26.2(2)(3)特殊二次函数的图像
26.2(2)(3)特殊二次函数的图像
巩固训练
3、 (1)抛物线y x 向
2
平移
个单位就可以
2 得到y （x 1 ） 1 2 (2)抛物线y x 向 平移 个单位就 2 1 2 可以得到y （x 2） 2 (3)抛物线y ax 2 (a 0)向 平移 个单位
就可以得到y a ( x 2) 2 (4)抛物线y ax (a >0)向
26.2特殊二次函数的图像（2）
教学目标：
1.理解和掌握二次函数y=ax2 +c的图像并从图像观察出二次函 数y=ax2 +c的性质. 2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力
教学重点：
通过二次函数y=ax2 +c的图像总结出有关性质
教学难点：
二次函数y=ax2 +c的图像和性质
教材分析：
总结归纳
抛物线y a( x m) 2 (其中a、m是常数，且a 0) 对称轴:直线x m， 顶点坐标:(m, 0)， 当a 0时，抛物线开口向上， 顶点是抛物线的最低点； 当a 0时，抛物线开口向下， 顶点是抛物线的最高点.
巩固训练
1、函数y=ax2与函数y= -3x2图像的形状相同， 开口方相反.将函数y=ax2图像沿y轴方向向上平 移2个单位，所得的函数 . 2、函数y= -4x2+1图像是 ，开口 ，对 称轴是 ，顶点坐标 ，它的图像有最 __点，此图像由y=-4x2的图像向 平移____ 个单位得到的.
议一议
1 2 函数y x 和 2 1 2 y x 2图像的 2 开口方向、对称轴、 顶点坐标？
总结归纳
抛物线y=ax2+c(其中a,c是常数,且 像a≠0)的图形特征
二次函数概念和图像
二次函数概念与性质【知识概要】1.二次函数的概念一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．二次函数的定义域为一切实数．2.二次函数图像特征二次函数的图像是一条曲线，类似于抛出物体在空中所经过的路线，所以称为抛物线．二次函数的图像，叫做抛物线．开口方向：抛物线的开口向上或者向下．对称轴：二次函数的图像是轴对称图形．抛物线左侧部分沿着对称轴翻转能得到右侧部分的图像．顶点：抛物线与对称轴的交点，为抛物线的最低点或最高点．3.特殊二次函数的性质与图像◆一般地，二次函数（其中是常数，且）的图像是抛物线，称为抛物线．这时，是这条抛物线的表达式．抛物线（其中a是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：由a所取值的符号决定，当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：轴，即直线．（3）顶点：原点．◆一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．由此可知抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：轴，即直线．（3）顶点：．一般地，抛物线（其中a、m是常数，且）可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．由此可知：抛物线（其中a、m是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．（3）顶点：．4.一般二次函数的性质与图像抛物线（其中a、m、k是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：是过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．（3）顶点：．对二次整式配方，得所以．将上式与作比较，得由此可知，抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：直线．（3）顶点：．一般地，对于抛物线，沿着轴正方向看，可见它的变化情况如下：当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．5.二次函数解析式二次函数的解析式有三种常见形式：（1）一般式：（a、b、c是常数，）；（2）顶点式：（a、m、k是常数，），其中为顶点坐标；（3）交点式：（a、、是常数，），其中、为抛物线与x轴的两个交点的横坐标．6.求解析式的题型（1）根据实际问题列函数关系式根据实际问题列函数关系式要弄清各个变量、常量之间的内在联系，将实际问题抽象成数学问题，弄清楚哪些是自变量，哪些是函数，它们之间的关系可采用列表、画图等方式来寻找．（2）根据几何图形中的数量关系列函数关系式在几何图形中，要认真分析图形，先找出哪些是函数，哪些是自变量，其关键是正确找出图形之间的关系或等量关系（3）用待定系数法求二次函数的解析式．确定二次函数解析式常用的方法是待定系数法．【典例精讲】1. 已知A、B两点在二次函数的图像上．（1）如果两点的坐标分别是，，求的值；（2）如果不重合的两点的坐标分别是、，求的值．【分析】根据函数图像的性质，用代入法将A、B两点的纵、横坐标分别代替函数中的y、x，再计算求值．【解】（1）由题意，得，．∴，．当时，；当时，．所以，的值为或．（2）因为A、B两点的纵坐标相等且不重合，所以由图像的对称性，可知A、B关于y轴对称．∴．2.一个函数的图像是一条以y轴为对称轴、以原点为顶点的抛物线，且经过．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积．（3）【解】（1）设所求函数的解析式为．因为抛物线过点，所以，解得．所以，这个函数的解析式为．（2）由抛物线的对称性，可知关于y轴的对称点B的坐标为．∴．设△OAB中AB边上的高为OC，易知．∴．3.已知：两个二次函数的图像经过点、、．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图像的对称轴和顶点坐标，并指出其开口方向；（3）这个函数的值能否为负数？为什么？【解】（1）设所求二次函数的解析式为．因为函数图像过、、三点，所以，解这个方程组，得．因此，所求二次函数的解析式．（2）．所以，这个二次函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为．（3）由，知这个函数图像的开口方向向上，顶点是最低点，所以，这个函数的图像在x轴的上方．因此，，由此得出这个函数的值不可能为负数．【课堂练习】二次函数概念1. 下列函数是二次函数的是_____________．A 、B 、C 、D 、解：A 、分母中含自变量，不是二次函数，错误；B 、表达式中含有两个自变量，不是二次函数，错误；C 、式子变形为，是二次函数，正确；D 、式子变形为，不是二次函数，错误．故选C ．【说明】判断函数是否是二次函数，首先要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后根据二次函数的定义作出判断．2. 若265(1)mm y m x --=+是二次函数，则_____________由题意得：；且；解得或；，∴．3. （1）形如的函数只有在______________的条件下才是二次函数．（2）取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数？（3）若函数是以为自变量的一次函数，则取哪些值？解：（1）,,a b c 都是常数，且．（2）由，得且．当m 取不等于0，也不等于1的任意实数时，函数是以为自变量的二次函数．（3）若函数是以为自变量的一次函数，则，得．4.下列各式中，一定是二次函数的有①；②；③；④；⑤（a，b，c为常数）；⑥（m为常数）；⑦（m为常数）．解：①，含有两个自变量，不是二次函数；②，是二次函数；③，是一次函数；④，分母中含有自变量，不是二次函数；⑤（a，b，c为常数），不一定是二次函数；⑥（m为常数），一定是二次函数；⑦（m为常数）不一定是二次函数．∴只有②⑥一定是二次函数．5.已知函数，当_____________时，图象是一条直线；当m_____________时，图象是抛物线；当m_____________时，抛物线过坐标原点．解：根据一次函数的定义可知：，；根据二次函数的定义可知：，时，图象是抛物线；当，且时，抛物线过坐标原点．故答案为：1，，．二次函数图像6. 分别通过怎样的平移可由抛物线的图像得到抛物线和的图像？解：抛物线由抛物线向左平移1个单位得到；抛物线由抛物线向右平移1个单位得到．7. 在同一直角坐标系中与（）的图像的大致位置是（ ）答案：D ．8. 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则a 、b 、c ，∆，c b a ++，c b a +-的符号为 ，第8题图 第9题图9.已知：函数c bx ax y ++=2的图象如上图：那么函数解析式为（ ） （A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y10. 已知一次函数y ax c =+二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,它们在同一坐标系中的大-1 O X=1Y X3o-13 y x致图象是( ).11. 通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并作出该抛物线的大致图像．解：，所以该抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为． 在对称轴两侧找出四点、、、以及顶点，描点，连线，如图所示．【说明】描点画图时，要根据抛物线的特点，一般先找到顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次联结各点，注意顶点处不要画成“尖角”．【说明】（1）对的顶点坐标可直角用顶点坐标公式，这里是直接配方得．（2）作二次函数的图像主要抓住抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴及两轴的交点等主要环节．12.二次函数2y ax bx c =++的图象过点（1，0）（0，3），对称轴1x =-。
二次函数二次函数及其图象二次函数
05
二次函数的求根公式 与判别式
求根公式与解的个数
求根公式
二次函数的一般形式为$ax^2+bx+c$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
解的个数
根据判别式的值，二次函数有两个解、一个解或无解。判别式$b^2-4ac$大于等于0时，函数有两个不同的实数 解；等于0时，函数有一个解；小于0时，函数没有实数解。
与坐标轴的交点
与x轴交点
二次函数与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，其中x1,x2为方程ax^2+bx+c=0的两个根。当方程有实 数解时，与x轴的交点存在；当方程无实数解时，与x轴的交点不存在。
与y轴交点
二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)，其中c为常数项。
03
绘制二次函数的图象
直接绘制法
要点二
详细描述
通过观察二次函数的图像，可以发现其开口方向、对 称轴和顶点坐标，从而可以根据函数的图像特点，求 解与不等式相关的应用问题。例如，当函数的图像在x 轴上方时，可以得出对应的不等式成立；当函数的图 像在x轴下方时，可以得出对应的不等式不成立。
与方程相关的应用拓展
总结词
二次函数与方程的关系
详细描述
二次函数与方程之间存在密切的联系。通过观察二次函 数的图像，可以发现其开口方向、对称轴和顶点坐标， 从而可以用来求解一些与方程相关的应用问题。例如， 可以通过观察函数的图像来确定方程的根的个数和位置 ；也可以通过函数的图像来求解一些与方程相关的应用 拓展问题。
THANK YOU
•k
二次函数图像的顶点纵坐标
互为反函数的解析式
如果一个函数的反函数存在，那么函 数和它的反函数在同一直角坐标系中 的图像是关于直线 y = x 对称的。
华师版九年级数学下册26.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质教案与反思
新竹高于旧竹枝，全凭老干为扶持。
出自郑燮的《新竹》前进学校史爱东东宫白庶子,南寺远禅师。
——白居易《远师》枫岭头学校张海泉古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修铁山学校何逸春1.会用描点法画出y＝ax2＋k的图象．（重点）2.掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．（重难点）3.理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．（重点）一、情境导入在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点标是什么？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与质【类型一】y＝ax2＋k的图象与性质的识别若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( )A．a＝2B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)D．图象有最低点解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得1＝4a＋2，∴a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点当x＜0时，y随x的增大而减小，∴A、B、D 均正确而顶点标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.方法总结：抛线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点坐标为(0，k)，对称轴y轴．【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断已知点(x1，y1)，(x2，y2)均抛物线y＝x2－1上下列说法中正确的是( )A．若y1y2，则x1＝x2．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1=x2或x1＝－x2，∴选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，∴选项B是错误的选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x的增大而大，则y1＜y2，∴选项C是错误的；选项D：若x1x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，故选D．方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．【类型三】在同一坐标系中判断二次函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.方法总结：在解决此类问题时，应分类讨论，逐一排查.【类型四】二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2图象之间的关系抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小、开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？解析：由于抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状相同，则a=-5，则利用顶点式可写出所求抛物线表达式，然后根据抛物线平移的规律判断抛物线y=-5x2怎样平移得到的抛物线y=-5x2+3.解：∵抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)，∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y ＝－5x2向上平移3个单位得到的．方法总结：抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小、方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到．探究点二：二次函数y＝ax2＋k的应用【类型一】y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________．解析：二次函数y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，因此OA＝c，根据正方形对角线互相垂直平分且相等，不难求得B(－c2，c2)、C(c2，c2)，因为C(c2，c2)在函数y＝ax2＋c的图象上，将点C的坐标代入关系式即可求出ac的值．解：∵y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，四边形ABOC为正方形，∴C点的坐标为(c2，c2)．∵二次函数y＝ax2＋c经过点C，∴c2＝a(c2)2＋c，即ac＝－2.方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性．【类型二】二次函数y＝ax2＋k的实际应用如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－15x2＋72运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.(1)球在空中运行的最大高度为多少？(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？解析：（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y=3.05和y=2.25时x的值即可得出答案．解：(1)∵y＝－15x2＋72的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m.(2)在y＝－15x2＋72中，当y＝3.05时，3.05＝－15x2＋72，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25＝－1 5x2＋72，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)．方法总结：本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间联系与区别.1、2019年，文野31岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。
26.2特殊二次函数的图像(3)ppt课件
4
O
x
（一）二次函数 y1(x1)2 的图像特征
2
两条抛物线的开口方向和开口大小一样吗？
一样，因为2个函数的a值相同
它们的顶点坐标一样吗？对称轴一样吗？
都不一样，y
1 2
x2
的顶点是(0,0),
对称轴是y轴(直线x=0)
y1(x1)2的顶点是(-1,0),对称轴是直线 x= -1
2
如何平移抛物线 y 1 x2 ，
2．二次函数y=7（x+m）2的图像关于直线x= -5对称，那么 图像的顶点坐标是 (-5,0) .
3. 抛物线 y=x2绕顶点旋转180°后，再向右平移3个单位得
到
y= -(x-3)2
的抛物线
.
4.你可以将抛物线 y＝-3(x-1)2经过平移得到抛物线 y＝-3x2
吗？你是如何做到的？ 向左平移1个单位
26.2 特殊二次函数的图像（3）
最新版整理ppt
1
复习引入
抛物线 y ax 2 经过上下平移,可以得到抛物线_y___a__x_2__ c
平移规律
1）当c>0时，将抛物线y=ax2向_上__平移_|_c_| 个单位得到 抛物线y=ax2+c
2）当c<0时，将抛物线y=ax2向_下__平移_|_c_| 个单位得到
2
使得它和抛物线 y1(x1)2
2
重合？
y y
1(x1)2
2y 1 x2 2来自向左平移1个单位最新版整理ppt
5
O
x
归纳小结 ：
1.二次函数y 1 ( x 1)2
2
的图像，是由二次函数 y
1 2
x2
图像向_左___平移_1___个单位得到的；
第二讲 特殊二次函数的图像
九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像第二讲 特殊二次函数的图像知识框架知识点1、 二次函数2y ax c =+的图像一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上（0c >时）或向下（0c <时）平移c 个单位得到．抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点2.二次函数()2y a x m =+的图像一般地，二次函数()2y a x m =+的图像是抛物线，称为抛物线()2y a x m =+，它可以通过将抛物线2y ax =向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位得到．抛物线()2y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（-m ，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m ；顶点坐标是（-m ，0）．当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例1】 在同一平面直角坐标系中，画出函数21y x =+、2y x =和21y x =-的图像【例2】 将函数21y x =+、21y x =-与函数2y x =的图像进行比较，函数21y x =+、21y x =-的图像有哪些特征？完成下表．【例3】 说出下列函数的图像如何由抛物线212y x =平移得到，再分别指出图像的开口方向、 对称轴和顶点坐标． （1）2122y x =+； （2）2112y x =-．【例4】 在函数123y x =；22213y x =+；32524y x =--中，图像开口大小按题号顺序表 示为（ ） A ．1>2>3B ．1>3>2C ． 2>3>1D ．2>1>3九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像【例5】 抛物线22y x =，22y x =-，221y x =+共有的性质是（ ）A ．开口向上B ．对称轴都是y 轴C ．都有最高点D ．顶点相同【例6】 已知1a <-，点（a – 1，y 1）、（a ，y 2）、（a + 1，y 3）都在函数2122y x =-的图像上， 则（ ） A ．123y y y <<B ． 132y y y <<C ．321y y y <<D ． 213y y y <<【例7】 将抛物线21y x =+的图像绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是_____________．【例8】 若函数2y ax b =+的图像经过点（0，1），（1，2），求2a + b 的值．【例9】 若二次函数228y x =+，当x 取1x ，2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数的值为________．【例10】若抛物线()24325mm y x m --=+-的顶点在x 轴下方，求m 的值．【例11】 若函数241y x =+的函数值为5，则自变量x 的值为__________．【例12】若点P （-1，a ）和点Q （1，b ）都在抛物线21y x =-+上，求线段PQ 的长．【例13】如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．【例14】在同一平面直角坐标系中，画出函数()221y x =-+、22y x =-和()221y x =--的图像． 【例15】将函数()221y x =-+、()221y x =--与函数22y x =-的图像进行比较，函数()221y x =-+、()221y x =--的图像有哪些特征？完成下表．九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像【例16】说出下列函数的图像如何由抛物线213y x =-平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）()2123y x =-+； （2）()2143y x =--．【例17】已知函数223y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当x = ______时，函数取得最______值，为______；已知函数()23y x =-+，当x = ______时，函数取得最______值，为______．【例18】把抛物线213y x =-向左平移2个单位得到抛物线____________；若将它向下平移2个单位，得到抛物线____________． 【例19】已知抛物线()21y x =--，当x > 1时，y 随着x 的增大而______；当x < 1时，y 随着x 的增大而______．【例20】顶点坐标为（-5，0）且开口方向、形状与函数235y x =-相同的抛物线是____________．【例21】若抛物线()2y a x m =+的对称轴为直线x = -1，且它与抛物线22y x =-的形状相同，开口方向相反，则点（a ，m ）关于原点的对称点为______． 【例22】一台机器，原价50万元，如果每年折旧率为x ，两年后这台机器的价格为y万元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．()2501y x =-B ．()501y x =-C ．250y x =-D ．()2501y x =+【例23】 下列命题中，错误的是（ ）A ．抛物线21y =-不与x 轴相交B ．抛物线21y =-与)21y x =-形状相同，位置不同C ．抛物线21122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的顶点坐标为（12，0）D ．抛物线21122y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴是直线12x =九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像【例24】 已知二次函数图像的顶点在x 轴上，且图像经过点（2，2）与（-1，8），求此函数解析式． 【例25】已知二次函数()2y a x m =+的顶点坐标为()1,0-，且过点12,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求这个二次函数的解析式； （2）点()2,2B -在这个函数图像上吗？（3）如何通过左右平移函数图像，使它经过点B ？ 【例26】 已知抛物线()22y x =-的顶点为C ，直线y = 2x + 4与抛物线交于A 、B 两点．试求ABC S ∆．课堂练习【习题1】 函数2113y x =-+的图像是________，开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由2123y x =--的图像向________平移________个单位得到的．【习题2】 函数()223y x =-+的图像是________，开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由()221y x =--的图像向________平移________个单位得到的．【习题3】 已知抛物线()22y x =-+，当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ______时，y 随x 的增大而减小．【习题4】 函数2y ax =与函数23y x =-的图像的形状相同，开口方向相反．将函数2y ax =图像沿y 轴向上平移2个单位，所得的函数解析式是______． 【习题5】 二次函数()213y x m =-+的图像关于直线5x =-对称，那么它的解析式是 ______________，图像的顶点坐标是______________．【习题6】 二次函数2y ax k =+图像经过点（1，23）、（0，1），求此函数解析式，并求出开口方向、顶点坐标． 【习题7】 抛物线212y x =绕顶点旋转180°后，再向左平移3个单位得到的抛物线是 _____________．【习题8】 已知二次函数269y ax ax a =-+，当a 为何值时，图像的顶点在x 轴上．九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像【习题9】 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y = 3x + 4交y 轴与点A ，在抛物线221y x =-上能否存在一点P ，使POA ∆的面积等于10（平方单位）？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．课后作业【作业1】 抛物线21y x =+是由抛物线22y x =-（ ）得到的．A ．向上平移2个单位B ．向下平移2个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位【作业2】 填表：【作业3】二次函数213y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最大值为______，二次函数213y x =--的最大值为______．【作业4】 在平面直角坐标系中，如果抛物线22y x =不动：（1）把x 轴向上平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________； （2）把y 轴向右平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________．【作业5】 任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线22y x n =+，关于这些抛物线有以下结论，其中判断正确的个数是（ ）1、开口方向都相同；2、对称轴都相同；3、形状都相同；4、都有最低点．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【作业6】 抛物线2y ax c =+顶点坐标是（0，2），且形状与212y x =-相同，求抛物线的解析式．【作业7】 已知抛物线与x 轴的交点的横坐标分别是-2、2，且与y 轴的交点的纵坐标是-3，求该抛物线的解析式．。
汉阴县第七中学九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质2二次函数y=ax2+bx+
7．抛物线y＝－12 x2＋x－4的对称轴是_直__线__x_＝__1__， 顶点坐标是_(_1_，__－__72__)___．
8．已知点A(1 , 1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上. (1)用含a的代数式表示b ; (2)如果该二次函数图象的顶点在x轴上 , 求这个二次函数图象的顶点坐标． 解 : (1)b＝2a (2)(0 , 0)或(2 , 0)
第二十二章 二次函数
易错课堂(二) 二次函数
（一）确定二次函数解析式中字母参数的值易出错 1．已知抛物线y＝(m＋4)xm2＋5m－4的开口向下 , 那么m的值为_－__6__．
2．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象与x轴总有交点． (1)求m的取值范围 ; (2)当函数图象与x轴的两交点的横坐标的倒数和等于－4时 , 求m的值． 解：(1)当 m＋6＝0，即 m＝－6 时，函数解析式为 y＝－14x－5，此一次函 数与 x 轴有一个交点；当 m＋6≠0，即 m≠－6 时，函数为二次函数，当 Δ≥0 时，抛物线与 x 轴有交点，即 4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)≥0，解得 m≤－59 .
(3)在(1)(2)的条件下 , 每天制作B不少于5件．当每天制作5件时 , 每件获利 不变．假设每增加1件 , 那么当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30 元 , 求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的 值．
解：(1)设制作一件 A 获利 x 元，则制作一件 B 获利(105＋x)元，由题意得
③当点P是ME的中点，点Q是DM的中点时，也符合题意，此时P(1，32 )，
综上所述，满足条件的点P的坐标为(1，3)或(1，－3)或(1，32 )
结束语
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和 性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大 而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的 当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞ 增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向 下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛 物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2
26.2 特殊的二次函数图像
第二节 二次函数的图像§26.2特殊的二次函数图像教学目标(1)知道二次函数2y ax =的图像是抛物线，会用描点法画出图像。
(2)经历观察、分析和回归抛物线2y ax =的特征的过程，掌握二次函数2y ax =的直观性质。
(3)经历建立二次函数22()y ax c y a x m =+=+、的图像与2y ax =的图像之间联系的过程，知道由抛物线2y ax =得到抛物线22()y ax c y a x m =+=+、的平移方法；掌握二次函数2y ax c =+、 2()y a x m =+的直观性质，体会图形运动的运用。
(4)在运用图形研究二次函数直观性质的过程中，领会数形结合的思想方法，提高观察、分析、归纳和概括的能力。
教学重点研究特殊形式的二次函数2y ax =、2y ax c =+和2()y a x m =+的图像，并归纳出图像的特征.知识概要1.二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展，它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线。
二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =。
2.抛物线2y x =的开口方向向上；它是轴对称图形，对称轴是y 轴，即直线0x =。
抛物线2y x =与y 轴的交点是原点O ；除这个交点外，抛物线上的所有点都在x 轴上方，这个交点是抛物线的最低点。
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线2y x =的顶点是原点(0,0)O 。
3.分别在2y x =-与2y x =的图像上且横坐标相同的任意两点，它们的纵坐标互为相反数，可知两个图像关于x 轴对称。
可利用它们的对称性，由其中一个函数的图像画另一个函数的图像。
4.一般地，二次函数2y ax =(其中a 是常数，且0a ≠)的图像是抛物线，称为抛物线2y ax =。
这时，2y ax =是这条抛物线的表达式。
抛物线2y ax =(其中a 是常数，且0a ≠)的对称轴是y 轴，即直线0x =；顶点是原点，抛物线的开口方向由a 所取值的符合决定，当0a >时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
26.2特殊二次函数的图像
y=ax2
a>0
a<0
向上
向下
y轴（直线x=0） O(0,0) 最低点
y轴（直线x=0） O(0,0) 最高点
在 y 轴左侧部分下降， 在 y 轴左侧部分上升，
y 轴右侧部分上升
y 轴右侧部分下降
新知探究
问：由右图，猜想抛物线 y=ax2(a≠0)开
口大小与 a 的大小关系？
y
a 越大，抛物线开口就越小；
在 y 轴左侧部分上升， y 轴右侧部分下降
|a|与抛物线 开口大小关 系
a 越大，抛物线开口就越小； a 越小，抛物线开口就越大．
小试牛刀
（1）抛物线 y m2 1 x2 具有性质（ ）
A.它的图像位于第一、三象限 B. 原点是图像的最高点
C.当x取任何实数时，y总是正数 D.它的图像关于y轴对称
探究新知探究新知开口方向对称轴顶点变化趋势向上y轴直线x0o00最低点探究新知探究新知画出函数yx的图像再归纳它的图像特征探究新知探究新知画出函数yx开口方向对称轴顶点变化趋势向下y轴直线x0o00最高点轴右侧部分下降例题在同一个平面直角坐标系xoy中分别画出二次函数的图像
26.2.1 特殊二次函数的图像
有没有其它建立直 角坐标系的方法？
（2）已知点 1, y1, 2, y2 , 3, y3 都在抛物线y 4x2
上，下列说法正确的是（ ）
A y1 y2 y3 B y2 y1 y3 C y3 y1 y2 D y3 y2 y1
（3）已知a≠0，b<0，则一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2的 图像可以是下图中的（ ）
在y轴左侧部分 下降，在y轴右 侧部分上升
26.2(2)特殊二次函数的图像
26.2（2）特殊二次函数的图像复习旧知：1、说出下列函数图像的开口方向，对称轴及顶点坐标。
（1）2132y x =+； (2)231x y -=2、（1）将抛物线23x y -=向 平移 个单位，可得抛物线232--=x y ；(2)将抛物线3212+-=x y 向 平移 个单位，可得抛物线221x y -=；（3）将抛物线n x y +=23向上平移5个单位，得到抛物线52+=mx y ，求m 、n 的值.x… -223--121-12 123 2 …y=x 2 … 4 49 114 0 14 1 49 4 …()21x y += ……()22-x =y ……我们可以看成将抛物线2xy=向___平移_____单位，就与抛物线()21=重合，y+x也可以说是将抛物线2xy=的图像向_____平移______单位，就得到抛物线()21=的图像.y+x由此，我们可以得到抛物线()21=的图像性质吗？y+x抛物线()21x y +=的开口方向________，对称轴是_______，顶点坐标是______.试一试：将把抛物线221x y -= 向 平移 个单位，就得抛物线2)1(21--=x y 的图像，此时抛物线的对称轴是 ，顶点是 .练一练：归纳总结：抛物线y=a(x 2+m)（其中a,m 是常数，且a 不等于0）的对称轴是过点（-m,0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线 ；顶点坐标是( , ).当a>0时，它开口向 ，顶点是抛物线的最 点；当a<0时，它开口向 ，顶点是抛物线的最 点. 练习：1.（1）将抛物线23x y -=向 平移 单位，可得抛物线2)2(3+-=x y ，这条抛物线的开口向向 ，对称轴是 ，顶点是（2）将抛物线231x y =向 平移 个单位，可得抛物线2)3(31-=x y ，这条抛物线的开口方向向 ，对称轴是 ，顶点是（3）将抛物线22x y =向 平移 个单位，可得抛物线2)3(2+=x y 的图像，这条抛物线的开口方向向 ，对称轴是 ，顶点是（4）将抛物线2)3(21+-=x y 向 平移 个单位，可得抛物线2)5(21--=x y （5）将抛物线232-x y =向 平移 个单位，在向 平移 个单位，可得函数3)2(322+--=x y 的图像。
特殊二次函数的图象PPT课件
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点（0，0）.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点 （0，0）是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点 （0，0）是抛物线的最高点;
y
a>0
o
x
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抛物线y=-x2 与y轴的交点是原点(0,0); 除这个交点外,抛物线上的所有点都 在x轴的下 方,这个交点是抛物线的最高点.
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点.抛物线 y=-x2 的顶 3 4 5 x -2
-3 -4
-5 -6 -7 -8 -9
它是轴对称图形,对称轴是y轴,即直线x=0.
y 10
9 8
抛物线y=x2 与y轴的交点是原点O(0,0);
7
6
除这个交点外,抛物线上的所有点都
5
在x轴的上方,这个交点是抛物线的最低点.
4 3
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的
2
顶点.抛物线 y=x2 的顶点是原点O(0,0).
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
-10
第8页/共16页
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 21x2和y=2x2的图像
解: (1) 列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y=
1 2
x2
…8
2
0
2
8…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
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巩固训练
3、 (1)抛物线y x 向
2
平移
个单位就可以
2 得到y （x 1 ） 1 2 (2)抛物线y x 向 平移 个单位就 2 1 2 可以得到y （x 2） 2 (3)抛物线y ax 2 (a 0)向 平移 个单位
就可以得到y a ( x 2) 2 (4)抛物线y ax (a >0)向
议一议
1 2 函数y x 和 2 1 2 y x 2图像的 2 开口方向、对称轴、 顶点坐标？
总结归纳
抛物线y=ax2+c(其中a,c是常数,且 像a≠0)的图形特征
开口方向： a>0,开口向上，a<0开口向下 顶点坐标：（0，c） 对称轴：对称轴为y轴，或直线x=0
a>0,在y轴的左侧上升，在y轴的右侧下降 增减性： a<0在y轴的左侧下降，在y轴的右侧上升
26.2特殊二次函数的图像（2）
教学目标：
1.理解和掌握二次函数y=ax2 +c的图像并从图像观察出二次函 数y=ax2 +c的性质. 2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力
教学重点：
通过二次函数y=ax2 +c的图像总结出有关性质
教学难点：
二次函数y=ax2 +c的图像和性质
教材分析：
2
平移
个单位
就可以得到y a ( x a )2
2 4、已知抛物线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ =（ a x-2） 经过点A（ 1，） 2
（ 1）指出抛物线的对称轴，并写出抛物线的表达式 （2）求与点A（ 1，）关于该抛物线的对称轴对称的点 2 A的坐标
拓展提高
1、平移抛物线y =-3x ,使得图像的顶点经过（0，）， -3 求新的函数解析式？
教材对二次函数的研究，仍然采用从特殊到一般的方法．本节课时，主 要研究特殊的y=ax2二次函数、和y=ax2 +c的图像，并利用图像，直观地探 索函数的基本性质．
1、二次函数的一般形式__________ 1 2 2、二次函数y= x 图像是________，它关于_____对称， 2 它的顶点坐标_______,它有最______值 1 2 3、抛物线y=ax 与y = x 形状一样，开口方向相反，则a =______ 2 4、点A（-2,4）在y=ax2上，那么关于对称轴对称的另一个点为____
2
1 2 2、已知抛物线y = x +2则向下平移几个单位经过点（3,1） 3
2 3、函数y ax c图像经过点（ 1，） （ , 0， 1 ） 3 求此函数解析式，并说出开口方向、和顶点坐标.
2
反馈巩固
书本P91/练习26.2（2）/1、2、3
小结与作业
1、《练习册》26.2（2）
反 思 重 建
1 2 1 2 1 2 1 2 学生经历了对二次函数 y x , y x 2, y x , y x 2, 2 2 2 2 的研究后，自主归纳由 二次函数y ax2的图像经过怎样平移得 到 二次函数y ax2 c的图像，以及它的特征 和基本性质。从图像运 动 的角度研究新的抛物线 ，有利于学生运用化归 的思想方法认识新的 抛物线，总结新的抛物 线的特征和性质。当然 ，也让学生知道利用 平移可由已知抛物线得 到新的抛物线，但是描 点法还是画函数图像 的基本方法。
观察
1 2 1 函数y x 和y ( x 1) 2图像的形状， 2 2 1 y ( x-1) 2图像的形状，位置有什么特征？ 2
1 2 1 观察 函数y x 和y ( x 1)2图像的形状， 2 2 1 y ( x-1) 2图像的形状，位置有什么特征？ 2
2
1 2 1 2 y= x y = x +2 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 和的图像 2 2
自主归纳
函数 到函数 函数
1 2 y x 2
图像向上平移2个单位得 1 y x 2 的图像 2
2
1 2 y x 2 2
的图像与函数
1 2 y x 2
的图像的开口方向向上；它是轴对 称图形，对称轴是y轴，即直线x=0. 顶点坐标是（0，2）这个顶点是抛 物线的最低点
总结归纳
抛物线y a( x m) 2 (其中a、m是常数，且a 0) 对称轴:直线x m， 顶点坐标:(m, 0)， 当a 0时，抛物线开口向上， 顶点是抛物线的最低点； 当a 0时，抛物线开口向下， 顶点是抛物线的最高点.
巩固训练
1、函数y=ax2与函数y= -3x2图像的形状相同， 开口方相反.将函数y=ax2图像沿y轴方向向上平 移2个单位，所得的函数 . 2、函数y= -4x2+1图像是 ，开口 ，对 称轴是 ，顶点坐标 ，它的图像有最 __点，此图像由y=-4x2的图像向 平移____ 个单位得到的.