数列 1 公开课一等奖课件

① ②
② 1 由 得 q＝2，∴a1＝32. ① 1 n －1 又 an＝1，∴32×(2) ＝1， 即 26－n＝20，∴n＝6.
等比中项
等差数列{an}的公差不为零，首项 a1＝1，a2 是 a1 和 a5 的等比中项，则数列{an}的前 10 项之和是( A．90 C．145 B．100 D．190 )
破疑点：(1)在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (2)当 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个，异号时，没有 等比中项．所以“a，G，b 成等比数列”与“G＝ ab”是不等价 的． (3)“a， G， b 成等比数列”等价于“G2＝ab(a， b 均不为 0)”， 可以用它来判断或证明三数成等比数列．
方程 x2－5x＋4＝0 的两根的等比中项是( 5 A. 2 C．± 5
[答案]
[解析]
)
B．± 2 D．2
B
设方程的两根为 x1、x2，由韦达定理，得 x1x2＝4，
∴两根的等比中项为± x1x2＝± 2.
3．等比数列的通项公式
n 1 a q 1 首项为 a1，公比为 q 的等比数列的通项公式是 an＝______.
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，…； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，…，a，…； an＋1 (4)数列{an}中， ＝q，其中 n∈N*. an
[解析]
(1)不符合等比数列的定义，故不是等比数列．
－8 设公比为 q，则 a3＝a1q ，∴q ＝ ＝4，∴q＝± 2. －2
2 2
－1 －1
[解析]
∴an＝(2)n ＝(－2)n.
课堂典例讲练
思路方法技巧
等比数列通项公式
已知等比数列{an}， 若 a1＋a2＋a3＝7， a1a2a3＝8， 求 an . [分析] (1)在等比数列的通项公式中含有两个待定系数 a1
解法二：∵a1a3＝a2 2， ∴a1a2a3＝a3 2＝8， ∴a2＝2.
a1＋a3＝5 从而 a1a3＝4
，解之得 a1＝1，a3＝4，或 a1＝4，a3＝1，
1 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝ . 2 故 an＝2n 1，或 an＝23 n.
－ －
在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
－
∴an＝2n－1.
[点评]
判定数列是等比数列常用的方法
an＋1 an (1)定义法： ＝q(常数)或 ＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等 an an－1 比数列． (2)等比中项法 a2 an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数 n＋1＝an· 列． (3)通项法： an＝a1qn 1(其中 a1、 q 为非零常数， n∈N*)⇔{an}
13 [答案] 16
[解析]
由题意知，a3 是 a1 和 a9 的等比中项，
∴a2 3＝a1a9， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得 a1＝d， a1＋a3＋a9 13d 13 ∴ ＝ ＝ . a2＋a4＋a10 16d 16
建模应用引路
等比数列的实际应用
培育水稻新品种，如果第一代得到 120 粒种 子，并且从第一代起，由各代的每一粒种子都可以得到下一 代的 120 粒种子，到第 5 代大约可以得到这个新品种的种子 多少粒(保留两个有效数字)?
(2)如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 n(n>3， n∈N*)项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，此数列 不是等比数列， 但是可以说此数列从第 2 项起或第(n－1)项起是一 个等比数列． (3)常数列都是等差数列，却不一定都是等比数列．例如，各 项都为 0 的常数列，它就不是等比数列；各项都不为 0 的常数列 就是等比数列．
代入已知得，
2 a1＋a1q＋a1q ＝7 2 a · a q · a q 1 1 1 ＝8 2 a11＋q＋q ＝7 ∴ a1q＝2 2 a11＋q＋q ＝7 ，即 3 3 a1q ＝8
， ① ②
2 由②得 a1＝q，代入①得 2q2－5q＋2＝0， 1 ∴q＝2，或 q＝ . 2 当 q＝2 时，a1＝1，an＝2n－1； 1 － 当 q＝2是，a1＝4，an＝23 n.
等比数列{an}的前三项的和为 168， a2－a5＝42， 求 a5、a7 的等比中项． [错解] 设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，
[解析]
3 a1q ＝2 6 a q 1 ＝8
(1)设公比为 q，由题意，得 ① ②
② 3 3 由 得 q ＝4，∴q＝ 4. ① 2 1 ∴a1＝q3＝2， ∴an＝a1q
n－1
n－1 1 ＝2×4 3
2n－5 ＝2 . 3
(2)设公比为 q，由题意，得
4 a1q＋a1q ＝18 2 5 a1q ＋a1q ＝9
2．等比中项 (1)定义：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等
等比中项． 比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的_________
G b ＝G a (2)公式：若 G 是 a 与 b 的等比中项，则_________，所以 G2 ab ± ab ＝______，G＝_______.
自 主 预 习
1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的
等比数列 ，这个常数叫 比等于同一个常数，那么这个数列就叫做_________
an 公比 做等比数列的______，公比通常用字母 q 表示(q≠0)．即： ＝ an－1 q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
an＋1 破疑点： (1)等比数列的定义可简述为 ＝q(q 为常数， q≠0)． an ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义， an 同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项之比，不能前 后颠倒次序．
第二章
数列
第二章
2.4 等比数列
第二章
第 1 课时 等比数列的概念与通项公式
课前自主预习
名师辨误做答
课堂典例讲练
课后强化作业
课前自主预习
温 故 知 新
1.关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题， 由于每一个 格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的 2 倍， 且共有 64 个格 子 ， 各 个 格 子 里 的 麦 粒 数 依 次 是 1,2 ， ________ ， ________，…________.
(2)不一定是等比数列，当数列只有三项时，它是等比数列； a4 当数列多于 3 项时，a 不一定也等于 2，故它不一定是等比数列． 3 a (3)不一定是等比数列．当 a＝0 时， 无意义，它不是等比数 a a 列；当 a≠0 时，a＝1，数列是等比数列． an＋1 (4)是等比数列．等比数列的定义用符号表示就是 a ＝q(n∈ n N*)．
1 1 即 －1＝2a －1， an＋1 n
1
1 1 ∵a1＝2，∴a －1＝－2. 1 1 1 1 ∴数列{a －1}是首项为－2，公比为2的等比数列． n
1 1 11n－1 ∴a －1＝－22 ＝－2n. n
2n ∴an＝ n . 2 －1
名师辨误做答
探索延拓创新
等比数列的判定
已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*) (1)求证{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式．
[分析]
bn＋1 (1)欲证{bn}是等比数列，须证 为常数，又 bn bn
＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1，故只须将条件式变换为 an＋1＋1 与 an＋1 的关系式即可获证． (2)只要求出了{bn}的通项公式， 就可以求出{an}的通项公 式．
和 q，故需建立 a1 与 q 的两个方程，组成方程组求解，因此只 需将已知条件改写成 a1 与 q 的关系式即可． (2)由等比中项的定义知， a2 是 a1 与 a3 的等比中项， 故可先 由 a1a2a3＝8 求得 a2，再解关于 a1 与 a3 的方程组，即可获解．
[解析]
解法一：由等比数列的定义知 a2＝a1q，a3＝a1q2，
a1 n q ，当 q>0，且 q≠1 时，y＝q 是一个指数函数，而 y＝ q · q 是一 个不为 0 的常数与指数函数的积． 因此等比数列{an}的图象是函数 a1 n an＝ q · q 的图象上一群孤立的点．
已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则 an＝________.
[答案] －2n 或(－2)n
[解析]
开始的浓度为 1，操作一次后溶液的浓度是 a1＝1
1 － .投操作 n 次后溶液的浓度是 an， 则操作 n＋1 次后溶液的浓 a 1 1 度是 an＋1＝an(1－a)．所以{an}构成以 a1＝1－a为首项，q＝1 1 1n － 为公比的等比数列．所以 an＝(1－ ) ，即第 n 次操作后溶 a a 1n 1n 1 液的浓度是(1－ ) .当 a＝2 时，由 a1＝( ) < ，得 n≥4. a 2 10 因此，至少应倒 4 次后才可以使酒精浓度低于 10%.
22 23 263
[答案]
2．某人年初投资 10 000 元，如果年收益率是 5%，那么按照 复利， 5 年内各年末的本利和依次为 10 000×1.05， ________， …， ________.
[答案]
10 000×1.052 10 000×1.055
新 课 引 入
我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出 门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九 巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列？
－
破疑点：(1)在已知 a1 和 q 的前提下，利用通项公式 an＝a1· qn
－1
可求出等比数列中的任意一项． (2)在等比数列中，已知 a1、n、q、an 四个量中的三个，可以
求得另一量，即“知三求一”． (3)等比数列{an}的通项公式 an＝a1q
n x n－1
a1 ，还可以改写为 an＝ q
[ 解析 ]
由于每代的种子数是它的前一代种子数的 120
倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{an}，其中 a1＝120，q ＝120，因此，a5＝120×1204≈2.5×1010. 答：到第五代大约可以得到种子 2.5×1010 粒．
容积为 aL(a>1)的容器盛满酒精后倒出 1L，然后加满水， 再倒出 1L 混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第 n 次 操作后溶液的浓度是多少？当 a＝2 时，至少应倒出几次后才 可能使酒精浓度低于 10%?
[解析]
(1)∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)即 bn＋1＝2bn， ∵b1＝a1＋1＝2≠0.∴bn≠0， bn＋1 ∴ b ＝2， n ∴{bn}是等比数列． (2)由(1)知{bn}是首项 b1＝2 公比为 2 的等比数列， ∴bn＝2×2n 1＝2n 即 an＋1＝2n，
[答案] B
[解析]
设公差为 d，由题意得 a2 a5， 2＝a1·
∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d， ∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2， 10×9 ∴S10＝10×1＋ 2 ×2＝100，故选 B.
等差数列{an}中，公差 d≠0，且 a3 是 a1 和 a9 的等比中项， a1＋a3＋a9 则 ＝________. a2＋a4＋a10
－
为等比数列．
2an 1 在数列{an}中，已知 a1＝2，an＋1＝ ，证明数列{a － an＋1 n 1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式．
[解析]
2an 由 a1＝2，an＋1＝ 可知，对 n∈N*，an≠0. an＋1
2an 1 1 1 由 an＋1＝ 两边取倒数得， ＝ ＋ . an＋1 an＋1 2 2an