高数-对坐标的曲面积分

z)dxdy
lim
0
i 1
R( i
,i z
,
i
)( Si
)xy n
首先将 的方程表为 z z( x, y),
z z(x, y)
Dx y 为 在 xoy 面上的投影区域
在 上任取一小块区域 Si Si 在 xoy 面上的投影区域为
o
Dxy
( i )xy , 投影为 ( Si )xy , x
y
R( x, y, z)dxdy
x
( i )xy
n
lim
0
R[i
i 1
,i
,
z(i
,i
)](
i
)
xy
R[
Dxy
x,
y,
z(
x,
y)]dxdy
n
R(
x,
y,
z)dxdy
lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)( Si
z)
j
R(
x,
y,
z)k
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
性质: 与第二类曲线积分的性质完全相似、例如 线性性质、有限可加性等
Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
(Si )xy ( i )xy , i z(i ,i ),
R( x, y, z)dxdy
n
o
lim
0
R[i
i 1
,i
,
z(
i
,i
)](
i
)
xy
Dxy
R[ x, y, z( x, y)]dxdy
x
Dxy
y
( i )xy
（2） 取下侧，则 (Si )xy ( i )xy , i z(i ,i ),
(3) 取极限，求精确值
z Si
ni
vi
(i ,i , i )
令 为所有小块曲
面直径的最大值，则
•
n
lim
0
[
i 1
P
(i
,i
,
i
)(Si
)
yz
Q(i ,i , i )(Si )xz
o
y
R(i ,i , i )(Si )xy ]
x
三、对坐标的曲面积分的定义及性质
定义：设 为光滑有向曲面，R (x , y , z) 在 上有界
两侧。此时曲面上任意一点处的法向量为 (zx , z y ,1)
其中，n1 ( zx , z y , 1) 朝上，代表曲面的上侧，
n2 (zx , z y , 1)
朝下，代表曲面的下侧。
（2）若曲面方程为 y = y (x , z)，则将曲面分为左、右
两侧。此时曲面上任意一点处的法向量为 ( yx , 1, yz )
S•
则 S 在 xoy 面上的投影规定为
(S ) xy
( )xy ( )xy
0
当cos 0 时 当cos 0 时 当cos 0 时
0
类似地，可以定义 S 在
x
yoz 和 xoz 面上的投影。
y
( )x y
3. 有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系
（1）设 的方程为：z z( x, y)
所指一侧
2
其大小为
A|
v
|
cos
Av
n
Av (n)
因此通过 A 流向 n 所指一侧
v
的流量仍然为 Av n 总之，流体通过 A 而流向 n
A
n
所指一侧的 流Av量 n总 可表示为
2.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)的速度场由
v( x,
y,
z)
P(
x,
y, z)i
Q( x,
其中，n1 ( yx , 1, yz ) 朝右，代表曲面的右侧，
n2 ( yx , 1, yz )
朝左，代表曲面的左侧。
（3）若曲面方程为 x = x (y , z)，则将曲面分为前、后
两侧。此时曲面上任意一点处的法向量为 ( 1, xy , xz )
其中，n1 (1, xy , xz ) 朝前，代表曲面的前侧，
i 1
令 为所有小块曲面直径的最大值， 如果极限
n
lim
0
i 1
R(
i
,i
,
i
)
(Si
)
x
y
,
总存在，则称此极限为 R (x , y , z) 在 上对坐标
x , y 的曲面积分。
记作 R( x, y, z)dxdy,即
积分和
n
R( x,
y,
z)dxdy
lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)( Si
x
0
y
( )x y
3. 有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系
（1）设 的方程为：z z( x, y)
(S)x y
(
)xy ,
( )xy ,
若 取上侧 若 取下侧
z
注意： 取上侧
n (zx ,z y ,1)
cos 0 投影取正
n
S•
（3）若 的方程为：x x( y, z)
此时，1和2 均应分为上、下两侧
z
1
其中：若 取外侧，则
1 应取上侧，2 应取下侧， 若 取内侧，则
0
y
1 应取下侧，2 应取上侧，
x
2
2. 有向曲面在坐标面上的投影
设 是一个有向曲面，法向量
n 的方向余弦记为
n0
(cos ,cos
,
cos
)
n
的方向与
z
的侧向一 致 n
假设在 S 上，cos 不变号
vi .
i )k,
(2)侧求的近流似量：为在单位i时间vi内 n通i过Si
Si 而流向 指定
(i 1,2,, n).
而通过整个 流向指定侧的流量为
n
vi
niSi
n
[P(i ,i , i )cosi
i 1
i 1
Q(i ,i , i )cos i R(i ,i , i )cos i ]Si
(S) yz
( ) yz , 若 取前侧
( ) yz , 若 取后侧
x
0
y
( )x y
二、概念的引入
举例： 流向曲面一侧的流量.
1. 设有一有向平面区域 A，
n
为与 A 的侧向一致的
单v与位n法 之向间量的，夹今角有,一求流单速位为时常间向内量通v过的A流流速向场n，所为指
一侧的流量。
(1)
首先，将 任意分成 n 块小曲面：S1,S2,,Sn,
Si 在 xoy 面上的投影记为 (Si )x y , i 1, 2,, n,
其次，在 Si 上任取一点 (i ,i , i ), 做乘积
n
R(i ,i , i )(Si )x y , 并作和 R(i ,i , i )(Si )x y ,
若
取上侧，
则
的法向量为
z
n (zx , zy, 1)
显然在 S 上，cos > 0 不变号
n
,
若
取下侧，
则
的法向量为
n (zx , zy, 1)
显然在 S 上，cos < 0 不变号 0
所以 (S)x y ( )xy ,
x
y
( )x y
3. 有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系
2
此时 v 在平面内
Av n v
因此 0, 但 v n 0
所以仍然有
A
n
Av n
（1）设有一有向平面区域 A，n 为与 A 的侧向一致的
v单与位n之法间向的量夹，今角有, 一求流单速位为时常间向内量通v过的A流流速向场n，所为指
一侧的流量 。
(3) ,
此时流体实际流向
n
n2 ( 1, xy , xz )
朝后，代表曲面的后侧。
（4）若曲面为封闭曲面，方程为 F (x , y , z ) = 0，
则将曲面分为内、外两侧。
此时曲面上任意一点处的法向量为 (Fx ,Fy , Fz ) 其中， 一个朝内，代表曲面的内侧，
一个朝外，代表曲面的外侧。
小结：（1）曲面的方程形式决定了曲面侧向的划分； （2）曲面侧向的选定可通过法向量的指向来确定。
P(i
,i
,
i
)i
•
Q(i
,i
,
i
)j
R(i ,i , i )k ,
o
y
x
(1) 分割 把曲面Σ分成 n 小块 si
( si同时也代表第 i 小块曲面的面积),
在单位vi 法si上P向(任量i取,为i一：,点ni )i i(coQi ,s(i ,iii,i)i ,,cois则)j该i j 点Rc(流osi 速,iik为,
四、第二类曲面积分的计算方法
n
R(
x,
y,
z)dxdy
lim
0
i 1
R( i
,i z
,
i
)( Si
)xy n
（1） 取上侧，则
z z(x, y)
(Si )xy ( i )xy , i z(i ,i ),
（2） 取下侧，则
(Si )xy ( i )xy , i z(i ,i ), o Dxy
n
n
vi niSi [P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i
i 1
i 1
R(i ,i , i ) cos i ]Si
n
[P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )xz
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy ]
这种通过法向量的指向来选定了侧的曲面叫做有向曲面
例如：考虑封闭的球面 ：x2 y2 z2 a2, 则应将 分为内、外两侧， 取
F x2 y2 z2 a2, 则 (Fx ,Fy ,Fz ) 2( x, y, z) 代表 的外侧， 而 (Fx ,Fy ,Fz ) 2( x, y, z) 代表 的内侧。 进一步，若将 分为上下两半球面，则 的方程为
曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在. 组合形式:
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
物理意义:
v
P(
x,
y,
z)i
Q(
x,
y,
y,
z)
j
R(
x,
y, z)k
给出,
Σ是速度场中的一片有向曲面,
函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 都在Σ上连续,
,
z
求在单位时间内流向Σ
指定侧的流体的质量
o
y
x
(1) 分割 把曲面Σ分成 n 小块 si
在(单nvi i位的s法方isv同i(上向向时i任,量与也取i为,代一：i的表)点n第侧i 向(ic小oi一,s块致i ,ii曲 i)面z,co的s记面S该ii 积j 点)c,流ons速i ik为vvi(i.i ,i , i )
（1） 取上侧，则
n (zx , z y , 1),
y
( i )xy
(Si )xy ( i )xy , i z(i ,i ), 代入上述积分和中得
四、第二类曲面积分的计算方法
n
R(
x,
y,
z)dxdy
lim
0
i 1
R( i
,i z
,
i
)( Si
)xy n
（1） 取上侧，则
z z(x, y)
第五节 对坐标的曲面积分
• 一、基本概念 • 二、概念的引入 • 三、概念及性质 • 四、计算法 • 五、两类曲面积分之间的联系 • 六、小结 思考题
一、基本概念
1. 有向曲面（曲面的侧向） 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面通常都是双侧的，具体分类如下：
（1）若曲面方程为 z = z (x , y)，则将曲面分为上、下
（1）设 的方程为：z z( x, y)
(S)x y
(
)xy ,
( )xy ,
若 取上侧 若 取下侧
z
注意： 取上侧
n (zx ,z y ,1)
cos 0 投影取正
n
S•
（2）若 的方程为：y y( x, z)
(S ) xz
( )xz , 若 取右侧
( )xy , 若 取左侧
z a2 x2 y2 其中 1 : z a2 x2 y2 代表上半球面，
2 : z a2 x2 y2 代表下半球面，
例如：考虑封闭的球面 ：x2 y2 z2 a2,
则应将 分为内、外两侧，
1 : z a2 x2 y2 代表上半球面，
2 : z a2 x2 y2 代表下半球面，
1
2
若用 表示与 取相反侧向的有向曲面，则
P( x, y, z)dydz P( x, y, z)dydz
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)dzdx
R( x, y, z)dxdy R( x, y, z)dxdy
四、第二类曲面积分的计算方法
n
R(
x,
y,
) xy
被积函数
积分曲面
类似可定义
n
P(
x,
y,
z)dydz
lim
0
i 1
P ( i
,i
,
i
)( Si
)
yz
n
Q( x,
y, z)dzdx
lim
0
i
1
Q(
i
,
i
,
i
)(
Si
)
zx
以上三个对坐标的曲面积分统称为第二类曲面积分。
存在条件:
当 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在有向光滑
2
通过
A
流向
n
所指一侧
的流量就是该斜柱体的体积
Av cos Av n
v
A
n
1.设有一有向平面区域 A，
n
为与 A 的侧向一致的
v单与位n之法间向的量夹，今角有, 一求流单速位为时常间向内量通v过的A流流速向场n，所为指
一侧的流量 。
(1) (2)
,
2
通过
A
流向
n
所指一侧的流量
,