高中数学 第一章 空间立体几何单元测试 新人教版必修2-新人教版高一必修2数学试题

高一数学必修二第一单元：空间几何体
单元过关试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中正确的是( )． A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C ．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D ．棱柱的各条棱都相等
2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )． A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱 C ．两个圆台、一个圆锥 D ．一个圆柱、两个圆锥
3．若圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的1
2，则圆锥的体积( )．
A ．缩小到原来的一半
B ．扩大到原来的2倍
C ．不变
D ．缩小到原来的1
6
4．(2012·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )．
5．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝
3
2
，那么原△ABC 是一个( )．
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
6．在长方体ABCD-A1B1C1D1截去一角B1-A1BC1，则它的体积是长方体体积的
( )．
A.1
4
B.
1
6
C.
1
12
D.
1
18
7．若顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
( )．A．16π B．20π C．24π D．32π
8．若圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )．
A．7 B．6 C．5 D．3
9．(2011·高考卷)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )．
A．8 B．6 2 C．10 D．8 2
10．(2012·某某一检)如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝，V3＝，
其余部分为V2，若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为( )．
A．410 B．8 3 C．413 D．16
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
11．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面积为________cm2.
12．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是________．
13．若一个长方体的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为4 cm2，6 cm2,24 cm2，则该长方体的体积等于________．
14．如图所示，扇形所含的中心角为90°，弦AB将扇形分成两个部分，这两部
分各以AO为轴旋转一周，所得的旋转体体积V1和V2之比为________．
15．已知三棱柱ABC－A1B1C1，底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积
为32π
3
，则该三棱柱的体积为________．
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(12分)圆柱的高是8 cm，表面积是130 π cm2，求它的底面圆半径和体积．
17．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
18．(12分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．
(1)求该几何体的全面积．
(2)求该几何体的外接球的体积．
19．(12分)已知正三棱锥S-ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm，底面边长为12 cm，内接正三棱柱的侧面积为120 cm2.
(1)求三棱柱的高；
(2)求棱柱上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比．
20．(13分)如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM ＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
(3)f(x)的最大值．
21．(14分)已知四棱锥P－ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，如图分别是四棱锥P－ABCD的侧视图和俯视图．
(1)求证：AD⊥PC；
(2)求四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积．
（备选题）
22．）如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，请说明理由．
解析：
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中正确的是( )． A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C ．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D ．棱柱的各条棱都相等
解析 本题考查多面体的结构特征，属容易题，应选B. 答案 B
2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )． A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱 C ．两个圆台、一个圆锥 D ．一个圆柱、两个圆锥
解析 认清旋转轴的位置，旋转一周所得的几何体，两头是圆锥，中间是圆柱．故选D. 答案 D
3．若圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的1
2，则圆锥的体积( )．
A ．缩小到原来的一半
B ．扩大到原来的2倍
C ．不变
D ．缩小到原来的1
6
解析 设原圆锥的高为h ，底面半径为r ，体积为V ，则V ＝π3r 2·h；变化后圆锥的体积V′＝π3×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12r 2
×2h＝16πr 2·h＝1
2
V.
答案 A
4．(2012·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，
则该三棱锥的侧视图可能为( )．
解析 由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为3，高为2的直角三角形，故选B. 答案 B
5．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝
3
2
，那么原△ABC 是一个( )．
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．三边中有两边相等的等腰三角形
D ．三边互不相等的三角形
解析 依据斜二测画法的原则可得， BC ＝B′C′＝2，OA ＝2×
3
2
＝3， ∴AB ＝AC ＝2，故△ABC 是等边三角形． 答案 A
6．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一角B 1-A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的
( )．
A.14
B.16
C.112
D.118 解析 ＝1
3·＝
13×12×B 1C 1＝16 答案 B
7．若顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
( )．
A．16π B．20π C．24π D．32π
解析设正四棱柱的底边长为a，球半径为R，则a2·4＝16，∴a＝2.
又(2R)2＝22＋22＋42，∴R2＝6.
∴S球面＝4πR2＝4π×6＝24π.
答案 C
8．若圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )．
A．7 B．6 C．5 D．3
解析设较小底面半径为r，另一底面半径为R，则2πR＝3×2πr，∴R＝3r.
由侧面积公式得π(r＋3r)l＝84π，
即π(r＋3r)·3＝84π.∴r＝7.
答案 A
9．(2011·高考卷)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )．
A．8 B．6 2 C．10 D．8 2
解析将三视图还原成几何体的直观图如图所示．
它的四个面的面积分别为8,6,10,62，
故最大的面积应为10.
答案 C
10．(2012·某某一检)如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝，V3＝，
其余部分为V2，若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为( )．
A．410 B．8 3 C．413 D．16
解析 三部分都是棱柱，三棱柱AA 1EDD 1F ，三棱柱B 1BE 1C 1CF 1和四棱柱A 1EBE 1D 1FCF 1，显然它们等高，设为h ， 由V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1 得S 1h ∶S 2h ∶S 3h ＝1∶4∶1. ∴S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶1
设AE ＝a ，则BE ＝6－a ，
∴(6－a)×3＝4×1
2×a×3，∴a ＝2.
∴A 1E ＝22
＋32
＝13.
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 11．底面直径和高都是4 cm 的圆柱的侧面积为________cm 2
. 解析 圆柱的底面半径为r ＝1
2×4＝2，∴S 侧＝2π×2×4＝16π
答案 16π
12．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是________．
解析 原三角形是两直角边长分别为2与22的直角三角形． ∴S ＝1
2×2×22＝2 2.
答案 2 2
13．若一个长方体的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为4 cm 2
，6 cm 2,
24 cm 2
，则该长方体的体积等于________．
解析 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则有ab ＝24，ac ＝4，bc ＝6， 所以(abc)2
＝24×6×4，
所以abc ＝24(cm 3
)，即长方体的体积为24 cm 3
. 答案 24 cm 3
14．如图所示，扇形所含的中心角为90°，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部
分各以AO 为轴旋转一周，所得的旋转体体积V 1和V 2之比为________．
解析 Rt △AOB 绕OA 旋转一周形成圆锥，其体积V 1＝π3
R 3
， 扇形绕OA 旋转一周形成半球面， 其围成的半球的体积V ＝2π3R 3
，
∴V 2＝V －V 1＝2π3R 3－π3R 3＝π3R 3
.
∴V 1∶V 2＝1∶1. 答案 1∶1
15.解析： 根据球的体积计算公式，该球的半径是2.设三棱柱的高为2a ，根据题意，得a 2
＋1＝4，得a ＝3，故这个三棱柱的高是23，其体积是34×(3)2
×23＝92
.
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(12分)圆柱的高是8 cm ，表面积是130 π cm 2
，求它的底面圆半径和体积． 解 设圆柱的底面圆半径为r cm ， ∴S 圆柱表＝2π·r·8＋2πr 2
＝130π. ∴r ＝5(cm)，即圆柱的底面圆半径为5 cm. 则圆柱的体积V ＝πr 2
h ＝π×52
×8＝200π(cm 3
)．
17．(12分)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．
解 以AD 为旋转轴，DC 、CB 、BA 为母线旋转一周形成的图形是一个圆台上方挖去一个圆锥后形成的几何体．
S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52
＋π×(2＋5)×5＋π×2×22＝(70＋42)π； V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 2
2)h －13πr 21h 1＝1483
π.
18．(12分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm 与2 cm ，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形． (1)求该几何体的全面积． (2)求该几何体的外接球的体积．
解 (1)由题意可知，该几何体是长方体， 底面是正方形，边长是4，高是2，
因此该几何体的全面积是：2×4×4＋4×4×2＝64 (cm 2
)， 即几何体的全面积是64 cm 2
.
(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d ，球的半径是r ， d ＝16＋16＋4＝36＝6，所以球的半径为r ＝3. 因此球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π(cm 3
)，
所以外接球的体积是36π cm 3.
19．(12分)已知正三棱锥S-ABC ，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm ，底面边长为12 cm ，内接正三棱柱的侧面积为120 cm 2
. (1)求三棱柱的高；
(2)求棱柱上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比． 解 (1)设正三棱柱高为h ，底面边长为x ，如图，则15－h 15＝x
12，
∴x ＝4
5(15－h)．①
又S 三棱柱侧＝3x·h＝120， ∴xh ＝40.②
解①②得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
h ＝10或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝8，
h ＝5.
故正三棱柱的高为10 cm 或5 cm. (2)由棱锥的性质，得＝⎝
⎛⎭⎪
⎫15－10152＝19
或
＝⎝
⎛⎭⎪⎫15－5152＝49
.
20．(12分)如图所示，已知在圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A ，求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x)； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值．
解 将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA′的长度L 就是⊙O 的周长，
∴L ＝2πr＝2π.
∴∠ASA′＝L 2πl ×360°＝2π
2π×4×360°＝90°，
(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM ，其值为 AM ＝x 2
＋16(0≤x≤4)， ∴f(x)＝AM 2
＝x 2
＋16(0≤x≤4)．
(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ， 则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离． 在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA·SM＝1
2AM· SR，
∴SR ＝SA·SM AM ＝4x
x 2＋16(0≤x≤4)．
(3)∵f(x)＝x 2＋16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为f(4)＝32.
21．(13分)已知四棱锥P －ABCD 的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，如图分别是四棱锥
P －ABCD 的侧视图和俯视图．
(1)求证：AD ⊥PC ；
(2)求四棱锥P －ABCD 的侧面PAB 的面积．
解析： (1)证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的射影是线段CD 的中点E ，如图，连接PE ，则
PE ⊥平面ABCD .
∵AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥PE .
∵AD ⊥CD ，CD ∩PE ＝E ，CD ⊂平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD . ∵PC ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥PC .
(2)依题意，在等腰三角形PCD 中，PC ＝PD ＝3，DE ＝EC ＝2，在Rt △PED 中，PE ＝ PD 2
－DE 2
＝ 5. 过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，连接PF ， ∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB ⊥PE .
∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF ∩PE ＝E ， ∴AB ⊥平面PEF . ∵PF ⊂平面PEF ， ∴AB ⊥PF .
依题意得EF ＝AD ＝2.
在Rt △PEF 中，PF ＝ PE 2
＋EF 2
＝3， ∴△PAB 的面积S ＝1
2·AB ·PF ＝6.
∴四棱锥P －ABCD 的侧面PAB 的面积为6.
22．（14分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC ⊥AD ；
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD 的大小；若不存在，请说明理由．
解析： (1)证明：取BC 的中点E ，连结AE ，DE ， ∵△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形，
∴AE ⊥BC ，DE ⊥BC . ∵AE ∩DE ＝E ，
∴BC ⊥平面AED ，AD ⊂平面AED ，∴BC ⊥AD .
(2)由已知得，△AED 为等腰三角形，且AE ＝ED ＝23， 设AD ＝x ，F 为棱AD 的中点， 则EF ＝ 12－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2
，
S △AED ＝12x ·
12－x 2
4
＝
1448x 2－x 4
， V ＝13
S △AED ·(BE ＋CE )
＝
13
48x 2－x 4
(0＜x ＜43)， 当x 2
＝24，即x ＝26时，V max ＝8，
∴该四面体存在最大值，最大值为8，此时棱长AD ＝2 6.。