直平分线.
的长.
已知菱形的两条对角线的长可以计算菱形的边
长、周长、面积;已知菱形的边长和一个内角,也可以计算菱形
的对角线的长.
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论
中错误的是 ( C )
Fra Baidu bibliotek
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC
2.若菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为10 cm,12 cm,则
(1)求证:△ABE≌△ADF.
(2)若AE=4,CF=2,求菱形的边长.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
∠ = ∠,
∠ = ∠,
在△ABE和△ADF中,
= ,
∴△ABE≌△ADF(AAS).
线 平分一组对角
.
菱形的相关计算
阅读课本本课时第一个“思考”至“例3”的内容,回答下列问
题.
1.讨论:(1)菱形的对角线将菱形分成了四个小三角形,它们
的面积相等吗?试根据知识点一中菱形对角线的性质说一说理
由.
相等.理由略.
(2) 已 知 菱 形 的 对 角 线 AC 与 BD 的 长 , 则 S
AB=10,AC=12.
(1)判断△OEF的形状,
并说明理由.
(2)求线段EF的长.
解:(1)△OEF是等腰三角形.
理由:∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD.
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴OE是△ABC的中位线,OF是△ACD的中位线,
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∴OE=2BC,OF=2CD,∴OE=OF,∴△OEF是等腰三角形.
计算:(1)对角线BD的长度.
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)∵四边形ABCD为菱形,
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∴AC⊥BD,且AE=EC=2AC=5,且BE=DE=2BD.
∵菱形的边长为13,
∴AB=13.
在Rt△ABE中,BE= 2 − A 2 = 132 − 52 =12,
∴BD=2BE=24.
(2)∵AC=10,BD=24,
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
1.明确菱形的定义,知道菱形是特殊的平行四边形.
2.知道菱形具有平行四边形的所有性质;探究菱形的特殊性
质.
3.知道菱形的对称性,能根据对角线计算菱形的边长、周
长、面积.
◎重点:菱形的性质.
◎难点:根据对角线计算菱形的面积.
预习导学
前面几节课,我们学到了矩形是一种特殊的平行四边形,在