【新教材精创】2.5.2 圆与圆的位置关系 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册

【新教材精创】2.5.2 圆与圆的位置关系（教学设计）
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习圆与圆的位置关系。

学生在初中的几何学习中已经接触过圆与圆的位置关系,上节已经学习了直线与圆的位置关系,因此本节课是对已学内容的深化何延伸;另一方面,本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的地位。

坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。

通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一。

重点:圆与圆的位置关系及判定方法
难点:综合应用圆与圆的位置关系解决问题
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一、情境导学
日食是一种天文现象,在民间称此现象为天狗食日。

日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。

日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。

我们将月亮与太阳抽象为圆,观察到的这些圆在变化的过程中
位置关系是怎样的?
前面我们运用直线的方程,圆的方程研究了直线与圆的位置关系,现在我们类比上述研究方法,运用圆的方程,通过定量计算研究圆
与圆的位置关系。

二、探究新知
圆与圆的位置关系的判定方法
1.几何法:
圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=r12(r1>0),圆O2:(x-x2)2+(y-y2)2=r22(r2>0),
两圆的圆心距d=|O1O2|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2,则有
位置
外离外切相交内切内含
关系
图
示
d与
d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|
r1,r2的
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
思路分析:(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长.
(2)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径,也可利用圆系方程求解.
解:(1)设两圆交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点坐标是方程组{
x 2+y 2+6x -4=0, ①
x 2
+y 2
+6y -28=0,②
的解.
①-②,得x-y+4=0.
∵A ,B 两点坐标都满足此方程,
∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C 1的圆心(-3,0),r=√13, C 1到直线AB 的距离为d=
|-3+4|√2
=
√22
, ∴|AB|=2√r 2-d 2=2√13-12=5√2,
即两圆的公共弦长为5√2.
(2)(方法1)解方程组{x 2+y 2+6x -4=0,
x 2+y 2+6y -28=0,
得两圆的交点A (-1,3),B (-6,-2).
设所求圆的圆心为(a ,b ),因圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4. 则√(a +1)2+(a -4-3)2=√(a +6)2+(a -4+2)2, 解得a=1
2,故圆心为
12,-72
,半径为√89
2
.
故圆的方程为(x-1
2)2+(y+7
2)2=89
2, 即x 2+y 2-x+7y-32=0.
(方法2)设所求圆的方程为x 2+y 2+6x-4+λ(x 2+y 2+6y-28)=0(λ≠-1), 其圆心为(-3
1+λ,-3λ
1+λ),代入x-y-4=0,解得λ=-7. 故所求圆的方程为x 2+y 2-x+7y-32=0. 相交弦及圆系方程问题的解决
1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆
答案:B
2.圆C 1
:x 2
+y 2
-12x-2y-13=0和圆C 2
:x 2
+y 2
+12x+16y-25=0的公共弦所
在的直线方程是 .
详细解析:两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0. 答案:4x+3y-2=0
3.半径为6的圆与x 轴相切,且与圆x 2
+(y-3)2
=1内切,则此圆的方程为( )
A.(x-4)2
+(y-6)2
=16 B .(x±4)2
+(y-6)2
=16 C .(x-4)2
+(y-6)2
=36 D .(x±4)2
+(y-6)2
=36 详细解析:设所求圆心坐标为(a ,b ),则|b|=6.由题意,得a 2
+(b-3)2
=(6-1)2
=25.
若b=6,则a=±4;若b=-6,则a 无解.故所求圆方程为(x±4)2
+(y-6)2
=36. 答案:D
4.若圆C 1
:x 2
+y 2
=4与圆C 2
:x 2
+y 2
-2ax+a 2
-1=0内切,则a 等
于 .
详细解析:圆C 1
的圆心C 1
(0,0),半径r 1
=2.圆C 2
可化为(x-a )2
+y 2
=1,即
圆心C 2
(a ,0),半径r 2
=1,若两圆内切,需|C 1C 2|=√a 2+02=2-1=1.解
得a=±1. 答案:±1
5. 已知两个圆C 1
:x 2
+y 2
=4,C 2
:x 2
+y 2
-2x-4y+4=0,直线l :x+2y=0,求经过
C 1
和C 2
的交点且和l 相切的圆的方程.
解:设所求圆的方程为x 2+y 2+4-2x-4y+λ(x 2+y 2-4)=0,即
(1+λ)x 2+(1+λ)y 2-2x-4y+4(1-λ)=0. 所以圆心为
11+λ,2
1+λ
, 半径为1
2√(-2
1+λ) 2+(-4
1+λ) 2-16(1-λ
1+λ),
四、小结
五、课时练
针对本节课的特点,在教法上,采用以教师为主导、学生为主体的教学方法;在教学过程中,注重启发式引导、反馈式评价,充分调动学生的学习积极性,鼓励同学们动手计算,采用一题多变的形式,让学生体会由简单到复杂,由特殊到一般的题型及相应解题策略,教师在学生活动后,给予帮助,促进数学概念的建构,促进数学基本素养的形成;在教学手段上,运用黑板板书和多媒体展示,激发学生的创造力,活跃了气氛,加深了理解。

注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养。