【100所名校】浙江省宁波市镇海中学2019届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

2019届浙江省宁波市镇海中学
高三上学期期中考试数学试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．设全集U =R ，集合A ={x|x ≥3},B ={x|x ≤0<5}，则集合(C U A )∩B = A ．{x|0≤x ≤3} B ．{x|0<x <3} C ．{x|0<x ≤3} D ．{x|0≤x <3}
2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
A ．8−π
3 B ．16
3 C ．8−π
6 D ．20
3
3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 9=45,a 3+a 8=12, 则a 7= A ．10 B ．9 C ．8 D ．7
4．4．满足线性约束条件23,23,{
0,0
x y x y x y +≤+≤≥≥的目标函数z x y =+的最大值是
A ．1
B ．
3
2
C ．2
D ．3 5．已知函数f (x )=x 2−
In|x|x
，则函数f (x )的图象为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ①若直线m ⊥α，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m ⊥α，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m ⊂α，则在平面β内不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m ⊂α，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线． A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①④ 7．已知sin (π
6−α)=
√2
3
，那么cos2α+√3sin2α=
A ．10
9 B ．−109 C ．−5
9 D ．5
9
8．已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n ，使得a m ⋅a n =16a 12
，则
1m
+9
n 的最小值为 A ．32 B ．114 C ．83 D ．10
3
9．已知双曲线C:x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P,Q 均位于第一象限，且2QP ⃑⃑⃑⃑⃑ =PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，QF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则双曲线C 的离心率为
A ．√3−1
B ．√3+1
C ．√13−2
D ．√13+2
此
卷
只
装订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
10．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面为边长为2的正三角形，B1在底面的射影为AC中点且B1到底面的距离为√3，已知E,F分别是线段AB1与CA1上的动点，记线段EF中点M的轨迹为L，则|L|等于(注：|L|表示L的测度，本题中L若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）
A．1B．√10
2C．√3
2
D．√39
4
二、填空题
11．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________.
12．y=sin(2x+π
6)的最小正周期为_________________，为了得到函数y=sin(2x+π
6
)的图
象，可以将函数y=cos2x的图象向左最小移动_______个单位
13．已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0，其中a∈R，若l1⊥l2，则
a=______，若l1//l2，则a=__________.
14．已知x,y∈R，且4x2+y2+xy=1，则4x2+y2的最小值_________，此时x的值为
___________.
15．已知两不共线的非零向量a ,b⃑满足|a|=2,|a−b⃑|=1,则向量a与b⃑夹角的最大值是
__________.
16．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+3a3=S6，给出以下结论：①a10= 0②S10最小③S7=S12④S19=0，正确的有_________________.
17．设函数f(x)={|12x−4|+1,x≤1
x(x−2)2+a,x>1，若存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4，使得f(x1)
x1
=
f(x2) x2=f(x3)
x3
=f(x4)
x4
=7，则a的取值范围为__________.
三、解答题
18．已知函数f(x)=sin x
3
cos x
3
+√3cos2x
3
（1）求函数f(x)图象对称中心的坐标；
（2）如果ΔABC的三边a,b,c满足b2=ac，且边b所对的角为B，求f(B)的取值范围．
19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−3
2n
,n∈N∗，b n=a n−1
2n
（1）求证：数列{b n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；
（2）是否存在实数λ，对任意m,n∈N∗，不等式S m>λ
b n
恒成立？若存在，求出λ的取值范围，
若不存在请说明理由．
20．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=
PC,∠ABC=45°，点E是线段PA上靠近点A的三等分点
（1）求证：AB⊥PC
（2）若ΔPAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值
21．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点，且抛物线C1上点P处的切
线与圆C2:x2+y2=1相切于点Q
（1）当直线PQ的方程为x−y−√2=0时，求抛物线C1的方程；
（2）当正数p变化时，记S1,S2分别为ΔFPQ,ΔFOQ的面积，求S1
S2
的最小值。

22．已知a∈R，函数f(x)=e x−1−ax在点(1,1−a)处与x轴相切
（1）求a的值，并求f(x)的单调区间；
（2）当x>1时，f(x)>m(x−1)Inx，求实数m的取值范围。