华南理工大学高数答案第9章

第九章 曲线积分与曲面积分
作业13 对弧长的曲线积分
1．计算
d L
x s ⎰
，其中L 为直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界．
解：L 可以分解为[]1:,1,0,1L y x y x '==∈及[]22:,2,0,1L y x y x x '==∈
1
2
11
d d d L
L L x s x s x s x x x x =+=+⎰
⎰⎰⎰
⎰
(
)(
)1
1
3
222
001121d 1414883212x x x x =++=
+⋅+=+2．44
33d L x y s ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
⎰，其中L 为星形线33cos ,sin x a t y a t = =在第一象限内的弧
π02t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
．
解：L 为33cos ,sin ,0,
,2x a t y a t t π⎡⎤
= =∈⎢⎥⎣⎦
223cos sin ,3sin cos ,3sin cos dx dy
a t t a t t ds a t tdt dt dt
=-== 原式()4
72
2
4
4
223
30
31cos
sin 3sin cos 1sin 2sin 222a t t a t tdt a t tdt π
π
⎛⎫
=
+⋅=
- ⎪⎝⎭
⎰⎰
()7772
2
2
3
3
3
3003
311cos 2cos 2cos 2cos 28
83a t d t a t t a π
π
⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰ 3．计算d xyz s Γ
⎰
，其中Γ折线ABC ，这里A ，B ，C 依次为点)3,4,1(),3,2,1(),0,0,0(．
解：
[]:
,,2,3,0,1,123
x y z
AB x t y t z t t ds =====∈= []:1,3,,2,4,BC x z y t t ds dt ===∈=
[]:
,,4,3,0,1,143
x y z
CA x t y t z t t ds =====∈
=
1
4
2
d d d 231318AB
BC
xyz s xyz s xyz s t t t t dt Γ
=
+
=⋅⋅+⋅⋅=
⎰⎰
⎰⎰⎰
4．
()2
2d x
y z s Γ
+⎰，其中Γ为螺线cos ,sin ,x t t y t t z t = ==上相应于t 从0变到1
的一段弧．
解：Γ为[
]cos ,sin ,,0,1,x t t y t t z t t ds = ==∈=
(
)()1
1
222220
1d (222x y z s t t t t Γ+=⋅=+-+⎰⎰⎰ ()(
)1
5
3222
2
122222253t t ⎡⎤=
+-⋅+==⎢⎥
⎣⎦5．计算
22d L
x y s +⎰
，其中L ：0,22>=+a ax y x ．
解：将L 参数化，22cos ,sin cos ,cos ,cos ,x r t y r t r ar t r a t x a t ==⇒===
cos sin ,,,sin 2,cos 2,22y a t t t dx a tdt dy a tdt ds adt ππ⎡⎤
=∈-=-==⎢⎥⎣⎦
2
2
22
22
22
2
d 2cos 2sin 2L
x y s a tdt a t
a π
π
π
π
-
+=
===⎰
⎰⎰
6．计算22
e
d x y L
s +⎰，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内
所围成的扇形的整个边界．
解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分
[]12:0,0,,;:sin
,cos ,0,,
;4L y x a ds dx L x a t y a t t ds adt π⎡⎤
=∈===∈=⎢⎥⎣⎦
2123
:,,
;L y x
x ds L L L
L ⎡=∈==
++⎢⎣
⎦
从而
22
4
00
e
d 4
a
a
x y
x
a
x a
L
a s e dx e adt e e π
π+=+
⋅+
=++⎰⎰⎰
112244
a a a a a
a a e e e e e ππ=-+
+-=+-
作业14 对坐标的曲线积分
1．计算下列第二型曲线积分：
(1) ()()d d L x y x x y y ++-⎰，其中L 为按逆时针方向绕椭圆22
221x y a b
+=一周；
解：L 为cos ,sin ,:02x a t y b t t π==→
原式()()20
sin cos sin cos cos sin a t a t b t b t a t b t dt π
=
-++-⎡
⎤⎣⎦⎰ 2222
2200sin 2cos 2sin 2cos 20224a b ab t a b ab t t dt t π
π
⎛⎫⎛⎫++=-=+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎰
(2)
()d d 1d x x y y x y z Γ
+++-⎰
，其中Γ是从点()1,1,1到点()2,3,4的一段直线；
解：Γ是
111,1,12,13,:01213141
x y z x t y t z t t ---===+=+=+→--- 原式()()()1
121231121t t t t dt =+++++++-⎡⎤⎣⎦⎰
()()
1
12
6146713t dt t t
=+=+=⎰
(3)
d d d y x x y z Γ
-+⎰
，其中Γ是圆柱螺线2cos ,2sin , 3 x t y t z t ===从0t =到
2πt =的一段弧；
解：Γ是2cos ,2sin , 3 ,:02x t y t z t t π===→
原式()()20
2sin 2sin 2cos 2cos 3t t t t dt π
=
--+⎡
⎤⎣⎦⎰ ()()2200
432dt t π
π
π=
-+=-=-⎰
(4) 计算曲线积分
(12e )d (cos e )d y y L
xy x y x y +--⎰
,其中L 为由点A (-1, 1)沿抛物线
2y x =到点O (0, 0), 再沿x 轴到点B (2, 0)的弧段．
解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分
2:,:10AO y x x =-→；:0,:02OB y x =→
原式2
2
2
2
2
1
(12e )d (cos e )2dx (e )d x x xx x x x x x -=
+--+⎰⎰
2
2
2
3
2
21
(12e 2cos 2e )d d x x x x x x x x -=+-++⎰⎰
()
2
22
004
2
1
1
1
1
3sin e d de 21sin1sin11x
x x x x
x x xe
e ----=-+++=-++=+-⎰⎰
2． 设力F 的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依y 轴的负方向，求质量为m 的质点沿抛物线21x y -=从点()1,0移动到点()0,1时，力F 所作的功．
解：{}{}
{}222
0,10,,,,:1,:01F x x ds dx dy L x y y =-=-==-→
()()1
135
2240
028
123515L L y y W Fds x dy y y dy y ⎛⎫==-=--+=--+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰
3．把对坐标的曲线积分()(),d ,d L
P x y x Q x y y +⎰化成对弧长的曲线积分，其中L
为：
(1) 在xOy 平面内沿直线从点()0,0到点()1,1； (2) 沿抛物线2y x =从点()0,0到点()1,1．
解：（1
）:,:01,0;L y x x dx ds =→>==
()()()()
,,,d ,d ,,d L L P x x Q x x P x y x Q x y y P x x Q x x x +⎡⎤+=+=⎡⎤⎣⎦⎰⎰
⎰
（2）2:,:01,0;L y x x dx ds =→>=
()()()(
)22
,2,,d ,d ,2,d L L P x x xQ x x P x y x Q x y y P x x xQ x x x +⎡⎤⎡⎤+=+=⎣⎦
⎰⎰⎰
作业15 格林公式及其应用
1．填空题
(1) 设L 是三顶点(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向边界,
(24)d (536)d L
x y x y x y -+++-=⎰
12 ．
(2) 设曲线L 是以)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--D C B A 为顶点的正方形边界，
d d L x y
x y ++⎰不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可导的点_．
（3）相应于曲线积分
(,,)d (,,)d (,,)d L
P x y z x Q x y z y R x y z z
++⎰
的第一型的曲线积
分是
⎰． 其中L 为从点(1, 1 ,1)到点(1, 2, 3)的直线段． 2．计算33(e sin )d (e
cos )d x x
L
I y y x y x y =
-++⎰,其
中L 是沿半圆周
x =从点),0(a A -到点),0(a B 的弧．
解：L 加上:0,:BA x x a a =→-构成区域边界的负向
()3
3
2
2
(e sin )d (e cos )d 3cos a
x
x
L
D
a
I y y x y x y x y d ydy σ-=-++=-+-⎰⎰⎰⎰
34
2
3
02
33cos 2sin 4a a
a
a d r dr ydy a ππ
πθ-=-+=-+⎰
⎰⎰v
3．计算
e 31d e 33d xy xy L
y x y x x x y y ⎡⎤⎡⎤+-+++-+⎣⎦⎣⎦⎰,其中L 为椭圆 22
221x y a b
+=正向一周． 解：原式()()e 33e 31xy xy
D x x y y x y dxdy x y ⎡⎤∂∂=
+-+-+-+⎢⎥∂∂⎣
⎦⎰⎰ 44D
dxdy ab π==⎰⎰
4．计算曲线积分[]()sin d ()cos πd ,L
I f x y x f x y x y '=
+-⎰
其中)(x f '为连续函
数，L 是沿圆周222(1)(π)1πx y -+-=+按逆时针方向由点(2,2π)A 到点
)0,0(O 的一段弧．
解：令1:,:02L y x x π=→ 则，原式()[]1
1
1
π()sin d ()cos πd L L L L D
I dxdy f x y x f x y x y +'=
-=--+-⎰
⎰⎰⎰⎰
()2
2
2
π1()sin ()cos ππd 2
f x x f x x x x π
πππ'⎡⎤=-⋅
+-+-⎣⎦⎰ ()()2
2
242
222
3π1()sin ππ1222222x f x x π
πππππππ⎡⎤=-⋅+--=-⋅++=-⎢⎥⎣⎦
5．计算
22d d L x y y x
x y -+⎰,其中L 为
（1）圆周()()2
2
111x y -+-=（按反时针方向）；
解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫
∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭
++，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式0= （2）闭曲线1x y +=（按反时针方向）．
解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭
++，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周2
2
0.01x y +=（1L 也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得， 原式()1122d d d d 1001120.01L L D
x y y x
x y y x
dxdy x y π--=
=
=+=+⎰⎰⎰⎰ 6．证明下列曲线积分在xOy 平面内与路径无关,并计算积分值： （1）
()(
)
()
,0,0e cos d sin d a b x y x y y -⎰；
解：由于
()()e sin e sin e cos x x
x y y y x y
∂∂-=-=∂∂在全平面连续，从而该曲线积分
在xOy 平面内与路径无关，沿折线()()()0,00,,b a b →→积分即可， 原式()()0
sin e cos d cos 11cos cos 1b
a
x a a
y dy b x b e b e b =
-+=-+-=-⎰⎰ （2）
()()()()
2,14
231,0
23d 4d xy y
x x xy y -++-⎰；
解：由于
()()233
442423x xy x y xy y x y
∂∂-=-=-+∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内与路径无关，沿直线
10
,1,:122110
x y y x x --==-→--积分也可， 原式=()()()2
43
21
211341d x x x x x x x ⎡⎤---++--⎣
⎦
⎰
()()2
43
21
3235141d x x x x x ⎡⎤=-+----⎣⎦⎰()()2
54
321
3115x x x x x ⎡⎤=-+----=⎣⎦ （3）
()()()()
π,20,0
e
cos d e sin d y
y x m x x my y -+-⎰．
解：由于
()()e sin e cos e cos y y y x my x x m x y
∂∂
-==-∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内与路径无关，沿折线()()()0,0,0,2ππ→→积分即可，
原式()()20
cos e sin d y e
x m dx my y π
π=
-+-⎰⎰()2
2
00sin 2my x mx π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭
2m m π=--
7．设()f x 在(),-∞+∞上具有连续导数，计算
()()22
21d 1d L y f xy x x y f xy y y y +⎡⎤+-⎣
⎦⎰， 其中L 为从点23,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
到点()1,2的直线段．
解：由于()()()()2
2
22111y f xy x y f xy f xy xyf xy x y y y y ⎡⎤+⎧⎫∂∂'⎡⎤-=+-=⎨⎬⎢⎥⎣⎦∂∂⎩⎭⎣⎦
在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线
12
:2,,:31L xy y x x
==→积分即可，
原式()()()()
2
122232421122d d 22x f f x x x x x x x
⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦+⎰13xdx =⎰1232x ⎛⎫= ⎪⎝⎭1942-==- 8．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：
（1）()()e e d e 1e d x y x y
x y x x y ⎡⎤⎡⎤+-+-+⎣⎦⎣⎦；
解：由于
()()e 1e e e x y x y
x y x e e x y x y
∂∂⎡⎤⎡⎤-+=-=+-⎣⎦⎣⎦∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内是某一函数的全微分，设这个函数为(),u x y ， 则()(),e 1e ,e e x y x y u u u u du dx dy x x y x y y x
∂∂∂∂=
+=-+=+-∂∂∂∂ 从而()()()e 1e e 1e x y x y
u x dy y x g x ⎡⎤=-+=-++⎣⎦⎰
()()()e e e e =e x y x y x u
x y y g x g x x x
∂''=+-=-+⇒∂ ()=e x x x x x g x xd xe e dx xe e c =-=-+⎰⎰，()()1e 1e x y u x y x c =+--++
（2）()()
223238d 812e d y
x y xy x x x y y y ++++；
解：由于
()()322
22812e 31638y x x y y x xy x y xy x y
∂∂++=+=+∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内是某一函数的全微分，设这个函数为(),u x y ， 则原式3
2
2
3
2
2
4d 412e d y
ydx y x x dy x dy y y =++++
()3322224d 412de y
ydx x dy y x x dy d y =++++⎰
()()(
)32241212e d y
y
d yx d x y d y
e y =++-⎰()3
2241212e y y d yx
x y ye =++-
可取3
2
2
41212e y
y
u yx x y ye =++-
（3）()()
22
2cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-
解：可取折线()()()0,0,0,x x y →→作曲线积分
()()2220
2d 2sin sin d sin cos y
x u x x y x x y y y x x y =+-=+⎰⎰
9．设有一变力在坐标轴上的投影为2,28X x y Y xy =+=-,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．
证：{}
2
,28F x y xy =+-，
质点在此场内任意曲线L 移动时，场力所作的功为()()2
28L
w x y dx xy dy =
++-⎰
由于
()2282xy y x y x y
∂∂
⎡⎤-==+⎣⎦∂∂在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．
作业16 对面积的曲面积分
1．计算下列对面积的曲面积分： (1)
()d xy yz zx S ∑
++⎰⎰,其中∑
为锥面z =
被柱面222x y ax +=所截得
的有限部分； 解：∑
为x y z z z =
=
=
dS ==，:02cos ,2
2
D r a π
π
θθ≤≤-
≤≤
原式2cos 2
30
2
d d cos a D
zx S x y d r dr π
θ
π
θ
θ∑
-
=
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(
)(
)4
2
2
4
2
4
2
2cos cos 12sin sin sin 4a d d π
π
π
θθθθθθ-
-+=
⎰⎰ （2）
()222d x
y z S ∑
++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z ax ++=．
解：∑
为两块y y x a x x =±=
=
dS ==
，:0,02D r a θπ≤≤≤≤
原式
1
2
222d 2d D
a a ax S ax S ∑∑+=
+=⎰⎰
⎰⎰
22D
a a +
23
3
4a
D
a
a
d π
θ=⎰
223
3
40
=888a d a r a
a a πππ--=-=
2．计算
d y S ∑
⎰⎰，∑是平面4=++z y x 被圆柱面122
=+y x
截出的有限部分．
解：∑为两块4,1,1x y z x y z z =--=
-=-
，dS =，
:01,02D r θπ≤≤≤≤
原式D
=
1
3220
sin 03a
r d r dr π
πθθθ
==⋅=⎰ （或由()(),,,,x y z x y z ∈∑⇒-∈∑，而积分微元反号推出）
3．求球面2
2
2
2
a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2
2
内部的那部分面积． 解：∑
为两块x y z z z ==
=
dS ==
，:0,02D r a θπ≤≤≤≤
原式1
2
d 2D
S dS ∑∑=
+=⎰⎰⎰⎰
cos 2
2
=2a a
d π
θ
π
θ
-
⎰⎰
()()cos 2
2
220
2
=2sin 41242a a
d a a a d a a π
π
θ
π
πθ
θθπ-⎛⎫
-=-=- ⎪⎝⎭⎰
⎰
⎰
4
．设圆锥面z =
()a h 为圆锥面的底面半径，为高,其质量均匀分布,求它的重心位置．
解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为()00,0,z
D
D
zdS ∑==⎰⎰
2
00
a
d r dr π
θ=
=⎰⎰
D
D
dS dxdy ∑
==⎰⎰
a
d rdr πθπ==⎰⎰
023h z =
=
，故重点坐标为20,0,3h ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
5．求抛物面壳()2
212
z x y =
+()01z ≤≤的质量，此壳的密度按规律z ρ=而变更． 解：(
2212D
m dS x y ρ∑==+=⎰⎰
⎰⎰20
12d r π
=
⎰
()(
)2
2
5
32
2002
22(1112253515t t t π
ππ⎛⎫⎡⎤=+-=+-+=- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭
⎰
作业17 对坐标的曲面积分
1．
d d d d d d z x y x y z y z x ∑
++⎰⎰
，其中∑是柱面22
1x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分前侧．
解：:01,03,cos 0,0yz y z x D y z x x α=≤≤≤≤>=
=
原式
=
d d d d d d 0d d yz
zx
D D z x y x y z y z x y z z x ∑
∑
∑
++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1
3
1
000
3
2d 262yz D y z dy π====⎰
2．计算曲面积分
2
()d d d d z x y z z x y ∑
+-⎰⎰，其中∑为旋转抛物面221()2z x y =+下侧介于平面0z =及2z =之间的部分． 解：2
2221(),,,:4;2
x y xy z x y z x z y D x y =
+==+≤
:02,yz x D z y =≤≤≤
原式=
1
1
2
2()d d ()d d d d z
x y z z x y z z x y ∑∑∑
+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(
(22221
d d d d ()d d 2yz yz zx
D D D z y z z y z x y z x =-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
222
223
00
11
2d ()d d 222yz
zx D D y z x y z x dz d r dr πθ=++=+
⎰⎰⎰⎰⎰22
42
32000
222824z dz r dr z πππππ=+=+⋅=⎰⎰
3．计算
d d d d d d xy y z yz z x xz x y ∑
++⎰⎰
其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面
的外侧．
解：分片积分。

123:0,cos 0;:cos 0,0;:0,cos 0;x y z αβγ∑=<∑<=∑=<
4:1,cos cos cos 0z x y γβα∑=--===
>
原式=
()1
2
3
4
4
00031d d yz
D y z y y z ∑∑∑∑∑+++=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（由轮换对称性）
()()()()1
2
34
111
011131
3132
2348
y y y y dy y y z dz y
dy -⎡⎤---=--==--
=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎰⎰⎰
4．把对坐标的曲面积分
(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑
++⎰⎰
化为对面积的曲面积分：
（1）∑
是平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧； （2）∑是抛物面228()z x y =-+在面上方的部分的上侧．
解：（1）{}
3223cos 0,3,2,23,,,
,555n n γ⎧⎪>==⎨⎪⎪⎩⎭
原式=
∑
（2）
{}2
2,2,1cos 0,2,2,1,144x y n x y n x γ>==
++
原式=
∑
5．计算曲面积分2
()d d d d I z x y z z x y ∑
=
+-⎰⎰,其中∑为旋转抛物面
2
21()2
z x y =
+下侧介于平面z=0及z=2之间的部分． 解：
{}22
2,,1cos 0,,,1,:41x y n x y n D x y x y γ-<=-=+≤++
原式=
()222()1d d xz x z x y ∑
∑
=++-⎰⎰（两类曲面积分的互化）
()22222211()()1d d 42xy D x x y x x y x y ⎡⎤
=-++++-⎢⎥⎣⎦⎰⎰（第二类曲面积分投影法计算）
2
2
()d d xy D x y x y =+⎰⎰（用了重积分的对称性）22
4
3
00
2284d r dr πθππ==⋅=⎰⎰
6 ．已知速度场{}(,,),,v x y z x y z =，求流体在单位时间内通过上半锥
面
z =与平面1z =所围成锥体表面向外流出的流量．
解：2212:cos 0,1,:4z n D
x y x γ⎧⎫⎪
∑=<=-+≤⎨⎬+⎪⎭
1;2n ⎧⎫⎪
=-⎨⎬⎪⎭
{}2:1,cos 0,0,0,1,z n D γ∑=>=同样。

1
2
1
2
d d d d d d d d d d d d d d x y
z y z x z x
y x y z y z x z x y x y
∑
∑∑∑∑Φ=++=+
++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1122dS dS πππ∑∑⎛⎫
=+=+=⎰⎰⎰⎰
作业18 高斯公式和斯托克斯公式
1．利用高斯公式计算曲面积分： (1)
222d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++⎰⎰
，其中∑是平面0x =，0y =，0z =及
1x y z ++=所围成的立体的表面外侧；
解：原式()()2
1
1
12226662
z
D z x y z dv zdv zdz dxdy z dz Ω
Ω
-=
++===⋅
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()()()()1
1
23340
011111
3113110334344z z dz z z -⎡⎤⎛⎫⎡⎤=---=-+-=-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎰
（2）
()d d ()d d x y z y z x y x y ∑
-+-⎰⎰
，其中∑为柱面221x y +=及平面0z =，
3z = 所围成的立体的表面外侧； 解：原式()3
3
2
01z
D y z dv zdv zdz dxdy z dz πΩ
Ω
=
-+=-=-=-⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3
20
1922z ππ⎡⎤
=-=-⎢⎥⎣⎦
(3) 计算
2
(81)d d 2(1)d d 4d d y x y z y
z x yz x y ∑
++--⎰⎰,
其中，∑
是由曲面3)0
z y x ⎧=⎪≤≤⎨
=⎪⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与y 轴正向的夹角恒大于
π
2
． 解：加上221:3,2y x z ∑=+≤右侧，构成封闭区域的外侧。

原式1
1
1
1
3
1
(16)16y
D D dv dzdx dy dzdx dzdx ∑+∑∑Ω
∑=
-=--=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()3
21
1
132342y πππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦
2．设函数()f μ有一阶连续导数，利用高斯公式计算曲面积分
22223211
()d d ()d d ()d d 3
I f xy y z f xy z x x z y z z x y y x ∑
=-+++⎰⎰
，式中∑是下半球面2221(0)x y z z ++=≤的上侧．
解：加上221:0,1z x y ∑=+≤下侧，构成封闭区域的内侧。

原式()1
1
21
2
2
2
40
0sin x y z dv d d d ππθϕρϕρ∑+∑∑Ω
=
-=-++-=-⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()1
50
014
2cos 55
π
πϕρπ=-⋅-=- 3．利用斯托克斯公式计算曲面积分：
（1） 2
3d d d ,y x xz y yz z Γ
-+⎰式中Γ是圆周2222
x y z
z ⎧+=⎨=⎩，从Oz 轴正向看去, Γ
取逆时针方向． 解：原式()()()1
1
1
2
2
35520z D z dxdy z
x dydz dxdy dxdy π=∑∑=
--++=
-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（2）
d 3d 2d y x z y x z Γ
++⎰
，其中Γ为圆周2224x y z ++=,0x y z ++=,从Oy
轴的正向看去，Γ 取逆时针方向．． 解：原式
()()(
)1
20103022dxdy dydz dzdx π∑∑
=-+-+-==⋅=-⎰⎰
作业19 场论初步
1．求下列向量场A 通过曲面∑指定一侧的通量：
（1）z y x =+-A i j k ，∑为由平面632=++z y x 与0=x ，0=y ，0=z 所围成立体的表面，流向外侧； 解：()1
d d d d d d 01032666z y z y z x x x y dv ∑Ω
Φ=
+-=+-=⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ （2）()()()
2
23y 2x y xz y z =+-+++A i j k ，∑为以点(3,-1,2)为球心，半径
3=R 的球面，流向外侧．
解：()()()()2
23d d d d 2d d 212x y y z xz y z x y z x y dv ∑
Ω
Φ=
+-+++=-+⎰⎰⎰⎰⎰ 3
4331083
ππ=⋅
⋅= 2． 求向量场32()()3A x z i x yz j xy k =-++-沿闭曲线Γ的环流量(从z 轴正向看Γ 依逆时针的方向),其中Γ
为圆周22z z =-=-．
解：
()()32
d d 3dz Adl x z x x yz y xy Γ
Γ
=
-++-⎰
⎰ ()()()2
2
2
2
6d d 13d d 30d d 3d d z xy y y z y z x x x y x x y =-∑
∑
=--+-++-=
⎰⎰⎰⎰
()24
223
400
33
1d d 3419222
4x y x y d r dr π
θππ∑=+==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰ 3．求向量场{}
22
4,,A xyz xy x yz =-在点M (1, -1, 2)处的散度和旋度．
解：2
42,8217M
divA yz xy x y divA
=-+=-+-=-
{}{}22,42,4,2,0,9M
rotA x z xy xyz y xy C rotA
=---==-
4．证明向量场{}2,2A y x =--为平面调和场，并求势函数． 解：由于()()()()220,0,0,220,divA y x rotA x y x y x y ⎧⎫∂∂∂∂
=
-+-==---=⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭
因此A 是无源场且为无旋场从而为调和场
由()()2,22,0,2x y u y u x u xy g y g y u xy c '=-=-⇒=-+==-+为势函数
5．验证下列向量场A 为保守场，并求其势函数： （1）yz zx xy =++A i j k ；
解：由于()()()()()(),,0,rotA xy zx yz xy zx yz y z z x x y ⎧⎫∂∂∂∂∂∂
=---=⎨
⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭
因此A 为无旋场从而为有势场
由()(),,,,0,,0x y z y u yz u zx u xy u xyz g y z g u xyz h z h ''===⇒=+=⇒=+=
u xyz c ⇒=+为势函数
（2）()()()2226x y x z y z =++++-A i j k 解：由于
()()()()()()26222622,,0,
y z x z x y y z x z x y rotA y z z x x y ∂-∂+∂+∂-∂+∂+⎧⎫
=---=⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭
因此A 为无旋场从而为有势场
由()2
2,2,26,,2,x y z y u x y u x z u y z u x xy g y z g z '=+=+=-⇒=++=
()22,6u x xy yz h z h z '⇒=+++=-⇒2223u x xy yz z c =++-+为势函数
6．设()z y x u u ,,=具有二阶连续偏导数，计算()u rot grad 解：由于u u u u ,,x y z ⎧⎫
∂∂∂=⎨⎬∂∂∂⎩
⎭grad 从而
()u rot grad ,,u u u u u u y z z y z x x z x y y x ⎧⎫
⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭
222222,,u u u u u u y z z y z x x z x y y x ⎧⎫∂∂∂∂∂∂=---⎨⎬∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎩⎭
由于()z y x u u ,,=具有二阶连续偏导数，从而()0u =rot grad
第九章《曲线积分与曲面积分》测试题
1．填空题
（1）对坐标的曲线积分
d d d P x Q y R z Γ
++⎰
化成第一类曲线积分是
()cos cos cos ds P Q αβγΓ
++⎰，其中,,αβγ为有向曲线弧Γ在点(,,)x y z 处的
切向量 的方向角；
（2）设L 为取正向的圆周922=+y x 则曲线积分
2(22)d (4)d L
xy y x x x y -+-=⎰
18π-；
（3）设曲线积分
()e sin d ()cos d x
L f x y x f x y y ⎡⎤--⎣⎦⎰.与积分路径无关，
其中)(x f 一阶连续可导，且0)0(=f ，则=)(x f 2
x x
e e --；
（4）
222()d d ()d d ()d d y z y z x z z x y x x y ∑
+++++⎰⎰
=_0_，其中∑为单位球面
1222=++z y x 的外侧；
（5）设22e sin (2)x A y xy z xzy =+++i j k ，则(1,0,1)div |A = 0 ，
(1,0,1)rot |A ={}1,0,1--．
2．计算下列曲线积分： （1）计算
2d L
z s ⎰
，其中L 为球面2222x y z a ++=与平面0x y z ++=的相交部
分()0a >． 解：由轮换对称性
()2222222
11d d d d d 33L
L
L
L L
z s x s y s x y z s a s =
=
=
++=⎰
⎰
⎰
⎰⎰ 2
23
2d 2333
L
a a s a a ππ==⋅=⎰ （2）222
d L y
s x y z ++⎰，其中L 是22222
242x y z a x y ax
⎧++=⎪
⎨+=⎪⎩，0,0z a ≥>． 解：L 用球坐标表达是2222
2
2
42,cos sin 2x y z a
a x y ax
ρθϕ⎧++=⎪⇒==⇒⎨+=⎪⎩ []22cos ,2sin cos ,2sin ,0,x a y a z a θθθθθπ===∈
原式()
02
201
2d 2sin cos 143L y s a π
θθ===-=⎰⎰ （3）2
(2)d ,L x xy y +⎰其中L 为椭圆,122
22=+b
y a x 由点)0,(a A 经点),0(b C 到点
)0,(a B -的弧段；
解：L 参数表达是cos ,sin ,:0x a y b θθθπ==→
原式220
(cos 2sin cos )cos a ab b d π
θθθθθ=+⎰
()()2
2
2
22200
241sin sin 2cos cos 01133a b d ab d ab ab ππ
θθθθ=--=---=⎰⎰
（4）
222d ()d ()d L
x y x x y y x y z z +
++++
⎰
，其中L 是11222=++z y x 与
122++=y x z 的交线，其方向与z
轴正向成右手系；
解：L
参数表达是,,3:02x y z θθθπ===→
原式222
2
cos 41
(4sin cos )(
)2
d d π
π
θθθθθθθπ-=
-+=
+=-⎰⎰ （5）
(e sin 2)d (e cos 2)d x x L
y y x y y -+-⎰
，其中L 为上半圆周
222(),0x a y a y -+=≥，沿逆时针方向；
解：加上1:0,:02L y x a =→形成半圆区域的正向边界 原式2
2
2(e sin 2)d (e cos 2)d 20x x L L L D
y y x y y d a σπ+=
--+-=-=⎰
⎰⎰⎰
（6）
d d ||||L
x y
x y ++⎰，其中L 是以点为定点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,0)C -，(0,1)D -的正方形的整个边界（取正向）． 解：:1L x y +=正向 原式d d 00L
D
x y d σ=+==⎰⎰⎰
院 系 班级 姓 名 作业编号
21
3．计算下列曲面积分： （1
）
z S ∑
,∑
为锥面z =介于12z ≤≤之间的部分．
解：原式()22
201
=D
d e e πσθ=
=-⎰
（2）计算
2222
x y z R h R ++=≠⎰⎰
其中．
解：∑为z =
x z dS ==
令t dt =
==
原式D ⎛⎫=
⎰⎰
200R
d πθ⎛⎫=+⎰
⎰
022R
R
R dt R h R h h ππ⎛⎫==⎡+--⎤⎣⎦⎰ （3）
d d 2d d ,yz z x x y ∑
+⎰⎰
其中错误！不能通过编辑域代码创建对象。

是上半球面
224y x z --=的上侧；
解：∑为22
2
,,0;:4,x y z z D x y n x γ=>+≤=
+
原式()2cos 2cos 2cos yz dS y dxdy βγγ∑∑⎛⎫=
+=+
⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰ ()()22
2
223
11
2881222
D y dxdy x y dxdy d r dr π
πθππ∑=+=++=
+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （4）
2
22()d d ()d d ()d d y
z y z z x z x x y x y ∑
-+-+-⎰⎰，其中∑为锥面z =
(0)z h ≤≤的外侧；
解：加上2
2
2
1:,z h x y h ∑=+≤上侧，构成封闭区域的外侧。

《高等数学》同步作业册
22 原式()()()1
1
1
2
20000D
dv x
y dxdy x y dxdy ∑+∑∑Ω
∑=
-=++--=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()()22
223
40
11
022
4
h
D D x y dxdy x y dxdy d r dr h ππ
θ=--=-++=-
=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（5）2
2d 3d d y x x y z z Γ
+-⎰，其中Γ是圆周2229
0x y z z ⎧++=⎨=⎩，若正对着Oz 轴正
向看去，Γ取逆时针方向； 解：由STOCHS 公式，原式9D
dxdy dxdy π∑
=
==⎰⎰⎰⎰
（6）d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中∑是曲线)1(,02
≤⎩
⎨
⎧==z x y z 绕z 轴旋转所得旋转曲面的上侧．
解：加上221:1,1z x y ∑=+≤下侧，构成封闭区域的内侧。

原式()()2
1
1
1
211
11131D
r dv dxdy d rdr dz dxdy πθ∑+∑∑Ω
∑=
-=-++-=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()1
1
2
4
20
0616242r r r r dr πππππ⎛⎫=--+=-⋅-+=- ⎪⎝⎭⎰
4．设曲线积分
2d ()d L
xy x y x y ϕ+⎰
与路径无关，其中，且0)0(=ϕ
求
(1,1)
2(0,0)
d ()d xy x y x y ϕ+⎰
．
解：曲线积分
2d ()d L
xy x y x y ϕ+⎰
与路径无关，)(x ϕ连续可导
从而2
2(),()2,(),xy y x x x x x c ϕϕϕ''===+，又2
(0)00,()c x x ϕϕ=⇒== 故
(
)()
()
1,122
(1,1)
(1,1)
(1,1)
222(0,0)
(0,0)
(0,0)
0,01d ()d d d 2
2
x y xy x y x y xy x yx y d ϕ+=+==
=
⎰
⎰
⎰
5．设()f x 具有连续的导数，(0)0f =，且使表达式[e ()]d ()d x
x f x y x f x y ++是
某函数(,)x y μ的全微分，求()f x ，并求一个(,)x y μ．
解：由已知，[e ()]d ()d x
x f x y x f x y ++是某函数(,)x y μ的全微分， 从而(
)e ()(),e ()e ()e ()
,x x x x x f x f x f x f x f x x ---'''+=-==，
2
2e (),()e 22x
x x x f x c f x c -⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
，又()2000,()e 2x x f c f x =⇒==
院 系 班级 姓 名 作业编号
23
故2222(,)[e e ]d e d e ,(,)e 2222x
x x x x
x x x x d x y x y x y d y x y y c μμ⎛⎫=++==+ ⎪⎝⎭
6．证明在右半平面(0)x >
内，力F =所做的功与所走的路
径无关，并计算由点(1,1)A 到(2,2)B 所做的功．
解：
(
)()()2,23222
1,1,xy x y w y x -⎛⎫⎛⎫∂∂=-+==∂∂⎰
(
)
()
)
)222,22,21,11,1d x
y w +=
==⎰
8．证明：
22
d d x x y y
x y
++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数．
解：由于()2
222222,x y xy x y y x y x x y -⎛⎫⎛⎫∂∂=-+= ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭
且偏导数在整个xOy 平
面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是连续的，从而
22
d d x x y y
x y
++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，
函数如
()
()()()()
()()22,(,)
(,)
22
2222221,01,01,0111ln ln 222x y x y x y d x y xdx ydy x y x y x y x y ++==+=+++⎰
⎰ 9．求向量2A x y z =+-i j k 通过10,10,10≤≤≤≤≤≤z y x 的边界曲面流向外侧的通量． 解：()221121112xdydz ydzdx zdxdy dv ∑
Ω
Φ=
+-=+-=⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰
11．求向量场cos()cos()A xy xy xz =++i j k 在点π
(,1,1)2
处的散度． 解：()()()
()()cos()cos()sin sin xy xy xz divA y x xy x xz x y z
∂∂∂=
++=--∂∂∂ ()()π
π
(,1,1)(,1,1)2
2
sin sin 1divA
y x xy x xz π=--=-⎡⎤⎣⎦。