【教育资料】北师大版九年级数学下册第三章圆第三章 回顾与思考(第2课时)教学设计学习专用

第三章圆回顾与思考（第2课时）
一、学情分析
学生的知识技能基础
通过本章内容的学习，学生初步掌握圆的相关知识，结合《圆》复习课第一课时，逐渐形成“圆的基本概念与定理”、“与圆有关的位置关系”、“与圆有关的计算”的知识网络体系.
学生活动经验基础
在圆的相关知识的学习过程中，学生逐渐形成了数学思想方法，如在探索圆周角与圆心角关系、点与圆、直线与圆的位置关系的过程中体会分类讨论思想，研究拱桥跨度、拱高等问题时建立建模思想，研究垂径定理、圆心角、弧、弦之间关系定理时体会化归与转化思想等.同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多探究学习的过程，具有了一定的探究学习的经验，具备一定的提出问题、分析问题的能力.
二、教学任务分析
通过复习课第一课时内容的学习，学生对《圆》的知识网络体系进行了初步的梳理与构建.本课通过创设开放性的问题情景，引导学生综合应用知识从不同角度展开提问并尝试解答，从另一个维度对本章的数学知识与思想方法进行反思，通过进一步整合、重组，将其内化到学生原有的认知体系中.为此，本节课的教学目标是：
1．通过问题的设计，对圆的相关知识与思想方法进行反思，逐步培养提出问题，分析问题的能力；
2．在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法.
3．在探索活动中通过合作与交流，进一步发展合作交流的能力和数学表达能力.
三、教学设计重点：让学生掌握圆的几种类型的解答题的解题思路
难点：圆的题目综合性比较强，学生对于已知条件的转化。

本课共分三个环节：问题开放、变式练习、总结归纳.
（一）问题开放
如图：已知在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过D 作DE ⊥AC 于点E ，CD ＝3.
请同学们尝试提出问题.
师：本题题目的信息量丰富，由于问题的开放性，学生可提出问题的角度很多，如垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等.但是由于缺少一个角的度数导致有的问题没法解决，如半径的长度（其他线段的长度）、弧长、扇形的面积等。

如：
问题1：求证点D 是BC 的中点；
问题2：求⊙O 的半径；
问题3：求弧AD 的长；
问题4：求证DE 是⊙O 的切线；
问题5：求扇形AOD 的面积；
问题6：求弧AD 与线段AE 和DE 围成的面积；
问题7：求弓形BD 的面积；
问题8：求△BOC 的面积；
学生提出问题后，（按照学生题问题的顺序进行讲解）
师：由于条件的有限刚刚我们同学们提的问题是否都能求解？若有办法求解的请给出求解过程。

生：进行小组讨论，并将能解决的问题进行求解或证明.（给学生5分钟进行讨论）
师：哪位同学来说一下哪个问题是可以求解？
生：问题1和问题4
师：那我们先来请同学上台来讲解问题1和问题4的解法
问题1：求证点D 是BC 的中点；（让学生上台进行讲解）
学生讲解完后引导学生总结：本题经常用的一条辅助线的口诀：见直径出直角，见直角连直径.所以本题通过连接AD ，得到∠BDA =90°；再根据等腰三角形的三线合一.类似地，学生还可以提出：求证AD 平分∠CAB .
问题4：求证DE 是⊙O 的切线（让学生上台进行讲解）
证法：可以通过证明OD ∥AC ，由∠ODE =∠DEC =90 º，
证明DE 是⊙O 的切线.具体方法如下：连接DO ，因为OB =OD ，
AB =AC ，所以∠5=∠B ，∠C =∠B ，故∠5﹦∠C ，所以OD ∥AC
；
5
又因为DE⊥AC，所以∠ODE﹦∠DEC＝90 º，即半径OD⊥DE，所以DE是⊙O的切线.
学生讲解完后师总结：本题主要考察直线与圆的位置关系，涉及知识面较丰富，是一个常考的问题.在证明切线的时候常作的一条辅助线就是连接切点和圆心。

以及要证明是圆的切线的方法有两种：①证明OD⊥DE；②已知OD垂直于DE证明OD的长等于圆的半径。

本题结合了平行线的性质与判定，使证明方法更简洁了，可见在几何证明过程中，知识综合应用的优越性.
（过渡语）师：同学们，我们现在来看一下前面那些没办法解决的问题中是缺少了什么条件。

如果添加一个什么条件就可以解决了呢？
让学生自由述说后师进行归纳总结，如果加上∠ACB＝30°，解决其他问题（给学生10分钟进行独立解决，并请学生上来讲解）
问题2：求⊙O的半径；
学生讲解完后师总结：利用含30º角的直角三角形边角关系，勾股定理，等边对等角等方法，便可求得半径.本题较好地体现了圆与三角形知识的综合应用.类似的，学生还可以提出：求DE、AE、AD的长度，解题思路类似.
问题3和问题5让学生上台讲完就好了
学生讲解完后师总结：求弧长和扇形的面积公式一定要牢记，以及公式中的n代表的弧所对圆心角的度数。

问题6：求弧AD与线段AE和DE围成的面积；
学生讲解完后师总结：求不规则阴影部分的面积的求法有很多，但总是将某个部分的面积减去另一部分的面积得到阴影部分的面积。

这题的求有解法一：将△ADE的面积减去弓形DA的面积；解法二：将直角梯形OAED的面积减去扇形AOD的面积等其他解法，相比其他解法这两种解法还是比较简便的,在考试的过程中由于时间有限能寻求最优解才是王道.
问题7：求弓形BD的面积；
学生讲解完后师总结：弓形面积的求法很明确就是扇形面积减去三角形的面积就好了。

问题8：求△BOC的面积；
学生讲解完后师总结：三角形的面积主要是求出底和高，但这题还可以用中
D A 线的性质(中线将三角形分成两个面积相等的三角形)这种解题方法更快
师：通过上面的问题你觉得圆中可能会涉及到哪些问题
学生总结：（一个学生讲可以让其他学生补充）
1：证明切线；
2：求半径或其他线段的长；
3：求弧长或扇形面积（延伸出的弓形面积、不规则阴影部分的面积等）
（二）变式练习
变式一：如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，问：当点E 在什么位置时，四边形OAED 是菱形？
变式二：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E .
（1）
（2） 若D 为AC 的中点，证明DE 是⊙O 的切线
（3） 若OA =3，CE =1，求△ABC 的面积.
（三） 课堂小结
1．通过上面的问题你觉得圆中可能会涉及到哪些问题
①证明切线；②求半径或其他线段的长；
③求弧长或扇形面积（延伸出的弓形面积、不规则阴影部分的面积等）
2．《圆》的内容综合性较强，在具体应用中，进一步完善知识体系构建.
四、教学设计反思
本课以一道题作为研究对象作为主线，请学生从不同角度展开提问并尝试解答，从另一个角度让学生把本章的知识点重新组织起来.而且由于题目的条件的限制使得有的问题没法解决，这就要求对要求解的问题要分析到位才能知道要添加什么条件。

这对学生的综合知识要求比较高，而且增大了该题的难度。

也由于问题的开放性，学生提问的角度有许多，包括垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、
点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等.不仅如此本节课还通过学生自己提问题，发现有的问题由于已知条件有限导致有的问题没法求解。

也因此可以让学生如何在已知条件的前提下添加一个什么样的条件可以解决其他问题，这样可培养学生举一反三的能力。

本节课主要以学生参与提问并尝试解决，以及让学生上台讲解的方式进行授课。

学生编制问题时是一种主动参与，思维是开放的，需要思考回忆本章知识的脉络，对照过去的问题，通过这样的参与，有助于学生对所学知识的进一步理解与掌握，有助于把章节知识内化到学生原有的认知体系中，并获得新的意义建构。

课堂上学生还可以提出了许多精彩的问题，如求弧长问题、求圆心角问题等，但由于时间所限，部分题目只能留待课下继续完成，面对当前课改提出的探究式教学、开放式教学模式，如何掌控时间的分配，如何引导学生学会发问，如何对学生提出的开放性问题进行有效点拨，如何优化资源的使用等都是值得进一步研究与思考的课题.本节课还有一个亮点就是变式一，在原题上结合动点和特殊的四边形来进行解决问题。