矩阵论报告

由于四面体的体积等于四面体底面积与高乘积的三分之一，平行六面体体积为底面积与高的乘积，而四面体与其对应的平行六面体的高相同，底面积为其对应平行六面体体积的一半，故四面体的体积为其对应的平行六面体体积的六分之一。
建立直角坐标系，设A,B,C三点的坐标分别为 、 和 ，并设四面体O-ABC的六条棱长分别为l，m，n，p，q，r。
0报告摘要
本报告旨在学习矩阵论理论知识的基础上，解决一个实际的应用问题，即如何用四面体的六条棱长来表示四面体的体积。这个问题是由Euler（欧拉）提出来的，本报告将在矩阵理论知识的基础上，推导出四面体体积的棱长表示。
1欲解决的题目内容：四面体体积问题
问题：如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler(欧合积的几何意义做一下简单的说明。从一点顶点引出三条边，其向量分别记为 、 、 。
的数值就是以 、 所在的底面平行四边形的面积，而其本身是一个 、 所在平面的向量。记 ，那
其中 是 在 上的投影， 显然就是 、 、 所对应的平行六面体的高，而 是其底面积，因为平行六面体的体积公式为其底面积乘以高，所以 就是平行六面体的体积。
根据上面的推导说明，该四面体的体积V等于 ， ， 为棱的平行六面体体及的六分之一，即
将上式两边平方后得
由于行列式转置后其值不变，将上市中后一个行列式转置，等式不变，则
上式中，根据向量数量积的坐标表示及数量积的定义可得
又根据向量的数量积的坐标表示与定义得
利用余弦定理把上面的三角函数表达为四面体棱长的表达式，则又可得
2基本术语解释
设任意三个向量 、 、 ,并设它们在直角坐标系中的坐标表示分( 1, 2, 3)、(b1,b2,b3)、(c1,c2,c3)，则
向量的数量积表示为
数量积是一个数，它是一个标量。
向量的向量积(欧式空间中内积)表示一个向量，它的大小为
它的方向符合右手法则，垂直于两个作向量积的向量所构成的平面。
向量的混合积表示一个数，也是标量，它的大小为
3基本理论阐述
我们从向量的混合积的几何意义出发，向量的混合积表示为做混合积的三个向量所对应的平行六面体的体积。我们所要求的任意四面体的体积都可以表示为该四面体所对于的一个平行六面体的体积的六分之一，为了用棱长来表示体积公式，将四面体放入直角坐标系中，利用矢量混合积的几何意义及坐标运算公式，结合矢量数量积的坐标运算公式、定义及余弦定理得到四面体体积公式的棱长表示。