现代控制理论
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定理3.4 对于n阶连续时间线性定常系统 x=Ax+Bu y=Cx+Du
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状 态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性 已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
19
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1
具有相同特征值的线性变换举例 2 4 5
x 0 1 0x 2u 0 0 1 3
特征值为 (IA) 0 1 0 (2()1()1)
0 0 1
任选
1=2时
p11 p11 2 4 5p11
1p12Ap120 1
p13 p13 0 0 1p13
x 10
0 1 1x1u
解
该系统的能控性判别矩阵为
Qc B
AB11
1 1
因为rankQc = 1 < n;所以该系统不是状态完全能控的&
该系统是由两个结构上完全相
同;且又不是相互独立的一阶 系统组成的&显然;只有在其 初始状态x1t0和x2t0相同的条 件下;才存在某一ut;将x1t0 和x2t0在有限时间内转移到状 态空间原点&否则是不可能的&
3 线性控制系统的能控性和能观测性
3.1 能控性和能观测性的概念 3.2 连续时间线性定常系统的能控性 3.3 连续时间线性定常系统的能观测性 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性 3.5 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性 3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系 3.7 能控标准形和能观测性标准形 3.8 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观
20
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
3.2.3 输出能控性定义及判别准则
输出的能控性是指系统的输入能否控制系统的输出 定义 对于n阶连续时间线性定常系统
x=Ax+Bu y=Cx+Du 若存在一分段连续的输入信号ut;在有限时间t0; tf内;能 把任一给定的初始输出yt0转移到任意指定的最终输出ytf; 则称系统输出是完全能控的&
x ( 0 ) 0 t 1 [0 ( ) I 1 ( ) A n - 1 ( ) A n 1 ] B u () d
0t1[0()u()d
[B
AB
An1B]
0t1[1()u()d
0t1[n-1()u()d
0
[B
AB
An1B]
1
n-1
对于任意给定的x0 ;能够唯一解出i或u的条件是：
[ P 1 B P 1 A 1 B P ( P P 1 A ) n 1 P P 1 B ]
P 1[BA B A n 1B ]
P1Qc
因是P-1满秩的，所以 Q~ c 的秩与Qc的秩相同。
通过线性变换把矩阵A化成约当标准形;然后根据这一标 准形来判别系统的能控性&
现代控制理论基础
15
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
定理3.2 若系统ΣA; B具有互异的特征值;则其状态完全 能控的充分必要条件是经线性变换后的对角标准形
1
x
2
0
0
x Bu
n
B 阵中不包含元素全为零的行。
定理3.3 若系统ΣA; B具有互异的重特征值;则系统状态 完全能控的充分必要条件;是经线性变换的约当标准形
依据这一时间段上的输出确定系统这一时间段上的状态&
能控性和能观测性是现代控制理论中两个基础性概念;由 卡尔曼R. E. Kalman于1960年首次提出&
现代控制理论基础
2
3.1 能控性和能观测性的概念
一个RC网络&图中RC网络的输入端是电流源i;输出端开路& 取电容C1和C2上的电压v1和v2为该系统的两个状态变量&
解 将其表示为标量方程组的形式
x1 x1 u x2 x2 u y x1 x2
所有状态变量都是能 控和能观测的？
实际上;系统的状态既不是完全能控的;也不是完全能观 测的&
现代控制理论基础
6
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
3.2.1状态能控性定义
定义 对于连续时间线性定常系统 xAx+Bu
例 试判别如下连续时间 线性定常系统的能控性。
x01
1 0
x10u
解 系统的能控性判别矩阵为
0 1 Qc [B AB]1 0
因为
0 1
1 01 0
0
，所以
rankQc2n
所以该系统是状态完全能控的&
现代控制理论基础
11
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
例 试判别连续时间线性定常 系统的状态能控性&
v1是能控的
R1
v2是不能控的
R2
C1
i
回路I
C2 R3
y
回路II
v1是不能观测的
V2是能观测的
现代控制理论基础
3
3.1 能控性和能观测性的概念
在最优控制问题中;其任务是寻求输入ut使状态轨迹达 到最优;则要求状态能控&
u
x
x Ax + Bu
y y Cx
控制器
但状态xt的值通常是难以直接测量的;往往需要从测得 的输出yt中估计出来&
Q c BA BA 2 B A n 1 B
满秩，即
rankQcn
现代控制理论基础
10
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
例 试判别如下连续时间 线性定常系统的能控性。
2 1 1
x
0
1x0u
解 构造能控性判别矩阵
1 2 Qc [B AB]0 0
这是一个奇异阵，即
rankQc1n
所以该系统不是状态完全能控的;即系统状态不能控&
rank[bA b A n 1b]n
因此;可以把|Qc|≠0作为单输入情况下的能控性判据& 对于多输入情况;Qc不是方阵;不能用此结论&但有
rankQ crank Q cQ c T
因此;可以把|QcQcT|≠0作为多输入系统的能控性判据&
现代控制理论基础
13
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
例 试判别三阶双输入 系统的状态能控性。
xAxBu
J1
其中 A
J2
0
0
B~
B~ B~
1 2
J
l
B~
l
相同特征值下的约当块Ji 对应的 B i 的最后一行线性无关。 例 试判断以下连续时间线性定常系统的能控性&
J1 3 0 0 0 1 x 0 3 1x2 0u
B1
0 0 3 0 2 J2
B2
B1和B2的最后一行成比例;不是线性无关的;所以不能控&
p11 1
P1
p
12
0
p13 0
2=1时
p21 p21 2 4 5p21
2p22Ap220 1 0p22
2p2 14p22 5p23 0
任选
p23 p23 0 0 1p23
4/2
P2
1
0
5/2
P3
0
1
任选
2 0 0 A~ P1AP 0 1 0
0 0 1
现代控制理论基础
3
3
8 3 8
rankQcQcT23
现代控制理论基础
14
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 能控性判别准则二 线性非奇异变换不改变系统的能控性
证明
系统ΣA; B的能控性判断阵为
Q c[BA B A n 1B ]
系统（A~,B~）的能控性判断阵为
Q ~ c [B ~A ~ B ~ A ~ n 1 B ~ ]
现代控制理论基础
12
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
推论 对于单输入情况;若可求得到相应的控制作用u;使 状态变量从任意x0转移到原点;则矩阵
Q c[bA b A n 1b]
必须是非奇异矩阵;换句话说;矩阵Qc的逆存在;即 Qc 0
而|Qc|≠0表示矩阵Qc=b Ab … An-1b有且仅有n个线性无关 的列;也就是Qc的秩为n;即
x 10 10x11u
其特征值相同;尽管b阵的元素不为零;但系统状态不能控&
因为
Qc B
AB11
1 1
rank[Qc] = 1 < n
现代控制理论基础
17
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
例 试判断以下连续时间线性定常系统的能控性&
解 系统I和III是状态完全能控的;而系统II和IV因对应 约当小块最后一行存在元素为零的行;故状态不完全能控&
xAxBu
J1
其中 A
J2
0
0
B~
B~ B~
1 2
J
l
B~
l
与每个约当块Ji 对应的 B i 的最后一行的元素不全为零。
现代控制理论基础
16
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
例 试判别以下连续时间线性定常系统的能控性&
7 0 0 2 (I) x0 5 0x5u
0 0 1 7
根据能控性定义;在终态时刻t1 ;有xt1=0
所以
x (t1 ) eA t1x (0 )0 t1eA (t1 )B u ()d 0
x(0)t1eA B u()d 0 0 t1[0( )I1( )A n-1( )A n1]B u()d
现代控制理论基础
9
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
输入u不能控制状态变量 x1 ;故x1是不能控的
输出y不能反映状态变量 x2;故x2是不能观测的
表明系统的状态是不能控和不能观测的&
现代控制理论基础
5
3.1 能控性和能观测性的概念
例 分析如下系统的能控性和能观测性
x1
x
2
1
0
0 1
x1 x2
1 1
u
y 1
1
x1 x2
注意：特征值互不相同条件
3 0 0 0 1 x 0 3 1x2 0u
0 0 3 0 2
0 1 0 3 0 9
QcB ABA2B2 0 6 2 1812
0 2 0 6 0 18
第一行与第三行成比例
现代控制理论基础
18
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
定理3.3附 若系统ΣA; B具有相同的重特征值;则系统 状态完全能控的充分必要条件;是经线性变换的约当标准形
P2
“能控状态”充满整个状态空
P
间;则该系统是状态完全能控的
x1
&由此可看出;系统中某一状态
能控和系统状态完全能控在含
Pn
义上是不同的&
现代控制理论基础
7
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
能控性和能达性问题 1 能控性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将系统从任一初始状态xt0转移到原点;即xtf＝0; 则称系统是状态完全能控的&
1 1 0 0 1
x 0 0
1 1
0 x1 1 0
0 1
u1 u2
解 首先构造能控性判别矩阵
0 1 1 1 2 1 Qc[B ABA2B]1 0 1 0 1 0
0 1 1 1 2 1
观察Qc第一行和第三行完全相同，显见 rankQ c23n
所以该系统是不能控的。
容易得到
8 3 8
QcQcT
3
如果存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间
t0; tf内使得系统的某一初始状态xt0转移到指定的任一 终端状态xtf;则称初始状态xt0是能控的&若系统的所 有状态都是能控的;则称此系统是状态完全能控的;或
简称是能控的& 状态平面中点P能在ut作用下被
x2 P1
驱动到任一指定状态P1; P2; ∙∙∙; Pn;则点P是能控的状态&假如
8
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
3.2.2 状态能控性的判别准则
1 能控性判别准则一
定理3.1 对于n阶连续时间线性定常系统ΣA; B;其状态 完全能控的充分条件时由A;B阵所构成的能控性判别矩阵
满秩，即
Q c BA BA 2 B A n 1 B
rankQcn
证明
因为 x(t)eA tx(0)teA (t )B u()d 0
u
x
y
x Ax + Bu
y Cx
控制器
xˆ
状态估计器
现代控制理论基础
4
3.1 能控性和能观测性的概念
例 分析如下系统的能控性和能观测性
x1 x2
1
0
0 2
x1 x2
0 2
u
y 1
0
x1 x2
解 将其表示为标量方程组的形式
x1 x1 x2 2 x2 2u y x1
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状 态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性 已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1
具有相同特征值的线性变换举例 2 4 5
x 0 1 0x 2u 0 0 1 3
特征值为 (IA) 0 1 0 (2()1()1)
0 0 1
任选
1=2时
p11 p11 2 4 5p11
1p12Ap120 1
p13 p13 0 0 1p13
x 10
0 1 1x1u
解
该系统的能控性判别矩阵为
Qc B
AB11
1 1
因为rankQc = 1 < n;所以该系统不是状态完全能控的&
该系统是由两个结构上完全相
同;且又不是相互独立的一阶 系统组成的&显然;只有在其 初始状态x1t0和x2t0相同的条 件下;才存在某一ut;将x1t0 和x2t0在有限时间内转移到状 态空间原点&否则是不可能的&
3 线性控制系统的能控性和能观测性
3.1 能控性和能观测性的概念 3.2 连续时间线性定常系统的能控性 3.3 连续时间线性定常系统的能观测性 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性 3.5 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性 3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系 3.7 能控标准形和能观测性标准形 3.8 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
3.2.3 输出能控性定义及判别准则
输出的能控性是指系统的输入能否控制系统的输出 定义 对于n阶连续时间线性定常系统
x=Ax+Bu y=Cx+Du 若存在一分段连续的输入信号ut;在有限时间t0; tf内;能 把任一给定的初始输出yt0转移到任意指定的最终输出ytf; 则称系统输出是完全能控的&
x ( 0 ) 0 t 1 [0 ( ) I 1 ( ) A n - 1 ( ) A n 1 ] B u () d
0t1[0()u()d
[B
AB
An1B]
0t1[1()u()d
0t1[n-1()u()d
0
[B
AB
An1B]
1
n-1
对于任意给定的x0 ;能够唯一解出i或u的条件是：
[ P 1 B P 1 A 1 B P ( P P 1 A ) n 1 P P 1 B ]
P 1[BA B A n 1B ]
P1Qc
因是P-1满秩的，所以 Q~ c 的秩与Qc的秩相同。
通过线性变换把矩阵A化成约当标准形;然后根据这一标 准形来判别系统的能控性&
现代控制理论基础
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
定理3.2 若系统ΣA; B具有互异的特征值;则其状态完全 能控的充分必要条件是经线性变换后的对角标准形
1
x
2
0
0
x Bu
n
B 阵中不包含元素全为零的行。
定理3.3 若系统ΣA; B具有互异的重特征值;则系统状态 完全能控的充分必要条件;是经线性变换的约当标准形
依据这一时间段上的输出确定系统这一时间段上的状态&
能控性和能观测性是现代控制理论中两个基础性概念;由 卡尔曼R. E. Kalman于1960年首次提出&
现代控制理论基础
2
3.1 能控性和能观测性的概念
一个RC网络&图中RC网络的输入端是电流源i;输出端开路& 取电容C1和C2上的电压v1和v2为该系统的两个状态变量&
解 将其表示为标量方程组的形式
x1 x1 u x2 x2 u y x1 x2
所有状态变量都是能 控和能观测的？
实际上;系统的状态既不是完全能控的;也不是完全能观 测的&
现代控制理论基础
6
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
3.2.1状态能控性定义
定义 对于连续时间线性定常系统 xAx+Bu
例 试判别如下连续时间 线性定常系统的能控性。
x01
1 0
x10u
解 系统的能控性判别矩阵为
0 1 Qc [B AB]1 0
因为
0 1
1 01 0
0
，所以
rankQc2n
所以该系统是状态完全能控的&
现代控制理论基础
11
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
例 试判别连续时间线性定常 系统的状态能控性&
v1是能控的
R1
v2是不能控的
R2
C1
i
回路I
C2 R3
y
回路II
v1是不能观测的
V2是能观测的
现代控制理论基础
3
3.1 能控性和能观测性的概念
在最优控制问题中;其任务是寻求输入ut使状态轨迹达 到最优;则要求状态能控&
u
x
x Ax + Bu
y y Cx
控制器
但状态xt的值通常是难以直接测量的;往往需要从测得 的输出yt中估计出来&
Q c BA BA 2 B A n 1 B
满秩，即
rankQcn
现代控制理论基础
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
例 试判别如下连续时间 线性定常系统的能控性。
2 1 1
x
0
1x0u
解 构造能控性判别矩阵
1 2 Qc [B AB]0 0
这是一个奇异阵，即
rankQc1n
所以该系统不是状态完全能控的;即系统状态不能控&
rank[bA b A n 1b]n
因此;可以把|Qc|≠0作为单输入情况下的能控性判据& 对于多输入情况;Qc不是方阵;不能用此结论&但有
rankQ crank Q cQ c T
因此;可以把|QcQcT|≠0作为多输入系统的能控性判据&
现代控制理论基础
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
例 试判别三阶双输入 系统的状态能控性。
xAxBu
J1
其中 A
J2
0
0
B~
B~ B~
1 2
J
l
B~
l
相同特征值下的约当块Ji 对应的 B i 的最后一行线性无关。 例 试判断以下连续时间线性定常系统的能控性&
J1 3 0 0 0 1 x 0 3 1x2 0u
B1
0 0 3 0 2 J2
B2
B1和B2的最后一行成比例;不是线性无关的;所以不能控&
p11 1
P1
p
12
0
p13 0
2=1时
p21 p21 2 4 5p21
2p22Ap220 1 0p22
2p2 14p22 5p23 0
任选
p23 p23 0 0 1p23
4/2
P2
1
0
5/2
P3
0
1
任选
2 0 0 A~ P1AP 0 1 0
0 0 1
现代控制理论基础
3
3
8 3 8
rankQcQcT23
现代控制理论基础
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 能控性判别准则二 线性非奇异变换不改变系统的能控性
证明
系统ΣA; B的能控性判断阵为
Q c[BA B A n 1B ]
系统（A~,B~）的能控性判断阵为
Q ~ c [B ~A ~ B ~ A ~ n 1 B ~ ]
现代控制理论基础
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
推论 对于单输入情况;若可求得到相应的控制作用u;使 状态变量从任意x0转移到原点;则矩阵
Q c[bA b A n 1b]
必须是非奇异矩阵;换句话说;矩阵Qc的逆存在;即 Qc 0
而|Qc|≠0表示矩阵Qc=b Ab … An-1b有且仅有n个线性无关 的列;也就是Qc的秩为n;即
x 10 10x11u
其特征值相同;尽管b阵的元素不为零;但系统状态不能控&
因为
Qc B
AB11
1 1
rank[Qc] = 1 < n
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
例 试判断以下连续时间线性定常系统的能控性&
解 系统I和III是状态完全能控的;而系统II和IV因对应 约当小块最后一行存在元素为零的行;故状态不完全能控&
xAxBu
J1
其中 A
J2
0
0
B~
B~ B~
1 2
J
l
B~
l
与每个约当块Ji 对应的 B i 的最后一行的元素不全为零。
现代控制理论基础
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
例 试判别以下连续时间线性定常系统的能控性&
7 0 0 2 (I) x0 5 0x5u
0 0 1 7
根据能控性定义;在终态时刻t1 ;有xt1=0
所以
x (t1 ) eA t1x (0 )0 t1eA (t1 )B u ()d 0
x(0)t1eA B u()d 0 0 t1[0( )I1( )A n-1( )A n1]B u()d
现代控制理论基础
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
输入u不能控制状态变量 x1 ;故x1是不能控的
输出y不能反映状态变量 x2;故x2是不能观测的
表明系统的状态是不能控和不能观测的&
现代控制理论基础
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3.1 能控性和能观测性的概念
例 分析如下系统的能控性和能观测性
x1
x
2
1
0
0 1
x1 x2
1 1
u
y 1
1
x1 x2
注意：特征值互不相同条件
3 0 0 0 1 x 0 3 1x2 0u
0 0 3 0 2
0 1 0 3 0 9
QcB ABA2B2 0 6 2 1812
0 2 0 6 0 18
第一行与第三行成比例
现代控制理论基础
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3.2 连续时间线性定常系统的能控性
定理3.3附 若系统ΣA; B具有相同的重特征值;则系统 状态完全能控的充分必要条件;是经线性变换的约当标准形
P2
“能控状态”充满整个状态空
P
间;则该系统是状态完全能控的
x1
&由此可看出;系统中某一状态
能控和系统状态完全能控在含
Pn
义上是不同的&
现代控制理论基础
7
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
能控性和能达性问题 1 能控性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将系统从任一初始状态xt0转移到原点;即xtf＝0; 则称系统是状态完全能控的&
1 1 0 0 1
x 0 0
1 1
0 x1 1 0
0 1
u1 u2
解 首先构造能控性判别矩阵
0 1 1 1 2 1 Qc[B ABA2B]1 0 1 0 1 0
0 1 1 1 2 1
观察Qc第一行和第三行完全相同，显见 rankQ c23n
所以该系统是不能控的。
容易得到
8 3 8
QcQcT
3
如果存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间
t0; tf内使得系统的某一初始状态xt0转移到指定的任一 终端状态xtf;则称初始状态xt0是能控的&若系统的所 有状态都是能控的;则称此系统是状态完全能控的;或
简称是能控的& 状态平面中点P能在ut作用下被
x2 P1
驱动到任一指定状态P1; P2; ∙∙∙; Pn;则点P是能控的状态&假如
8
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
3.2.2 状态能控性的判别准则
1 能控性判别准则一
定理3.1 对于n阶连续时间线性定常系统ΣA; B;其状态 完全能控的充分条件时由A;B阵所构成的能控性判别矩阵
满秩，即
Q c BA BA 2 B A n 1 B
rankQcn
证明
因为 x(t)eA tx(0)teA (t )B u()d 0
u
x
y
x Ax + Bu
y Cx
控制器
xˆ
状态估计器
现代控制理论基础
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3.1 能控性和能观测性的概念
例 分析如下系统的能控性和能观测性
x1 x2
1
0
0 2
x1 x2
0 2
u
y 1
0
x1 x2
解 将其表示为标量方程组的形式
x1 x1 x2 2 x2 2u y x1