三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析 专题04 函数性质与应用 理(含解析)

专题04 函数性质与应用
考纲解读明方向
1.考查函数的单调区间的求法及单调性的应用,如应用单调性求值域、比较大小或证明不等式,运用定义或导数判断或证明函数的单调性等.
2.借助数形结合的思想解题.函数的单调性、周期性、奇偶性的综合性问题是高考热点,应引起足够的重视.
3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.
命题探究练扩展
2018年高考全景展示
1．【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足．若，
则
A. B. 0 C. 2 D. 50
【答案】C
【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以
,因此
，因为
，所以，，从而
，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
2．【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则
的值为________．
【答案】
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
3.【2018年理新课标I卷】已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得
代入求得函数的最小值.
详解：，所以当
时函数单调减，
当
时函数单调增，从而得到函数的减区间为
，函数的增区间为
，所以当
时，函数
取得最小值，此时
，
所以
，故答案是
.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
2017年高考全景展示
1.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，
()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a <<
（C ）b a c <<
（D ）b c a <<
【答案】C
【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，
22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，
0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，
0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，
所以b a c <<，故选C ．
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
2.【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.
【答案】1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
写成分段函数的形式：()(
))
1
32,021112,0222112,2x x x x g x f x f x x x x -⎧
+≤⎪⎪⎪⎛
⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝
⎭⎪⎪>⎪⎩
，
函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭
三段区间内均单调递增，
且：)
01111,201,12142
g -⎛⎫-=++
>⨯> ⎪⎝⎭
，
据此x 的取值范围是：1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
. 【考点】 分段函数；分类讨论的思想
【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 3.【2017山东，理15】若函数()x e f x （ 2.71828
e =是自然对数的底数）在()
f x 的定义域上单调递增，
则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 . ①()2x f x -=
②()3x f x -=
③()3f x x = ④()22f x x =+
【答案】①④
④()()
22x x e f x e x =+，令()()
2
2x g x e x =+，则()()()2222110x
x x g x e
x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦
，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．
【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性. 【名师点睛】
1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．
2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；
(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．
(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
4.【2017浙江，17】已知α∈R ，函数a a x
x x f +-+=|4
|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9(,]2
-∞ 【解析】
试题分析：[][]4
1,4,4,5x x x
∈+
∈，分类讨论： ①．当5a ≥时，()44
2f x a x a a x x x =--+=--，
函数的最大值9
245,2a a -=∴=，舍去；
②．当4a ≤时，()44
5f x x a a x x x
=+-+=+≤，此时命题成立；
③．当45a <<时，(){}
max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：
4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或：4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨
-+=⎪⎩
，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
．
【考点】基本不等式、函数最值
【名师点睛】本题利用基本不等式，由[][]4
1,4,4,5x x x
∈+
∈，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有效的分类讨论：①当5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难题．解题时，应仔细对各个情况进行逐一讨论． 5.【2017江苏，11】已知函数31
()2e e
x x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤, 则实数a 的取值范围是 . 【答案】1[1,]2
-
【解析】因为3
1
()2e ()e
x x f x x f x x -=-++
-=-，所以函数()f x 是奇函数，
因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又2
1)02()(f f a a +-≤，即2
())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤
，故实数a 的取值范围为1[1,]2
-. 【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内
2016年高考全景展示
1.【2016年高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）
A.
11
x y ->
B.sin sin 0x y ->
C.11()()022x y -<
D.ln ln 0x y +> 【答案】C
考点： 函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
2.【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1
x y x
+=
与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则
1
()m
i
i
i x y =+=∑（ ）
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】
试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数11
1x y x x
+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点： 函数图象的性质
【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2
a b
x +=
；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有
对称中心.
3. 【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，3
()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，
()()f x f x -=-；当12x >
时，11
()()22
f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1
（C ）0
（D ）2
【答案】D
考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
4.【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x
f x =，
则5()(1)2
f f -+= . 【答案】-2 【解析】
试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以
(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，
1
25111
()(2)()()422222
f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.
考点：函数的奇偶性和周期性.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5
()2
f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．
5.【2015高考新课标1，理13】若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】1
【解析】由题知ln(y x =+是奇函数，所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 【考点定位】函数的奇偶性
【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在x =0处有意义，常用f (x )=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算.
6.【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足
1
(2
)(a f f ->，则a 的取值范围是______. 【答案】13(,)22
考点：利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化。