中考数学 专题08 一元二次方程(原卷版)

第二篇方程与不等式专题08
一元二次方程
知　识　点
名师点晴
1． 一元二次方程的概念
会识别一元二次方程．
一元二次方程 的概念2． 一元二次方程的解会识别一个数是不是一元二次方程的解．
解法
步骤能灵活选择适当的方法解一元二次方程．
根的判别式
是一元二次方程
24b ac -（a ≠0）的判20ax bx c ++=别式
会判断一元二次方程根的情况．
根与系数的关系，12b x x a +=-
12c x x a
=会灵活运用根与系数的关系解决问题．
一元二
次方程
的应用
由实际问题抽象出一元二次方
程
要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系．
最后要检验结果是不是合理．
归纳 1：一元二次的有关概念
基础知识归纳：
1．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一般形式： （其中a 、b 、c 为常数，a ≠0），其中、bx 、c 分别叫做二次项、一次2
0ax bx c ++=2
ax 项和常数项，a 、b 分别称为二次项系数和一次项系数．
3．一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知
数；（3）所含未知数的最高次数是2．
注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0．因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元
二次方程．
【例1】（2019南京，第10题，2分）已知2x 的方程x 2﹣4x +m =0的一个根，则m =
．
归纳 2：一元二次方程的解法基础知识归纳：
一元二次方程的解法1．直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解形如的一元二次方程．根据平方根的定义可知，是b 的平方根，当时，
b a x =+2
)(a x +0≥b ，，当b ＜0时，方程没有实数根．
b a x ±=+b a x ±-=2．配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用．配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a 看做未知数x ，2
2
2
)(2b a b ab a +=+±并用x 代替，则有．2
2
2
)(2b x b bx x ±=+±3．公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．一元二次方程的求根公式：
)0(02
≠=++a c bx ax )
04(2422≥--±-=ac b a
ac b b x 4．因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．
基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；
（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；
（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解．
注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一
半的平方．
【例2】（2019湖南省常德市，第18题，5分）解方程：x 2﹣3x ﹣2=0．
归纳 3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：
一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程（a ≠0）：2
0ax bx c ++=（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；2
4b ac -（2）＝0⇔方程有两个的实数根；24b ac -（3）＜0⇔方程没有实数根．
24b ac -基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．
注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a ≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．
【例3】（2019辽宁省朝阳市，第3题，3分）一元二次方程x 2﹣x ﹣1=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根 D ．无法判断
【例4】（2019枣庄，第14题，4分）已知关于x 的方程ax 2+2x ﹣3=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是
．
归纳 4：根与系数的关系基础知识归纳：
一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程（a ≠0）的两根分别为，，则有，．2
0ax bx c ++=1x 2x 12b x x a +=-
12c
x x a
=基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a ≠0．
【例5】（2019四川省泸州市，第15题，3分）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣x ﹣4=0的两实根，则（x 1+4）（x 2+4）的值是
．
【例6】（2019四川省南充市，第20题，8分）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2﹣3=0有实数根．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）当m =2时，方程的根为x 1，x 2，求代数式（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）的值．
【例7】（2019湖北省鄂州市，第7题，3分）关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m =0的两实数根分别为x 1、x 2，且x 1+3x 2=5，则m 的值为（ ）A ．
B ．
C ．
D ．074757
6
【例8】（2017湖北省孝感市）已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根，．2
640x x m -++=1x 2x （1）求m 的取值范围；
（2）若，满足，求m 的值．
1x 2x 1232x x =+
归纳 5：一元二次方程的应用 基础知识归纳：一元二次方程的应用
1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．
2．列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系：A ．增长率＝
×100%；
增长量
基数
B ．设a 为原来量，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则；当x 为平均下降(1)n
a x
b +=率，n 为下降次数，b 为下降后的量时，则有．(1)n
a x
b -=（2）利润等量关系：A ．利润＝售价-成本；B ．利润率＝
×100%．利润
成本
（3）面积问题
3．解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
【例9】（2019青海省，第4题，2分）某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调
后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为 ．
【例10】（2019山东省东营市，第23题，8分）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
【2019年题组】
一、选择题
1．（2019南通，第6题，3分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2=﹣9 B．（x+4）2=﹣7 C．（x+4）2=25 D．（x+4）2=7 2．（2019江苏省泰州市，第3题，3分）方程2x2+6x﹣1=0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（ ）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
3．（2019江苏省淮安市，第7题，3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞1
4．（2019内蒙古包头市，第10题，3分）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根，则m的值是（ ）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
5．（2019内蒙古呼和浩特市，第8题，3分）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两个实数根，则x23﹣4x12+17的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
6．（2019内蒙古赤峰市，第9题，3分）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（ ）A．400（1+x2）=900 B．400（1+2x）=900
C．900（1﹣x）2=400 D．400（1+x）2=900
7．（2019内蒙古通辽市，第6题，3分）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15=0的一个根，其中一条对角线
长为8，则该菱形的面积为（ ）
A ．48
B ．24
C ．24或40
D ．48或80
8．（2019四川省达州市，第7题，3分）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x ．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）A ．2500（1+x ）2=9100B ．2500（1+x %）2=9100
C ．2500（1+x ）+2500（1+x ）2=9100
D ．2500+2500（1+x ）+2500（1+x ）2=9100
9．（2019四川省遂宁市，第5题，4分）已知关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +a 2﹣1=0有一个根为x =0，则a 的值为（ ）
A ．0
B ．±1
C ．1
D ．﹣1
10．（2019德州，第10题，4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字
，，1的卡片，141
2
乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b ．若a ，b 能使关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1=0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（ ）A ．
B ．
C ．
D ．23594913
11．（2019山东省淄博市，第9题，4分）若x 1+x 2=3，x 12+x 22=5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）
A ．x 2﹣3x +2=0
B ．x 2+3x ﹣2=0
C ．x 2+3x +2=0
D ．x 2﹣3x ﹣2=012．（2019滨州，第8题，3分）用配方法解一元二次方程x 2﹣4x +1=0时，下列变形正确的是（ ）A ．（x ﹣2）2=1 B ．（x ﹣2）2=5 C ．（x +2）2=3 D ．（x ﹣2）2=313．（2019山东省潍坊市，第10题，3分）关于x 的一元二次方程x 2+2mx +m 2+m =0的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（ ）
A ．m =﹣2
B ．m =3
C ．m =3或m =﹣2
D ．m =﹣3或m =2
14．（2019广州，第10题，3分）关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2=0有两个实数根x 1，x 2，若（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2=﹣3，则k 的值（ ）
A ．0或2
B ．﹣2或2
C ．﹣2
D ．2
15．（2019广西，第10题，3分）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）
A ．（30﹣x ）（20﹣x ）20×30
B ．
（30﹣2x ）（20﹣x ）20×3034=
⨯1
4=⨯C ．30x +2×20x 20×30 D ．（30﹣2x ）（20﹣x ）20×30
14=⨯3
4
=⨯16．（2019广西梧州市，第12题，3分）已知m ＞0，关于x 的一元二次方程（x +1）（x ﹣2）﹣m =0的解为x 1，x 2（x 1＜x 2），则下列结论正确的是（ ）A ．x 1＜﹣1＜2＜x 2 B ．﹣1＜x 1＜2＜x 2C ．﹣1＜x 1＜x 2＜2 D ．x 1＜﹣1＜x 2＜2
17．（2019湖北省武汉市，第7题，3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a 、c ，则关于x 的一元二次方程ax 2+4x +c =0有实数解的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．1413122
3二、填空题
18．（2019吉林省，第10题，3分）若关于x 的一元二次方程（x +3）2=c 有实数根，则c 的值可以为 （写出一个即可）．
19．（2019吉林省长春市，第11题，3分）一元二次方程x 2﹣3x +1=0的根的判别式的值是
．
20．（2019四川省宜宾市，第13题，3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x ，根据题意可列方程是 ．21．（2019四川省广元市，第12题，3分）若关于x 的一元二次方程ax 2﹣x 0（a ≠0）有两个不相等1
4
-=的实数根，则点P （a +1，﹣a ﹣3）在第 象限．
22．（2019江苏省扬州市，第12题，3分）一元二次方程x （x ﹣2）=x ﹣2的根是
．
23．（2019上海，第10题，4分）如果关于x 的方程x 2﹣x +m =0没有实数根，那么实数m 的取值范围是
．
24．（2019山西省，第13题，3分）如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m 2，设道路的宽为xm ，则根据题意，可列方程为
．
25．（2019江苏省连云港市，第14题，3分）已知关于x 的一元二次方程ax 2+2x +2﹣c =0有两个相等的实数根，则
c 的值等于 ．
1
a
26．（2019湖北省荆门市，第14题，3分）已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1=0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）=8k 2，则k 的值为
．
27．（2019湖南省张家界市，第13题，3分）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得：长比宽多 步．
28．（2019内蒙古呼和浩特市，第16题，3分）对任意实数a ，若多项式2b 2﹣5ab +3a 2的值总大于﹣3，则实数b 的取值范围是
．
29．（2019内蒙古赤峰市，第18题，3分）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b ＞0；②a ﹣b +c =0；③一元二次方程ax 2+bx +c +1=0（a ≠0）有两个不相等的实数根；④当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0．上述结论中正确的是
．（填上所有正确结论的序号）
30．（2019四川省成都市，第22题，4分）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ﹣1=0的两个实数根，且x 12+x 22﹣x 1x 2=13，则k 的值为
．
31．（2019宁夏，第16题，3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x 2+5x ﹣14=0即x （x +5）=14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股
圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x=2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12=0的正确构图是．（只填序号）
三、解答题
32．（2019内蒙古呼和浩特市，第19题，6分）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）=16的实数根．33．（2019北京，第19题，5分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
34．（2019四川省巴中市，第22题，8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17=0，求m的值．
35．（2019四川省攀枝花市，第21题，8分）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．
（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量．
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
36．（2019山东省威海市，第23题，10分）在画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下
乙写错了常数项，列表如下：
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x 时，y的值随x的值增大而增大；
（3）若关于x的方程ax2+bx+c=k（a≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
37．（2019德州，第21题，10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
38．（2019南京，第25题，8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
39．（2019湖北省十堰市，第21题，7分）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
40．（2019湖北省孝感市，第21题，10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2=16，求a的值．
41．（2019湖北省宜昌市，第22题，10分）HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．
（1）求2018年甲类芯片的产量；
（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增．2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．
42．（2019湖北省黄石市，第20题，7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|=4，求m的值．
43．（2019湖南省衡阳市，第21题，8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3=0与方程x2﹣3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．
44．（2019辽宁省朝阳市，第23题，10分）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若14＜x≤30，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
45．（2019广西梧州市，第24题，10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
46．（2019黑龙江省鸡西市，第28题，10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（BC＞AB），OA=2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t ＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．
（1）求点D的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
47．（2019重庆A，第24题，10分）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数
的基础上将增加2a %，每户物管费将会减少
a %；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活310动的同户型户数的基础上将增加6a %，每户物管费将会减少a %．这样，参加活动的这部分住户6月份14
总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a %，求a 的值．518【2018年题组】
一、选择题
1．（2018上海市，第2题，4分）下列对一元二次方程x 2+x ﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ）
A ．有两个不相等实数根
B ．有两个相等实数根
C ．有且只有一个实数根
D ．没有实数根
2．（2018云南省昆明市，第8题，4分）关于x 的一元二次方程x 2x +m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜3
B ．m ＞3
C ．m ≤3
D ．m ≥3
3．（2018内蒙古包头市，第9题，3分）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +m ﹣2=0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
4．（2018河南省，第7题，3分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A ．x 2+6x +9=0
B ．x 2=x
C ．x 2+3=2x
D ．（x ﹣1）2+1=0
5．（2018浙江省嘉兴市，第7题，3分）欧几里得的《原本》记载，形如x 2+ax =b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB =90°，BC =，AC =b ，再在斜边AB 上截取BD =．则该方程的一个正根是（ ）2a 2
a
A ．AC 的长
B ．AD 的长
C ．BC 的长
D ．CD 的长
6．（2018湖北省鄂州市，第6题，3分）一袋中装有形状、大小都相同的五个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是2、3、4、5、6．现从袋中任意摸出一个小球，则摸出的小球上的数恰好是方程x 2﹣5x ﹣
6=0的解的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．15253545
7．（2018辽宁省大连市，第8题，3分）如图，有一张矩形纸片，长10cm ，宽6cm ，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm 2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm ，根据题意可列方程为（ ）
A ．10×6﹣4×6x =32
B ．（10﹣2x ）（6﹣2x ）=32
C ．（10﹣x ）（6﹣x ）=32
D ．10×6﹣4x 2=32
8．（2018内蒙古赤峰市，第10题，3分）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为（ ）
A ．
x （x ﹣1）=380 B ．x （x ﹣1）=380 12C ．x （x +1）=380 D ．x （x +1）=380129．（2018四川省凉山州，第7题，4分）若n （n ≠0）是关于x 的方程x 2+mx +2n =0的一个根，则m +n 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．﹣1
D ．﹣2
10．（2018四川省宜宾市，第6题，3分）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A ．2%
B ．4.4%
C ．20%
D ．44%
11．（2018宁夏，第4题，3分）若x 2﹣4x +c =0的一个根，则c 的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．31+2+12．（2018宁夏，第5题，3分）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万
元．设这两年的年利润平均增长率为x ．应列方程是（ ）
A ．300（1+x ）=507
B ．300（1+x ）2=507
C ．300（1+x ）+300（1+x ）2=507
D ．300+300（1+x ）+300（1+x ）2=507
13．（2018山东省临沂市，第4题，3分）一元二次方程y 2﹣y ﹣
=0配方后可化为（ ）34
A ．（y +）2=1
B ．（y ﹣）2=1
C ．（y +）2=
D ．（y ﹣）2=1212123412
3
414．（2018四川省眉山市，第8题，3分）若α，β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9=0的两根，则的值是βααβ+（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．427427-5827-5827
15．（2018山东省潍坊市，第11题，3分）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +
=0有两个不相4m 等的实数根x 1，x 2．若+=4m ，则m 的值是（ ）11x 2
1x A ．2 B ．﹣1 C ．2或﹣1 D ．不存在
16．（2018新疆乌鲁木齐市，第9题，4分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ）
A ．（180+x ﹣20）（50﹣
）=10890 B ．（x ﹣20）（50﹣）=1089010x 18010
x -C ．x （50﹣）﹣50×20=10890 D ．（x +180）（50﹣）﹣50×20=1089018010x -10
x 二、填空题17．（2018上海市，第9题，4分）方程组的解是 ．202x y x y -=⎧⎨+=⎩
18．（2018云南省曲靖市，第12题，3分）关于x 的方程ax 2+4x ﹣2=0（a ≠0）有实数根，那么负整数a = （一个即可）．
19．（2018内蒙古通辽市，第15题，3分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．
20．（2018四川省内江市，第22题，6分）已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为 ．
21．（2018四川省凉山州，第17题，4分）方程x 2﹣bx +c =0中，系数b 、c 可以在1、2、3、4中任取一值（b 、c 可以取相同的值），则b 、c 所取的值使方程x 2﹣bx +c =0有实数根的概率是 ．
22．（2018四川省南充市，第14题，3分）若2n （n ≠0）是关于x 的方程x 2﹣2mx +2n =0的根，则m ﹣n 的值为 ．
23．（2018四川省泸州市，第15题，3分）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两实数根，则的值是 ．12112121
x x +++24．（2018四川省资阳市，第15题，3分）已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x +m 2﹣2m =0有一个根为0，则m = ．
25．（2018四川省达州市，第15题，3分）已知：m 2﹣2m ﹣1=0，n 2+2n ﹣1=0且mn ≠1，则
的1mn n n
++值为 ．
26．（2018山东省烟台市，第17题，3分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ﹣1=0的实数根x 1，x 2，满足3x 1x 2﹣x 1﹣x 2＞2，则m 的取值范围是 ．
27．（2018江苏省泰州市，第15题，3分）已知3x ﹣y =3a 2﹣6a +9，x +y =a 2+6a ﹣9，若x ≤y ，则实数a 的值为 ．
28．（2018湖北省荆州市，第16题，3分）关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣k =0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=4，则x 12﹣x 1x 2+x 22的值是 ．三、解答题
29．（2018新疆，第17题，8分）先化简，再求值：（+1）÷，其中x 是方程x 2+3x =0的根．11x -21
x x -30．（2018江苏省扬州市，第26题，10分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
31．（2018江苏省盐城市，第23题，10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间
销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
32．（2018河南省，第21题，10分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）
与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：
（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是 元，当销售单价x= 元时，日销售利润w最大，最大值是 元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单
价应不超过多少元？
33．（2018浙江省杭州市，第21题，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半
径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．
（2）设BC=a，AC=b．
①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．。