高数第三章第二节洛必达法则31页PPT

0
例8. 求 limxnlnx(n0).
x 0
解: 原式

lim
x0
ln x xn
1

lim
x0
n
x
xn1
lim ( xn) 0 x0 n
0型
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0
00
通分
0
取倒数
取对数

0
转化

转化
转化
1

0
例9. 求 lim (sexctaxn).
原式

lim
x
nxn1
ex
xlimn(n21e)xxn2
xl imnne!x 0
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例6. 求xl im exnx (n0,0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk x n xk1
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习题解答 P139 1题(7)、（6）
2 用洛必达法则求下列极限 :
lntan7x (1) lim
x0 lntan2x
(2) lx iamxxmnaam(a0)
解 (1)式 x l i0m 7tsae2 77 x n cx2tsae2 22 x n cx
0型 0
解 原式 lx i0m taxxn3xlxim0se3c2xx21 xlimlx0i tm 0a32nxs22ex2c6xxtanxse213xc lxi m01t axtnxa2n x13 .
1 3
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时 ,
ln x,
洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a换为 xa,
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
推论 2. 若 lim f ( x) F (x)
理1条件, 则
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1
求limtanx. ( 0 )
x0 x
0
解
原式 lim(taxn)
xa F(x)
( x)
常把这种极限称0为或 型未定式. 0
例如 limtan x , ( 0 )
x0 x
0
limlnsinax, ( ) x0 lnsinbx
定理 1.

2) f(x)与 F(x)在 (a)内可 , 导
3)
lim f (x) xa F(x)
存在 (或为
ln 1 (xx2)ln 1 (xx2)
2) lim
x 0
sex cco xs
解:
原式
=
limln1[(x2)2x2] x0 sexccoxs
limln(1x2x4)lim x2x4 x0 sexccoxs x0secxcoxs
lim 2x4x3 x0sextcaxn
xl i0m sxin xs2e2c4xx21
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存在 (或为
)
证: 无妨假设 f(a )F (a )0 ,在指出的邻域内任取
则
在以 x, a 为端点的区间上满足柯西
定理条件, 故 f(x)f(x)f(a) f ( ) F(x) F(x)F(a) F ( )
( 在 x , a 之间)
f()
f()
lim lim
xaF() aF()
x0
00 型
解:
例5 目录 上页 下页 返回 结束
1
例11 求 limx1x . ( 1 )
x1
1
解
原式 lime11xlnx

ln x lim
ex11x

lim x
e x11
e1.
x1
1
例12 求lim(coxt)lnx. ( 0 ) x0
解 取对 (c数 x o )l1 n xt 得 el1 n xln(x)c,ot
11
lim1 ln(cxo)t x0lnx
lim
x0

cot x
1
sin2
x
lim x 1, x0coxssinx
x 原式 e1.
内容小结
洛必达法则
型
f
g

1 g

1 f
1 g

1 f
00,1,0型
令 y fg
0型
取对数
0
0型
型
f
g
(洛必达法则)
( 证明略 )
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说明: 定理中 x a换为 xa, xa,
x ,
x , x
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
例4 求limlnsinax. x0lnsinbx
( )
2)lim
.
x 0
sex cco xs
解: 1) lim [x2ln1 (1)x]
x
x
(令t 1) x
tl i0mt12ln1(t)1t tl im 0ln1(t2t)t
1
lim 1t
1
lim
t
1
t0 2t t02t (1t) 2
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ex (0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 有时,在满足定理条件的情况下洛必达法则失效.
例如:
用洛必达法则
例3. xl im lxnnx0 (n0).
而
例4. xl im exnx0 (n0,0).
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3) 若 lim f(x)不存 ( 在 )时 , F(x)
例3. 求
0型 0
解: 原式
lim

1
1 x
2
x

1 x2
型

lim
x
x2 1 x2

lim
x
1
1 x2
1
1
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二、 型未定式

定理 2.

2) f(x)与 F(x)在 (a)内可 , 导
3) lim f (x) 存在 (或为∞) xa F(x) lim f ( x) lim f (x) x a F ( x) xa F(x)
7 2x co2s2x 2xl i0m 7xco2s7x
7 2

2 7
1 1
1.
(2)式lx im am nxnm x11
ma m1 na n1
m amn . n
习题解答
P139 1题（15）
(3) limxsinx x0
解
(3)式limelnxs
i
e n x
从而 由(1)
xk ex

xn ex

x k 1 ex
xl im exkxxl im xek x10
xlim exnx 0
用夹逼准则
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注意: 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例7: 求lx im 0txa2tnxanxx.
x
si1 n,
x 0 six n x 0 six n x
因x 为 0 时 x 当 是无 ,而 lx i0 穷 s m x ix n 1 小 ,si1 x是 n 有
界函数.
x2 sin1
故 lim
x 0 但用洛必达法则,
x0 sinx
x2si1 n 2xsi1 nco1s 则 lim xlim x x.
x 2
型
解: 原式 lim( 1 sinx) lim1sinx x2 coxs coxs x2 cosx
limcosx x2 sinx
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00
通分
0
取倒数
取对数

0
转化

转化
转化
1

0
例10. 求lim xx.

sec2 lim
x
1.
x0 (x)
x0 1
例2. 求
0型 0
解:
原式
lim 3x2 3 x1 3x22x1
lim 6x 3 x16x2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
lim 6x
lim 6 1
x1 6x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
x1 6
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f
1
g
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思考与练习
1 1.
6
分析: 原式 xl i0m coxxs(sxi2nsxixn) sin x ～ x
xl im0xxs3 ixn
limcosx1
x0
xl im013cxo2 sx

lim
x0
1 2
x
2
3x2

1 6
1cox～s12 x 2
解
原 式 lim acoasxsibnx limcosbx x 0bcobsxsianxx0 cosax
1.
例5. 求
型

解:
1
原式

lim
x
x
nxn1

lim
x
1 nxn
0
例6. 求 xl im exnx (n0,0).
型
解: (1) n 为正整数的情形.
lim f(x) lim f(x).
F(x)
F(x)
例如, limxsinx lim1cosx
x x
x 1
极限不存在
lim(1sinx) 1 x x
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三、其他未定式:
解决方法:
0
00
通分
0
取倒数
取对数

0
转化

转化
转化
1
lim sin xlnx
x 0
1
x0
ln x
lim
x 0 1
limxlnx
ex0
e
x

lim x
e x
0

1 x2
limx
e x0
e0
1.
习题解答 P139 x32s题in1
5 验证极 lim 限 x存在 ,但不能用洛必 出.达
x0 sinx
解
x2si1 n lim xlim x
第二节 洛必达法则
一、0 型未定式
0
二、 型未定式 三、其他未定式
第三章
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微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节研究: 函数之商的极限
( 或 型)
转化 洛必达法则 导数之商的极限
洛必达 目录 上页 下页 返回 结束
一、0 型未定式 0
定义 如果当x a (或x )时，两个函数 f (x) 与F(x) 都趋于零或都趋于无 大穷 ，那末 极限lim f (x)可能存在、也可能不 在存 ．通
)
limf(x)limf(x) xaF(x) xaF(x)
(洛必达法则)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
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定理条件:

2) f(x)与 F(x)在 (a)内可 , 导
3) lim f (x) xa F(x)
x 0 six n x 0 coxs
而后一个极限 ,故不 不存 能在 用洛必.达法
P139
作业
1 (9)，(10)，(12)，(13)，(16),
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备用题 求下列极限 :
1) lim [x2ln1 (1)x];
x
x
ln 1 (xx2)ln 1 (xx2)