力学竞赛综合练习含答案

力学竞赛练习
一、选择题
1.如下列图，均匀细杆AB 质量为M ，A 端装有转轴，B 端连接细线通过滑轮和质量为m 的重物C 相连，假设杆AB 呈水平，细线与水平方向夹角为θ时恰能保持平衡，那么杆对轴A 有作用力大小下面表达式中不正确的选项是〔
〕
A.mg
B ．Mg
2 sin θ
C ．M 2－2Mm sin θ＋m 2 g
D ．Mg －mg sin θ
2．如下列图，在倾角为θ的光滑斜面上A 点处，以初速v 0与斜面成α角斜抛出一小球，小球落下将与斜面作弹性碰撞．求a θ、满足什么条件时，小球将逐点返跳回出发点A ？( )．
A ．k =⋅θαcos sin
B ．k =⋅θαsin cos
C ．k =⋅θαcot cot
D ．k =θαtan tan (123=,,,k )
3.在竖直平面的一段光滑圆弧轨道上有等高的两点M 、N ，它们所对圆心角小于10°，P 点是圆弧的最低点，Q 为弧NP 上的一点，在QP 间搭一光滑斜面，将两小滑块〔可视为质点〕分别同时从Q 点和M 点由静止释放，那么两小滑块的相遇点一定在〔 〕 （A ）P 点 〔B 〕斜面PQ 上的一点
〔C 〕PM 弧上的一点 〔D 〕滑块质量较大的那一侧
4.一木板坚直地立在车上，车在雨中匀速进展一段给定的路程。

木板板面与车前进方向垂直，
A B θ C
其厚度可忽略。

设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速坚直下落。

以下诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是〔 〕
A 、雨点下落的速度
B 、单位体积中的雨点数
C 、车行进的速度
D 、木板的面积
5.有一只小虫清晨6时起从地面沿树干向上爬，爬到树顶时是下午6时，第二天清晨6时起从树顶沿树干向下爬，爬回地面时是下午四时。

假设小虫爬行时快时慢，那么两天中，一样钟点〔时、分、秒〕爬过树干上一样高度的时机是〔 〕 A ．一定有一次 B.可能没有 C ．可能有两次 D.一定没有
6.物体A 、B 质量一样，在倾角为30o 的光滑斜面上，滑轮及绳子质量均不计，下滑轮通过轻杆固定在斜面底端，现将系统由静止释放，那么物体A 在下降h 距离时的速度大小为〔 〕 A ． 2 g h B ．2 3 g h ／5 C ．22gh D ．8 g h ／5
7.如下列图，在静止的杯中盛水，弹簧下端固定在杯底，上端系一密度小于水的木
球．当杯自由下落时，弹簧稳定时的长度将( )． A ．变长 B ．恢复到原长 C ．不变 D ．无法确定
8.如下列图，M 、N 是两个共轴圆筒的横截面．外筒半径为R ，筒半径比R 小得多，可以忽略不计．筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空．两筒以一样的角速度 绕其中心轴线(图中垂直于纸面)匀速转动．设从M 筒部可以通过窄缝S(与M 筒的轴线平行)不断地向外射出，两种不同速率v1和v2的微粒，从S 处射出时初速度方向都是沿筒的半径方向，
B
A
30
微粒到达N 筒后就附着在N 筒上．如果R 、v1和v2都不变，而ω取某一适宜的值，那么( ) A ．有可能使微粒落在N 筒上的位置都在a 处一条与S 缝平行的窄条上
B ．有可能使微粒落在N 筒上的位置都在某一处如b 处一条与S 缝平行的窄条上
C ．有可能使微粒落在N 筒上的位置分别在某两处如b 处和c 处与S 缝平行的窄条上
D ．只要时间足够长，N 筒上将到处落有微粒 量为二、填空题
1.一均匀的不可伸长的绳子，其两端悬挂在A 、B 两点，B 点比A 点高h ．在A 点，绳子力为T A ．绳子的质m ，绳长为L ．那么在B 点绳子的力T B =.
2.质量为m 的小球挂在长为L 、不可伸长的轻线上，静止于自然悬挂状态。

沿水平方向朝球打击一下，打击时间t 比小球振动周期小得多。

之后球沿圆弧运动时它将上升的最大高度为h ，那么打击时作用在球上的平均冲力可能是 ； ； 。

3.一只蜗牛从地面开场沿竖直电杆上爬，它上爬的速度v 与它离地面的高度h 之间满足关系式0
lv v l h
=
+，其中常数l ＝20cm ，0v ＝2cm/s 。

求它上爬20cm 所用的时间为。

4.如下列图，某同学设计了一个测定平抛运动初速度的实验装置，O 点是小球抛出点，在O 点有一个频闪的点光源，闪光频率为30 Hz ，在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，在小球抛出后的运动过程中当光源闪光时，在毛玻璃上有一个小球的投影点，在毛玻璃右边用照相机屡次曝光的
方法，拍摄小球在毛玻璃上的投影照片。

图中O 点与毛玻璃水平距离L= 1.2m ，两个相邻的小球投髟点之间的距离为5h cm ∆=，那么小球在毛玻璃上的投影点做运动，小球平抛运动的
m
M θ
初速度是m/s 。

5.如下列图，质量分别为M 和m 的两滑块迭放在光滑水平面上，滑块M 倾斜面的倾角为θ， 不计一切摩擦阻力，当滑块m 下滑时，滑块M 的加速度大小为＿＿＿＿＿。

三、计算题
1.有一质量为m=50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数3.0=μ，杆的上
端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角
30=θ。

〔1〕假设以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离12/5(h L L =为杆长〕，要使杆不滑倒，力F 最大不能越过多少？
〔2〕假设将作用点移到24/5h L =处时，情况又如何？
2.学者研究新发现的行星，它是半径R =6400km 的球体，整个外表都被海洋覆盖，海水〔普通的水〕深H =10km ，测定出，在海洋中
不同深度的地方，自由落体加速度在很大程度上仍然不变。

试根据这些数据确定行星上自由落体加速度〔万有引力恒量111067.6-⨯=G N ·m 2/km 2〕
3.如下列图，一根长为L的细刚性轻杆的两端分分别别连结小球a和b，它们的质量分别为
ma和mb，杆可绕距a球为1
4
L处的水平定轴O在竖直平面转动。

初始时杆处于竖直位置，
小球b几乎接触桌面，在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面。

现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当转过角时小球b速度的大小。

设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物体始终没有别离，不计一切摩擦。

4.如下列图，水平地面上固定有一半径为R的半球面，其斜上方P点与球心O之间的距离L =
13 2R，P点距地面的高度H =
5
4
R，重力加速度为g 。

要使某一质点从P点由静止开场沿一
光滑斜直轨道在最短时间滑到球面上，那么此轨道与竖直方向之间的夹角θ为多大？所需的最短时间t为多长？
5.如下列图，两条位于同一竖直平面的水平轨道相距为h，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A在下面的轨道上以匀速率v运动，在轨道间的绳子与过道成30°角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳子相对静止的小水滴P与绳子别离，设绳子长BO远大于滑轮直径，求:(1)小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向.(2)小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间.
6.小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央．桌布的一边与桌的AB边重合，如图
3-7-8所示．盘与桌布间的动摩擦因数为 μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为 μ2．现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB 边．假设圆盘最后未从桌面掉下，那么加速度a 满足的条件是什么？〔以g 表示重力加速度〕
参考答案 一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.BD
5.A
6.A
7.B
8.ABC 二、填空题 1.A mgh
T L + 2.2m gh (3h L)m g -5m gL 3. 15s 4.匀速直线 4m/s 5.
2cos sin sin mg M m θθ
θ
+
三、计算题
1.杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力到达极限的前提下，力的大小还与h 有关，讨论力与h 的关系是关键。

杆的受力如下列图，由平衡条件得 0)(0cos 0
sin =--=--=--fL h L F mg T N f T F θθ
另由上式可知，F 增大时，f 相应也增大，故当f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：N f μ=
解得：tan ()tan /mas mgL F L h h
θ
θμ=
--
由上式又可知，当0()tan /,0.66L h h h L θμ--→∞=即当时对F 就没有限制了。

〔1〕当102
5
h L h =
<，将有关数据代入max F 的表达式得 max 385F N =
〔2〕当204
,5
h L h =
>无论F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。

2.解：如图以R 表示此星球〔包括水层〕的半径，M 表示其质量，h 表示其表层海洋的深度，
r 表示海洋任一点A 到星球中心O 的距离，0R 表示除表层海洋外星球层的半径。

那么有
0R r R ≥≥，且00R h R =+，以水ρ表示水的密度，那么此星球表层海洋中水的总质量为
水ρππ⎪⎭⎫
⎝⎛-=3033434R R m )
33(34322h Rh h R +-水πρ由于h R >>，故①式可略去其中h 的高次项面
是近似写为 h R m 2
4水πρ=②
根据均匀球体外表处重力加速度的公式，可得此星球表层海洋的底面和外表处的重力加速度分别为
2R GM g =表
2
0)(R m M G g -=底 依题述有底表g g =,即
2
202)(h R m M R m M R M --=-= 整理上式可解得 222h Rh m R M -=
由于h R >>，故近似取2Rh-Rh h 22
≈,那么③式可写为
h Rm
M 2= 由④和②式得此星球外表的重力加速度为
22R G R GM
g 水表
ρπ==
以G=22111067.6kg m N ⋅⨯-、33100.1m kg ⨯=水ρ、m R 6
104.6⨯=代入⑤式，得
2
7.2s m g =表
3如下列图，用b v 表示a 转过α角时b 球速度的大小，v 表示此时立方体速度的大小，那么有
v v =αcos b 〔1〕 由于b 与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移一样，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小一样，符号相反，做功的总和为0．因此在整个过程中推力F 所做的功应等于球a 、b 和正立方体机械能的增量．现用a v 表示此时a 球速度的大小，因为a 、b 角速度一样，
l Oa 41=
，l Ob 43=，所以得
b
a v v 31
= 〔2〕
根据功能原理可知
2
2
221cos 434321cos 4421sin 4v v v m l l g m m l l g m m l F b b b a a a +⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅ααα 〔3〕
将〔1〕、〔2〕式代入可得
2
22
)cos (21cos 434321cos 443121sin 4ααααb b b b a b a m l l g m m l l g m m l F v v v +⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅
解得
()()[]α
αα2cos 18182cos 13sin 9m m m g m m F l b a b a b ++--+=
v
4.如下列图，以P 为最高点，作一个半径为r 的竖直平面的辅助圆。

那么 质点在光滑斜直轨道PQ 上的加速度为
2rcos α = 12
a = mgcos α
m = gcos α．〔2分〕
at2．〔2分〕
由以上两式得质点从P 点由静止开场沿PQ 滑到Q 点的时间为 t =
4r
g
〔2分〕即t 与α无关，与
r 成正
比。

作出以P
为圆
的最高点，相切于半球面A 点的辅助圆，如下列图，那么PA 为最短时间的斜直轨道。

设辅
助圆的半径为r ，那么有 cos β = H - r
R + r 〔1分〕
在△OPO ′中，有 L2 = (R + r)2 + r2 - 2(R + r)rcos(180° - β) 〔2分〕
由以上两式得 r = 1
2 R ． 〔1分〕
β = 60° 〔1分〕
所以 θ = 1
2 β = 30° 〔1分〕
t =
2R
g
〔2分〕 5.A 、B 两物体通过同一轻绳相连，故A 、B 两物体的运动速度沿绳方向的分速度一样，并且与P 点沿绳方向的分速度也一样。

1、如下列图，物体B 在上轨道的运动可以看成是沿绳子的运动和垂直绳子的运动〔即绳子绕O 点的转动〕的合成。

B 沿绳子运动的分速度vB ∥=v ，因而垂直于绳子的分速度vB ⊥=vtan θ〔θ=30°〕。

绳子中点小水滴P 的速度也可分解成沿着绳子的分速度和垂直绳子的分速度，即vP ∥=v ，vP ⊥=vtan α。

其中角α是vP 与BO 的夹角。

小水滴P 垂直绳子的分速度可看作绳子绕O 点的转动，
因而vP ⊥= vB ⊥/2= vtan θ/2。

由此可得，63tan 21tan ==θα。

故vP 与水平方向的夹角为30°
63arctan
-，水滴离开绳
子的速度大小为
v B ⊥
1213
4tan 1)2tan (222
2
2//v
v v v v v v P P P =+=+=+=⊥
θθ
〔2〕由α＜30°可知，水滴P 做斜向下抛运动，考虑P 在竖直方向的分运动为初速度
Py v ，
加速度为g 的匀加速直线运动，那么有
4)cos tan 21(sin cos sin 0v
v v v v P Py =
-=-=⊥θθθθθ，因而221412gt vt h +=。

由此方程可解出t 〔取t 为正值的解〕，得
)16(41
2v gh v g t -+=。

6.a ≥μ1＋2μ2
μ2
μ1g。