2019-2020年高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数扩充及其运算性质高效测评北师大版必修

2019-2020年高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数扩充及其
运算性质高效测评北师大版必修
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．将3
－22化为分数指数幂，其形式是( ) A ．21
2 B ．－212 C ．2－12
D ．－2－1
2
解析：
3
－22＝(－22)1
3
＝(－2×212)1
3 ＝(－232)13＝－212. 答案： B 2．化简
－x
3
x
的结果是( )
A ．－－x B.x C ．－x
D ．－x
解析： 依题意知x <0，所以－x
3
x
＝－
－x
3
x 2
＝－－x .
答案： A 3.
a 3
a ·5
a 4
(a >0)的值是( )
A ．1
B ．a
C ．a 15
D ．a 1710
解析： 原式＝a 3
a 12·a 45
＝a 3－12－4
5＝a 17
10.
答案： D
4．化简(3
6
a 9)4·(
6
3
a 9)4的结果是( )
A ．a 16
B ．a 8
C ．a 4
D ．a 2
解析： (
3
6
a 9)4·(63
a 9)4
＝(6
a 9
)43·(3a 9
)4
6
＝(a 96)43·(a 93)2
3＝a 96×43·a 93×23＝a 4
.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．化简（a 23·b －1
）－12·a －12
·b 1
3
6
a ·
b 5＝________．
解析： 原式＝a －13b 12·a －12
b 13a 16b 56
＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .
答案： 1
a
6．若10x
＝2，10y
＝3，则103x －4y
2＝________．
解析： 由10x ＝2，10y
＝3， 得1032x ＝(10x
)32＝23
2，
102y
＝(10y )2＝32
.
∴103x －4y 2＝1032x 102y ＝23232＝22
9.
答案：
229
三、解答题(每小题10分，共20分) 7．计算下列各式：
(1)
481×
92
3；(2)23×31.5×6
12.
解析： (1)原式＝[34
×(343)12]1
4
＝(34＋2
3)14
＝3143×14
＝376 ＝363.
(2)原式＝2×312×⎝ ⎛⎭⎪⎫3213×(3×22
)1
6
＝21－13＋13×312＋13＋16
＝2×3＝6. 8．化简求值：
(1)(5x －23y 12)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1
y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13y －16；
(2)23a ÷46a ·b ×3b 3
.
解析： (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－56·x －23＋(－1)＋13·y 12＋12－16＝2524x －43·y 5
6. (2)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 3
2) ＝12a 13－16b －1
6·3b 3
2 ＝3
2a 16b 43. 尖子生题库
☆☆☆
9．(10分)已知a 1
2＋a －1
2＝5，求下列各式的值：
(1)a ＋a －1
；(2)a 2
＋a －2
；(3)a 2
－a －2
. 解析： (1)将a 1
2＋a －1
2＝5两边平方，
得a ＋a －1＋2＝5， 则a ＋a －1＝3.
(2)由a ＋a －1
＝3两边平方， 得a 2
＋a －2
＋2＝9， 则a 2
＋a －2
＝7.
(3)设y ＝a 2
－a －2
，两边平方， 得y 2
＝a 4
＋a －4－2 ＝(a 2
＋a －2)2
－4 ＝72－4 ＝45，
所以y ＝±35， 即a 2
－a －2
＝±3 5.
2019-2020年高中数学第三章指数函数和对数函数3.3.1指数函数及
其性质高效测评北师大版必修
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列结论正确的是( ) A ．对于x ∈R ，恒有3x
>2
x
B ．y ＝(2)－x
是增函数
C ．对a >1，x ∈R ，一定有a x
>a
－x
D ．y ＝2|x |
是偶函数
解析： A ．当x <0时，2x
>3x
；B.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫22x
在R 上单调递减；C.当x ＝0时，就
有a x
＝1，a －x
＝1；D.符合偶函数的定义．
答案： D
2．设a ＝22.5
，b ＝2.50
，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122.5
，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >c >b
B ．c >a >b
C ．a >b >c
D ．b >a >c
解析： 因为a ＝22.5
>1，b ＝2.50
＝1，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122.5
<1，所以a >b >c .
答案： C
3．函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －1
的值域是( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，1]
C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，1]
解析： 由x －1≥0且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数，知0<y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －1
≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫130
＝1.
答案： B
4．已知f (x )＝a －x
(a >0且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)
D ．(0，1)
解析： f (x )＝a －x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x
， ∵f (－2)>f (－3)，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －2>⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －3
，即a 2>a 3.
∴a <1，即0<a <1. 答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(1)若0.2m
>1>0.2n
，则________>0>________(填m 或n )．
(2)若⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x
<23x ＋1
，则x 的取值范围是________．
解析： (1)由0.2m
>1＝0.20
>0.2n
， 得n >0>m .
(2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x
＝2－2x <23x ＋1
， ∴3x ＋1>－2x ，x >－1
5.
答案： (1)n m (2)x >－1
5
6．已知a ＝5－12
，函数f (x )＝a x
，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．
解析： a ＝
5－1
2
∈(0，1)， 故a m
>a n
⇒m <n . 答案： m <n
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f (x )＝a x
＋b (a >0，且a ≠1)．若f (x )的图像如图所示，
(1)求a ，b 的值； (2)解不等式f (x )≥2.
解析： (1)由图像得，点(1，0)，(0，－1)在函数f (x )的图像上，所以⎩⎪⎨⎪
⎧a 1
＋b ＝0，a 0
＋b ＝－1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝－2，
∴f (x )＝2x
－2. (2)f (x )＝2x
－2≥2， ∴2x
≥4，∴x ≥2.
8．若函数f (x )＝a x
－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，求实数a 的值． 解析： 当a >1时，f (x )在[0，2]上递增，
∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （2）＝2，即⎩
⎪⎨⎪⎧a 0
－1＝0，a 2－1＝2. ∴a ＝± 3. 又a >1，∴a ＝3；
当0<a <1时，f (x )在[0，2]上递减，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧f （0）＝2，f （2）＝0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧a 0
－1＝2，a 2－1＝0.解得a ∈∅. 综上所述，实数a 的值为 3. 尖子生题库
☆☆☆
9．(10分)如果函数y ＝a 2x
＋2a x
－1(a >0且a ≠1)在[－1，1]上的最大值为14，求a 的值．
解析： 函数y ＝a 2x
＋2a x －1＝(a x ＋1)2
－2，x ∈[－1，1]． 若a >1，则x ＝1时，
函数取最大值a 2
＋2a －1＝14， 解得a ＝3.
若0<a <1，则x ＝－1时， 函数取最大值a －2
＋2a －1
－1＝14， 解得a ＝13
.
综上所述，a ＝3或1
3.。