(专题精选)初中数学二次函数难题汇编含答案

（专题精选）初中数学二次函数难题汇编含答案
一、选择题
1．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
A．5B．4
5
3
C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM．
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA=1
2
OA=2．
由勾股定理得：5
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．
∴BF OF CM AM
DE OE DE AE
==
，
x2x
22
55
-
，，解得：
()52x 5BF ?x CM 22
-==，． ∴BF+CM=5．
故选A ．
2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜x ＜1
B ．﹣3＜x ＜﹣1
C ．x ＜1
D ．﹣3＜x ＜1
【答案】D
【解析】
【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.
【详解】
解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），
∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．
所以答案为：D ．
【点睛】
此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.
3．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（ ）
A ．3
B 3
C ．32
D ．52
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，
，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解．
【详解】
∵抛物线2
:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ， ∴A(2，c-4)，B(0，c)，
∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，
∴'(24),'(0)A c B c ---，
，，， ∵四边形''ABA B 为矩形，
∴''AA BB =，
∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =
． 故选D ．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．
4．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：
下列结论错误的是( )
A ．0ac <
B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；
C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；
D ．当13x 时，
()210.ax b x c +-+>
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．
【详解】
解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：
当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，
当0x =时，3y =，即3c =，
当1x =时，5y =，即5a b c ++=，
联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩
，
解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴2
33y x x =-++；
A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；
B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=， 将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，
∴3是关于x 的方程()2
10ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24
=--+
y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >
时，y 的值随x 值的增大而减小；当32
x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()2
10ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++， 由二次函数的图象可得：当0y >时，13x
，故本选项正确；
故选：C ．
【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
5．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：
①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )
A ．①②
B ．①③④
C ．①②③④
D ．①②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．
由图象可知，a＜0，c=1，
对称轴：x=
b
1 2a
-=-，
∴b=2a，
①由图可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确；
②由图可知：当x=−1时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确；
③abc=2a2＞0，正确；
④由图可知：当x=−3时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确；
⑤c−a=1−a＞1，正确；
∴①②③④⑤正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
6．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( )
A．1 B．1
2
C．
4
3
D．
4
5
【答案】D
【解析】
【分析】
求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【详解】
解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k，
∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，
∴OC＝k，
∵△ABC的面积＝1
2
A B•OC＝
1
2
AB•k，△ABD的面积＝
1
2
AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积
比为1：4，
∴k＝1
4
(4﹣k)，
解得：k＝4
5
．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．
7．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．
【详解】
∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，
∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），
∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，
∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，
故选：D ．
【点睛】
此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12
>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）
A ．1个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
由图象可得，
a ＞0，
b ＞0，
c ＜0，
∴abc ＜0，故①错误，
当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，
当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，
由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，
则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a -
>-，a ＞0，得122
b a >>，故③正确， 故选C ．
【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )
A ．a +c ＝0
B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2
C ．当函数在x ＜110
时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜
2a 【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．
【详解】
解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，
∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，
∴a +c ＝0，b ＝﹣2，
∴A 正确；
∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，
∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，
∴△＝4+4a 2＞0，
∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，
∵x 1+x 2＝2a
，x 1x 2＝﹣1，
∴|x 1﹣x 2|＝2211a +＞2， ∴B 正确； 二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣
2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜
110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；
∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，
∴m +n ＜0，
2a ＞0， ∴m +n ＜2a
； ∴D 正确，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．ac ＞0
B ．b ＞0
C ．a +c ＜0
D ．a +b +c ＝0
【答案】D
【解析】
【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
A.由图象可知：a ＜0，c ＞0，
∴ac ＜0，故A 错误；
B.由对称轴可知：x ＝2b a -
＜0， ∴b ＜0，故B 错误；
C.由对称轴可知：x ＝2b a
-
＝﹣1， ∴b ＝2a ，
∵x ＝1时，y ＝0，
∴a +b +c ＝0，
∴c ＝﹣3a ，
∴a +c ＝a ﹣3a ＝﹣2a ＞0，故C 错误；
故选D ．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
11．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】
【分析】 由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a ＜0，
∵抛物线的对称轴为直线12b x a
=-
= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，
∴abc ＜0，所以①错误；
∵b=-2a ，
∴2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=3时，y=0，
∴930a b c ++=，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，
∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132
-<-< 点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
12．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 解：∵抛物线和x 轴有两个交点，
∴b 2﹣4ac ＞0，
∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，
∴4a+c ＞2b ，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
13．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可求m＜﹣2，即可求解．
【详解】
∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，
∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0
∴m＜﹣2
∴函数y＝的图象在第二、第四象限，
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．
14．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的
交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③13
＜a ＜2
3；④b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是
（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．②③④
D ．①②④
【答案】B 【解析】 【分析】
根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c 的大小得出③的正误． 【详解】
①∵函数开口方向向上， ∴a ＞0；
∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号，
∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c ＜0， ∴abc ＞0， 故①正确；
②∵图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y ＜0， ∴4a+2b+c ＜0， 故②错误；
③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间， ∴-2＜c ＜-1
∵-12b
a ， ∴b=-2a ，
∵函数图象经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴c=-3a，
∴-2＜-3a＜-1，
∴1
3
＜a＜
2
3
；故③正确
④∵函数图象经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴b-c=a，
∵a＞0，
∴b-c＞0，即b＞c；
故④正确；
故选B．
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
给出以下结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣1
2
＜x＜2
时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，y1＞y2．上述结论中正确的结论个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.
【详解】
解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；
（2）从表格可以看出，当﹣1
2
＜x＜2时，y＜0，符合题意；
（3）﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，x2离对称轴远，故错误，不符合题意；
故选择：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿
BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为
t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案． 【详解】
解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，,2AP t BQ t ==
21
22
APQ
S
t t t =⋅⋅=，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，AP t =，APQ 底边AP 上的高保持不变
1
422
APQ
S
t t =⋅⋅=，函数图象为一次函数；
故选：D ． 【点睛】
本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．
17．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】
当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A 、D 不正确；
由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2b
a
＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ． 故选C ．
18．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有( ) A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【详解】
若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限． 故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．
19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B 【解析】
试题解析：①由开口向下，可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，
再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ， 故①错误；
②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确； ③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< ……（1） 当1x =时，0y <,即0a b c ++< ……（2） （1）+（2）×2得，630a c +<， 即20a c +<， 又因为0,a <
所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；
④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<
即()()2
2
()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦
所以22().a c b +< 故④正确，
综上可知，正确的结论有2个. 故选B ．
20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断． 【详解】 解：
抛物线开口向下，
0a ∴<，
对称轴12b
x a
=-
=， 0b ∴>，
抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，
0c ∴>，
0abc ∴<，故①错误；
抛物线与x 轴有两个交点， 240b ac ∴->，故②正确；
对称轴12b
x a
=-=， 2a b ∴=-，
20a b ∴+=，故③正确；
根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确； 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．。