【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.2.1 第2课时 排列的综合应用名师课件 新人教A版选修2-3

对特殊元素考虑不周致误
4 名运动员参加 4×100 接力赛，根据平时队员 训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的
出场顺序有( ) A．12 种 C．16 种
B．14 种 D．24 种
【错解】 若不考虑限制条件，4 名队员全排列共有 A44 ＝24 种排法，甲跑第一棒有 A33＝6 种，乙跑第四棒有 A33＝6 种，故一共有 A44－பைடு நூலகம்33－A33＝12 种．
【解】 (1)各个数位上数字允许重复，故采用分步计数 原理，4×5×5×5×5＝2 500 个．
(2)考虑特殊位置“万位”，从 1、2、3、4 中任选一个 填入万位，共有 4 种填法，其余四个位置，4 个数字全排列 为 A44，故共有 A14·A44＝96 个；另外，考虑特殊元素“0”，先 排 0，从个、十、百、千位中任选一个位置将 0 填入，A41种 填法，然后将其余 4 个数字在剩余 4 位置上全排列为 A44种， 故共有 A41·A44＝96 个．
用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个无重 复数字的
(1)六位奇数？ (2)个位数字不是 5 的六位数？ 【思路探究】 这是一道有限制条件的排列问题，每一 问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安 排的原则．另外，还可以用间接法求解．
【自主解答】 (1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三 步完成，第一步先填个位，有 A31种填法，第二步再填十万位， 有 A41种填法，第三步填其他位，有 A44种填法，故共有 A31A14A44 ＝288(个)六位奇数．
【解析】 翻译活动是特殊位置优先考虑，有 4 种选法 (除甲、乙外)，其余活动共有 A35种选法，由分步乘法计数原 理知共有 4×A53＝240 种选派方案．
【答案】 240
4．2 个老师，4 个女生，12 个男生，排成三排照相，要
求第一排 5 人，第二排 6 人，第三排 7 人，且老师在第一排，
第 2 课时 排列的综合应用
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 (1)掌握一些排列问题的常用方法； (2)能用排列知识解决简单的实际问题．
2．过程与方法 通过参与体验排列的实际应用，体会将实际问题化归计 数问题的方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生的数学应用意识和创新意识，力求对现实世界 中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断．
(2)由 3Ax8＝4Ax9－1得38×－8x！！＝140×－9x！！. ∴38×－8x！！＝10－x4×99－×x8！8－x！. 化简得：x2－19x＋78＝0，解得 x1＝6，x2＝13. ∵x≤8，且 x－1≤9，∴原方程的解是 x＝6.
1．本题应用方程的思想，应用排列数公式进行转化求 解．
(1)老师甲必须站在中间或两端； (2)两名女生必须相邻而站； (3)4 名男生互不相邻； (4)若 4 名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．
【思路探究】 这是一个有限制条件的排列问题，每一
问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的
原则． 【自主解答】 (1)先考虑甲有 A13种站法，再考虑其余 6
●教学建议 本节知识是上节知识的继续与延伸，主要解决排列的应 用问题．教学时教师要讲解解决排列应用题的常用的方法， 如：插空法、捆绑法、间接法等．让学生通过例题的学习， 获得一些解决排列问题的解题经验，提高解决应用题的能 力．
●教学流程
演示结束
1.掌握一些排列问题的常用解决方法． 课标解读
∵x≥3，两边同除以 4x(x－1)得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－ 2)，即 4x2－35x＋69＝0，解得：x＝3 或 x＝534(舍去)，∴原 方程的解为 x＝3.
排队问题
7 名师生站成一排照相留念，其中老师 1 人， 男学生 4 人，女学生 2 人，在下列情况下，各有多少种不同 站法？
2．数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着 重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路．常见 附加条件有：(1)首位不能为 0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数； (4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．
用 0,1,2,3,4 五个数字，(1)可组成多少个五位数？(2)可组 成多少个无重复数字的五位数？
有
A
12 12
种
排
法
，
由
分
步
乘
法
计
数
原
理
得
所
求
的
排
法
共
有
A52·A46·A1122(种).
课时作业（三）
三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？ (4)如果甲排在乙的前面，有多少种不同排法？
(2)(插空法)先排 5 个男生，有 A55种排法，这 5 个男生之 间和两端有 6 个位置，从中选取 3 个位置排女生，有 A63种排 法，因此共有 A55·A36＝14 400 种不同排法．
(3)法一：(位置分析法)因为两端不排女生，只能从 5 个 男生中选 2 人排列，有 A52种排法，剩余的位置没有特殊要求， 有 A66种排法，因此共有 A25·A66＝14 400 种不同排法．
女生在第二排，共有多少种不同的排法(用式子表示)? 【解】 先把 5＋6＋7＝18 个位置排成一排，自左至右
分 5 个位置，6 个位置，7 个位置三段，先在左边的 5 个位
置中排入 2 个老师有 A52种排法，再在中段的 6 个位置中排入
4 个女生有 A64种排法，然后在其余 12 个位置上排 12 个男生
(4)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44 种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不 同站法 2·AA4477＝420(种)．
1．要求某些元素相邻，可用“捆绑法”； 2．要求某些元素不相邻，可用“插空法”，某些元素 顺序一定也可以采用“插空法”，譬如(4)中可先排两名女生 和老师有 A73种方法，然后将 4 名男生插入所形成的四个空格 中有两种插入法，于是共有站法 2A73＝420(种)．
1．将 2 位新同学分到 4 个班中的 2 个班中去，共有的
分法种数为( )
A．4
B．12
C．6
D．24
【解析】 一共有 A42＝12 种． 【答案】 B
2．A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果 A，B 必
须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有( )
A．60 种
B．48 种
C．36 种
法二：从特殊元素入手(直接法) 0 不在两端有 A41种排法，从 1,3,5 中任选一个排在个位 有 A31种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有 A44种排 法，故共有 A41A13A44＝288(个)六位奇数．
法三：排除法． 6 个数字的全排列有 A66个，0,2,4 在个位上的六位数为 3A55个，1,3,5 在个位上，0 在十万位上的六位数有 3A44个，故 满足条件的六位奇数共有 A66－3A55－3A44＝288(个)． (2)法一：排除法． 0 在十万位的六位数或 5 在个位的六位数都有 A55个，0 在十万位且 5 在个位的六位数有 A44个． 故符合题意的六位数共有 A66－2A55＋A44＝504(个)．
人全排，故不同站法总数为：A31A66＝2 160(种)； (2)2 名女生站在一起有站法 A22种，视为一种元素与其余
5 人全排，有 A66种排法，所以有不同站法 A22·A66＝1 440(种)； (3)先站老师和女生，有站法 A33种，再在老师和女生站位
的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法 A44种， 所以共有不同站法 A33·A44＝144(种)；
(3)间接法：也叫排除法，直接考虑时情况较多，但其对 立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可考虑用间接法．
(4)插空法：先把无限制的元素排好，然后将不能相邻的 元素插入排好的元素的空中．要注意无限制条件的元素的排 列数及所形成的空的个数，此方法适用于“不相邻”问题的 排列．
(5)捆绑法：把要求在一起的“小集团”看成一个整体， 与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排 列．此法适用于“相邻”问题的排列．
法二：直接法． 十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不 同．因此需分两类． 第一类：当个位排 0 时，符合条件的六位数有 A55个． 第二类：当个位不排 0 时，符合条件的六位数有 A41A14A44 个． 故共有符合题意的六位数 A55＋A14A41A44＝504(个)．
1．本题中的直接法采用“特元优先法”，即优先安排 特殊元素或优先满足特殊位置．
【思路探究】 (1)可以把女生全排列，看成整体，再与 男生全排列；(2)可以先排男生，再让女生插空；(3)(4)可按 特殊元素优先考虑的方法．
【自主解答】 (1)(捆绑法)由于女生全排在一起，可把 她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有 6 个元素， 排成一排有 A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又 有 A33种排法，因此共有 A66·A33＝4 320 种不同排法．
本例条件不变问题改为“老师不站中间，女生不站两 端”结果如何？
【解】 中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下： ①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有 A21·A14·A55种 站法； ②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外 4 个位 置之一，有 A41·A24·A44种站法． 所以共有不同站法 A21·A14·A55＋A14·A42·A44 ＝960＋1 152＝2 112(种)．
【答案】 A 【错因分析】 解答过程中，排除甲跑第一棒和乙跑第 四棒，两次都减去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况导致了 错误结论 A44－2A33＝12. 【防范措施】 解决此类问题一定要不重不漏．
【正解】 用排除法，若不考虑限制条件，4 名队员全 排列共有 A44＝24 种排法，减去甲跑第一棒有 A33＝6 种排法， 乙跑第四棒有 A33＝6 种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四 棒有 A22＝2 种排法，共有 A44－2A33＋A22＝14 种不同的出场顺 序．
【答案】 B
解决排列应用题的常用方法 (1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考 虑．有两个以上的约束条件时，往往根据其中的一个条件分 类处理． (2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的 要求，再处理其他元素．有两个以上的约束条件时，往往考 虑一个元素的同时，兼顾其他元素．
D．24 种
【解析】 把 A、B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，
则本题相当于 4 人的全排列，共 A44＝24 种． 【答案】 D
3．(2013·杭州高二检测)从 6 名志愿者中选出 4 人分别从 事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙 两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________ 种．
2．能应用排列知识解决简单的实际问题.
含排列数方程(或不等式)的解法
求下列各式中的 x 值． (1)3A3x＝2Ax2＋1＋6A2x. (2)3Ax8＝4Ax9－1.
【思路探究】 分析题意→利用排列数公式展开→ 化简得到关于 x 的代数方程→解方程→检验根→得结论
【自主解答】 (1)由 3A3x＝2Ax2＋1＋6A2x得： 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)·x＋6x(x－1)． ∵x≥3 且 x∈N*， ∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)． 化简整理得：3x2－17x＋10＝0. 解得 x1＝5，x2＝23(舍去)．∴x＝5.
2．在解有关排列数的方程或不等式时，必须注意隐含 条件，即 Amn 中的 n、m 为正整数，且 n≥m.因此求出方程或 不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．
解方程：A24x＋1＝140A3x.
【解】 由原方程应满足2xx≥＋31，≥4， 解得 x≥3，
由排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝ 140x·(x－1)·(x－2)．
●重点、难点 重点：用排列知识解决应用题． 难点：“有限制条件”的排列问题． 解决排列问题时通常从三个途径考虑：①以元素为主考 虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置 为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③ 先不考虑附加条件，计算出排列数，再去掉不符合要求的排 列．从而化解难点．