2019-2020年人教版高中数学第一讲1.4直角三角形的射影定理
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解析：如图所示， AB2＝AD2＋BD2，
又因为 AD＝6，BD＝12，
所以 AB＝6 5.
由射影定理可得，AB2＝BD·BC， 所以 BC＝ABBD2＝15. 所以 CD＝BC－BD＝15－12＝3. 由射影定理可得，AC2＝CD·BC， 所以 AC＝ 3×15＝3 5. 答案：3 3 5 4∶1
类型 1 利用定理进行计算(自主研析) [典例 1] 如图所示，D 为△ABC 中 BC 边上的一点， ∠CAD＝∠B，若 AD＝6，AB＝10，BD＝8，求 CD 的长．
解：在△ABD 中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，满足 AB2＝AD2＋BD2，
所以∠ADB＝90°，即 AD⊥BC. 又∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°， 所以∠C＋∠B＝90°.所以∠BAC＝90°. 所以在 Rt△BAC 中，AD⊥BC，
所以 AD2＝AF·AC，DB2＝BG·BE， 所以 AF·AC＝BG·BE.
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
失分警示：若忽视此处利用等角转化，则无法求出 ∠FDE＝90°，扣掉 1～2 分．
又因为 AD⊥BC，所以∠FDA＋∠BDF＝90°， 所以∠FDE＝90°， 所以 DE⊥DF.(10 分)
归纳升华 应用射影定理证明几何题的思路
1．从已知条件入手，当已知存在直角三角形时，可 以考虑应用射影定理得到比例中项，再寻求证明结论的过 渡条件．
由射影定理可知，AD2＝BD·CD， 所以 62＝8×CD，所以 CD＝92.
归纳升华 1．已知三角形是直角三角形，或者三角形中有直角、 垂线等，是在直角三角形中应用射影定理必需的条件． 2．遇已知圆有直径时，直径所对圆周角是直角，因 此圆中有关计算问题也常常考虑应用射影定理．
3．运用射影定理进行直角三角形中的相关计算，常 常和直角三角形的其他性质相结合，如勾股定理、三角函 数关系、面积公式等．
[变式训练] 如图所示，在△ABC 中， D、F 分别在 AC、BC 上，且 AB⊥AC， AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求 AC.
解：在△ABC 中，设 AC 为 x， 因为 AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1，
根据射影定理，
得 AC2＝FC·BC，即 BC＝x2. 再由射影定理， 得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， 即 AF2＝x2－1. 所以 AF＝ x2－1. 在△BDC 中， 过 D 作 DE⊥BC 于 E.
以上给出了一些图形的变式，不要把正射影理解为只 是由一点向水平线引垂线的特殊情形．
3．如图所示，线段 AB 的两个端点 A 和 B 在直线 MN 上的正射影分别是 A′和 B′，线段 A′B′是线段 AB 在 直线 MN 上的正射影．特别地，如果线段 AB 垂直于直线 MN，那么 AB 在 MN 上的射影是一个点．
2．射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜
文字 边上射影的比例中项，两直角边分别是它
语言 们在斜边上射影与斜边的比例中项 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
符号 CD⊥AB 于点 D，则 语言 CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB，
AC2＝AD·AB
图形 语言 温馨提示 射影定理的两个条件：(1)直角三角形；(2) 直角三角形斜边上的高．有时需要作出斜边上的高，才能 应用射影定理．
[规范解答] 证明：因为∠CAB＝90°，AD⊥BC， 所以 AB2＝BD·BC.(2 分) 失分警示：若在此处用错射影定理，则本题无法得分． 所以BADB＝BACB. 又∠ABC＝∠ABD， 所以△ABC∽△DBA，(3 分)
所以AACB＝ABDD. 又 AC＝AE，AB＝BF，所以ABEF＝ABDD， 即BBDF＝AADE.(5 分) 失分警示：若得不到此处的等式，则无法推出 △EAD∽ △FBD，则扣掉 2 分．
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
1．4 直角三角形的射影定理
[学习目标] 1.借助直观，感知射影的概念，认识正 射影的特征． 2.理解射影定理，能应用定理解决相关的 几何问题(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线 的垂足． (2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条 直线上的正射影间的线段． (3)点和线段的正射影简称为射影．
因为 BD＝DC＝1，所以 BE＝EC. 又因为 AF⊥BC，所以 DE∥AF， 所以DAFE＝DACC.
DC·AF x2－1 所以 DE＝ AC ＝ x .
在 Rt△DEC 中，因为 DE2＋EC2＝DC2，
即
xx2－12＋x222＝12，
所以x2x－2 1＋x44＝1.
所以由射影定理可得 AC2＝AD·AB＝AD(AD＋3)．
只需再求出 AD 的长． 又因为 CD2＝BD·AD，所以 AD＝CBDD2＝232＝43. 所以 AC2＝43×43＋3＝592. 故 AC＝ 352＝2 313. 答案：C
4．在△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D，AD ＝6，BD＝12，则 CD＝________，AC＝__________，AB2∶ AC2＝__________．
2．从证明的结论着眼，当证明的结论是等积式或比 例式时，观察是否存在涉及的线段是某个直角三角形的 边．
[变式训练] 如图所示，CD 垂直平分 AB， 点 E 在 CD 上，DF⊥AC 于 F，DG⊥BE 于 G， 求证 AF·AC＝BG·BE.
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BED 均为直角三角形，并且 AD＝ DB， 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE，
所以 x＝3 2，即 AC＝3 2.
类型 2 利用定理进行证明(规范解答) [典例 2] 如图所示，∠CAB＝90°，AD⊥BC，△ ACE，△ABF 是正三角形．求证：DE⊥DF. 审题指导：由于图中所给的等角比较多， 则转化为证明∠FDE＝90°， 即只需证∠FDA＋∠ADE＝90°.
又 AD⊥BD，则只需证明∠ADE＝∠FDB， 从而转化为证明△FBD∽△EAD.
2019/7/18
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运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理．当所给条件中具备运用定理的条件时， 可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理运 用的条件，再运用定理．在处理一些综合问题时，常常 与相似三角形的知识相联系，要注意它们的综合运用．
温馨提示 1.对点和线段的射影的理解．点的射影由 点到直线的垂线段的垂足确定；线段的射影由线段的两个 端点的射影确定；线段的射影简记为：平行长不变，倾斜 长缩短，垂直成一点．
2．如图所示，AA′⊥MN，垂足 A′是点 A 在直线 MN 上的正射影．如果点 A 是 MN 上的点，那么 A 在 MN 上 的正射影就是它本身．
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
5．如图所示，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD，OF⊥AB， DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线 BD 的长为________．
解析：因为 OF＝a，所以 AD＝2a. 因为 AE⊥BD，所以 AD2＝DE·BD.
因为 DE∶EB＝1∶3， 所以 DE＝14BD， 所以 AD2＝14BD·BD. 所以 BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2， 所以 BD＝4a. 答案：4a
(4)在△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB，则 CD2＝ AC·BC.( )
解 析 ： 由 射 影 定 理 易 知 (1) 正 确 ， (2)(3) 错 误 ， 由 △CBD∽△ACD 知(4)正确．
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.如图所示，在 Rt△ABC 中，AC⊥CB，CD⊥AB 于
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB，则 CD2＝ AD·DB.( ) (2)在△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB，则 AC2＝ AD·DB.( ) (3) 在 △ABC 中 ， AC ⊥ BC ， CD⊥AB， 则 BC2 ＝ BD·AD.( )
D 且 CD＝4，则 AD·DB＝( )
A．16
B．4
C．2
D．不确定
解析：由射影定理 AD·DB＝CD2＝42＝16.
答案：A
3.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥ AB 于点 D，CD＝2，BD＝3，则 AC 等于( )
5 A. 3
21 B. 3
解析：因为在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
又∠ABD＝∠CAD，∠FBD＝60°＋∠ABD， ∠EAD＝60°＋∠CAD， 所以∠FBD＝∠EAD，(7 分)
失分警示：若得不到此处两个角相等，则无法推出 △EAD∽△FBD，则扣掉 2 分．
所以△EAD∽△FBD. 所以∠BDF＝∠ADE， 所以∠FDE＝∠FDA＋∠ADE＝∠FDA＋∠BDF.(9 分)
又因为 AD＝6，BD＝12，
所以 AB＝6 5.
由射影定理可得，AB2＝BD·BC， 所以 BC＝ABBD2＝15. 所以 CD＝BC－BD＝15－12＝3. 由射影定理可得，AC2＝CD·BC， 所以 AC＝ 3×15＝3 5. 答案：3 3 5 4∶1
类型 1 利用定理进行计算(自主研析) [典例 1] 如图所示，D 为△ABC 中 BC 边上的一点， ∠CAD＝∠B，若 AD＝6，AB＝10，BD＝8，求 CD 的长．
解：在△ABD 中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，满足 AB2＝AD2＋BD2，
所以∠ADB＝90°，即 AD⊥BC. 又∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°， 所以∠C＋∠B＝90°.所以∠BAC＝90°. 所以在 Rt△BAC 中，AD⊥BC，
所以 AD2＝AF·AC，DB2＝BG·BE， 所以 AF·AC＝BG·BE.
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
失分警示：若忽视此处利用等角转化，则无法求出 ∠FDE＝90°，扣掉 1～2 分．
又因为 AD⊥BC，所以∠FDA＋∠BDF＝90°， 所以∠FDE＝90°， 所以 DE⊥DF.(10 分)
归纳升华 应用射影定理证明几何题的思路
1．从已知条件入手，当已知存在直角三角形时，可 以考虑应用射影定理得到比例中项，再寻求证明结论的过 渡条件．
由射影定理可知，AD2＝BD·CD， 所以 62＝8×CD，所以 CD＝92.
归纳升华 1．已知三角形是直角三角形，或者三角形中有直角、 垂线等，是在直角三角形中应用射影定理必需的条件． 2．遇已知圆有直径时，直径所对圆周角是直角，因 此圆中有关计算问题也常常考虑应用射影定理．
3．运用射影定理进行直角三角形中的相关计算，常 常和直角三角形的其他性质相结合，如勾股定理、三角函 数关系、面积公式等．
[变式训练] 如图所示，在△ABC 中， D、F 分别在 AC、BC 上，且 AB⊥AC， AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求 AC.
解：在△ABC 中，设 AC 为 x， 因为 AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1，
根据射影定理，
得 AC2＝FC·BC，即 BC＝x2. 再由射影定理， 得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， 即 AF2＝x2－1. 所以 AF＝ x2－1. 在△BDC 中， 过 D 作 DE⊥BC 于 E.
以上给出了一些图形的变式，不要把正射影理解为只 是由一点向水平线引垂线的特殊情形．
3．如图所示，线段 AB 的两个端点 A 和 B 在直线 MN 上的正射影分别是 A′和 B′，线段 A′B′是线段 AB 在 直线 MN 上的正射影．特别地，如果线段 AB 垂直于直线 MN，那么 AB 在 MN 上的射影是一个点．
2．射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜
文字 边上射影的比例中项，两直角边分别是它
语言 们在斜边上射影与斜边的比例中项 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
符号 CD⊥AB 于点 D，则 语言 CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB，
AC2＝AD·AB
图形 语言 温馨提示 射影定理的两个条件：(1)直角三角形；(2) 直角三角形斜边上的高．有时需要作出斜边上的高，才能 应用射影定理．
[规范解答] 证明：因为∠CAB＝90°，AD⊥BC， 所以 AB2＝BD·BC.(2 分) 失分警示：若在此处用错射影定理，则本题无法得分． 所以BADB＝BACB. 又∠ABC＝∠ABD， 所以△ABC∽△DBA，(3 分)
所以AACB＝ABDD. 又 AC＝AE，AB＝BF，所以ABEF＝ABDD， 即BBDF＝AADE.(5 分) 失分警示：若得不到此处的等式，则无法推出 △EAD∽ △FBD，则扣掉 2 分．
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
1．4 直角三角形的射影定理
[学习目标] 1.借助直观，感知射影的概念，认识正 射影的特征． 2.理解射影定理，能应用定理解决相关的 几何问题(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线 的垂足． (2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条 直线上的正射影间的线段． (3)点和线段的正射影简称为射影．
因为 BD＝DC＝1，所以 BE＝EC. 又因为 AF⊥BC，所以 DE∥AF， 所以DAFE＝DACC.
DC·AF x2－1 所以 DE＝ AC ＝ x .
在 Rt△DEC 中，因为 DE2＋EC2＝DC2，
即
xx2－12＋x222＝12，
所以x2x－2 1＋x44＝1.
所以由射影定理可得 AC2＝AD·AB＝AD(AD＋3)．
只需再求出 AD 的长． 又因为 CD2＝BD·AD，所以 AD＝CBDD2＝232＝43. 所以 AC2＝43×43＋3＝592. 故 AC＝ 352＝2 313. 答案：C
4．在△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D，AD ＝6，BD＝12，则 CD＝________，AC＝__________，AB2∶ AC2＝__________．
2．从证明的结论着眼，当证明的结论是等积式或比 例式时，观察是否存在涉及的线段是某个直角三角形的 边．
[变式训练] 如图所示，CD 垂直平分 AB， 点 E 在 CD 上，DF⊥AC 于 F，DG⊥BE 于 G， 求证 AF·AC＝BG·BE.
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BED 均为直角三角形，并且 AD＝ DB， 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE，
所以 x＝3 2，即 AC＝3 2.
类型 2 利用定理进行证明(规范解答) [典例 2] 如图所示，∠CAB＝90°，AD⊥BC，△ ACE，△ABF 是正三角形．求证：DE⊥DF. 审题指导：由于图中所给的等角比较多， 则转化为证明∠FDE＝90°， 即只需证∠FDA＋∠ADE＝90°.
又 AD⊥BD，则只需证明∠ADE＝∠FDB， 从而转化为证明△FBD∽△EAD.
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运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理．当所给条件中具备运用定理的条件时， 可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理运 用的条件，再运用定理．在处理一些综合问题时，常常 与相似三角形的知识相联系，要注意它们的综合运用．
温馨提示 1.对点和线段的射影的理解．点的射影由 点到直线的垂线段的垂足确定；线段的射影由线段的两个 端点的射影确定；线段的射影简记为：平行长不变，倾斜 长缩短，垂直成一点．
2．如图所示，AA′⊥MN，垂足 A′是点 A 在直线 MN 上的正射影．如果点 A 是 MN 上的点，那么 A 在 MN 上 的正射影就是它本身．
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
5．如图所示，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD，OF⊥AB， DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线 BD 的长为________．
解析：因为 OF＝a，所以 AD＝2a. 因为 AE⊥BD，所以 AD2＝DE·BD.
因为 DE∶EB＝1∶3， 所以 DE＝14BD， 所以 AD2＝14BD·BD. 所以 BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2， 所以 BD＝4a. 答案：4a
(4)在△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB，则 CD2＝ AC·BC.( )
解 析 ： 由 射 影 定 理 易 知 (1) 正 确 ， (2)(3) 错 误 ， 由 △CBD∽△ACD 知(4)正确．
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.如图所示，在 Rt△ABC 中，AC⊥CB，CD⊥AB 于
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB，则 CD2＝ AD·DB.( ) (2)在△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB，则 AC2＝ AD·DB.( ) (3) 在 △ABC 中 ， AC ⊥ BC ， CD⊥AB， 则 BC2 ＝ BD·AD.( )
D 且 CD＝4，则 AD·DB＝( )
A．16
B．4
C．2
D．不确定
解析：由射影定理 AD·DB＝CD2＝42＝16.
答案：A
3.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥ AB 于点 D，CD＝2，BD＝3，则 AC 等于( )
5 A. 3
21 B. 3
解析：因为在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
又∠ABD＝∠CAD，∠FBD＝60°＋∠ABD， ∠EAD＝60°＋∠CAD， 所以∠FBD＝∠EAD，(7 分)
失分警示：若得不到此处两个角相等，则无法推出 △EAD∽△FBD，则扣掉 2 分．
所以△EAD∽△FBD. 所以∠BDF＝∠ADE， 所以∠FDE＝∠FDA＋∠ADE＝∠FDA＋∠BDF.(9 分)