2021年数学一轮复习考点与题型总结：第七章不等式、推理与证明

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考向三 求非线性目标函数的最值
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A.4 B.9 C.10 D.12 思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?
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解析 答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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考点1
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考点3
解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:首先利用约 束条件作出可行域,然后根据目标函数找到最优解时的点,最后把 解得点的坐标代入求解即可.
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答案
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考点1
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考点3
解析:(1)∵x>1,y>1,∴lg x>0,lg y>0,由题意得lg x+lg y=4,即
xy=104.
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考点1
考点2
考点3
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考点1
考点2
考点3
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考点1
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考点3
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例5要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容 器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容 关闭
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最 低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,那么求出最大利润;如果不获 利,那么需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?
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考点1
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2.线性规划的相关概念
线性约束条件
可行解 最大值
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5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和
最小,则x的值是 .
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考点1
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思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?
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考点1
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考点1
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解题心得1.若条件中不含等式,在利用基本不等式求最值时,则要 根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的等式,然后再利 用基本不等式.
2.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立 两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解; 二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式 子,然后利用基本不等式求解最值.
(4)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y
轴上的截距.( )
(1)× (2)√ (3)× (4)×
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知识梳理 双基自测
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2.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是( )
A.(0,0)
B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3)
A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20 D.最大值200
A.4 B.6 C.8 D.12
(4)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 .
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考点1
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考点3
(5)已知函数f(x)=x+ (p为常数,且p>0),若f(x)在区间(1,+∞)内
的最小值为4,则实数p的值为 .
3.(1)已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法,且 有a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max,a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min;
(2)求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问 题可考虑利用函数的单调性.
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考点1
考点2
考点3
对点训练2(1)已知x>1,y>1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y有( )
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相 同 ,所以只需在此直线的同 一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符 号
即可判断Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区 域.
考点1
考点2
考点3
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考点1
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考点3
解题心得利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一 种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等 式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可 乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
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考点1
考点2
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考点1
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考点3
∵目标函数z=x+y的最大值为2, ∴z=x+y=2.
作出直线x+y=2,由图象知x+y=2与平面区域相交于点A.
可知点A(1,1)在直线3x-y-a=0上, 即3-1-a=0,解得a=2.故选A.
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考点1
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由图象可知,过原点的直线y=kx,当直线y=kx经过点A时,直线的斜 率k最大,
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(3)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区
域:①当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上 方 ; ②当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的 下 方 .
注:其中Ax+By+C的符号是给出的二元一次不等式的符号. (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等 式所表示的平面区域的公共部分.
考点1
考点2
考点3
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考点1
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考向一 求不含等式条件的函数最值 例2(1)下列命题正确的是( )
思考依据题目特征,如何求不含等式条件的函数最值?
答案: (1)C (2)3
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考点1
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考点3
当且仅当x=2时取等号,故最大值为-2,故C正确,D错误.故选C. (2)因为x>2,所以x-2>0.
2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中 含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求 最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目 标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取 得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各 顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.
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考点1
考点2
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D
D 思考如何确定二元一次不等式(组)表示的平面区域?
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考点1
考点2
考点3
解析:(1)如图,不等式组表示的平面区域是△AOC,当a从-2连续变 化到1时,动直线x+y=a扫过Ω中的那部分区域为图中的四边形 AODE,其面积为
思考如何应用基本不等式求含有已知等式的函数最值?
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答案
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考点1
考点2
考点3
解析:(1)由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sin πx(0<x<2) 的对称中心为(1,1),故a+b=1.
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考点1
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考点3
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考点1
考点2
考点3
(方法二)∵x>0,y>0,x+3y+xy=9,
所以当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.
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考点1
考点2
考点3
考向二 求含有等式条件的函数最值
例3(1)若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sin πx(0<x<2)的
对称中心,则 的最小值为 . (2)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 .
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3.若a,b均为大于1的正数,且ab=100,则lg a·lg b的最大值是( )
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第七章 不等式、推理与证明
7.1 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题
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12
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表
示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 平 面 区 域 .我们把直 线画成虚线以表示区域 不 包 括 边界直线.当我们在平面直角坐 标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应 包 括 边界直线,则把边界直线画成 实 线 .
器的最低总造价是 元.
思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么?
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考点1
考点2
考点3
解题心得利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信 息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的 函数关系式,然后用基本不等式求解.
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考点1
考点2
最小值
最大值
最小值
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知识梳理 双基自测
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)不等式x-y-1>0表示的平面区域一定在直线x-y-1=0的上方.
( )
(2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是
(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.( ) (3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.( )
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考点1
考点2
考点3
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考点1
考点2
考点3
解题心得确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法: (1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等 式组.若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊 点同侧的那部分区域;否则就对应特殊点异侧的平面区域. (2)若不等式带等号,则边界为实线;若不等式不带等号,则边界为 虚线.
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考点1
考点2
考点3
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考点1
考点2
考点3
∵其面积为2,∴|AC|=4,从而点C坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,解得
a=3,故选D.
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考点1
考点2
考点3
(2)两条直线方程分别为x-2y+2=0与x+y-1=0. 把x=0,y=0代入x-2y+2得2,可知直线x-2y+2=0右下方所表示的二 元一次不等式为x-2y+2≥0, 把x=0,y=0代入x+y-1得-1,可知直线x+y-1=0右上方所表示的二 元一次不等式为x+y-1≥0,
考点3
对点训练3某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用 了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位 每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处 理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y= x2-200x+80 000,且 每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
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考点1
考点2
考点3
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考向一 求线性目标函数的最值
思考怎样利用可行域求线性目标函数的最值?
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考点1
考点2
考点3
考向二 已知目标函数的最值求参数的取值
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A.[-1,2] B.[-2,1] C.[-3,-2] D.[-3,1] 思考如何利用可行域及最优解求参数及其范围?
3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目 标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得 最值.
考点1
考点2
考点3
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A A.2 B.1 C.-1 D.-2
考点1
考点2
考点3
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C
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考点1
考点2
考点3
解析:(1)作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).
7.2 基本不等式及其应用
知识梳理
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知识梳理 双基自测
123
a=b
知识梳理
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知识梳理 双基自测
123
x=y
小
x=y
大
知识梳理
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知识梳理 双基自测
123
2ab
2
知识梳理
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知识梳理 双基自测
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(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
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答案
知识梳理
把各点的坐标代入,可知(-1,3)不满足x+y-1≤0,故选C. C
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知识梳理
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知识梳理 双基自测
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3.若点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内,则m的取值
范围是( )
A.m≥1 B.m≤1 C.m<1 D.m>1
∵点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内, D∴2m+3-5>0,即m>1.
当且仅当x=3y时等号成立. 设x+3y=t>0,则t2+12t-108≥0, 即(t-6)(t+18)≥0,
又t>0,∴t≥6. ∴当x=3,y=1时,(x+3y)min=6.
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考点1
考点2
考点3
考向三 已知不等式恒成立求参数范围
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思考已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是什么?
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