云南省昆明市第三中学2015届九年级上学期期末考试数学试题解析(附答案)

昆明三中、滇池中学2014—2015年上学期初三年级期末考试
数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的俯视图是( )．
【答案】D
考点：三视图
2.如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，连接OA 、OB ，50OBA ∠=︒，则C ∠为（ ） A 、30︒ B 、40︒ C 、50︒ D 、80︒
【答案】B 【解析】
试题分析：由50OBA ∠=︒，OA=OB ，所以∠AOB=80°，由圆周角与圆心角之间的关系，可得∠C=40°. 考点: 圆周角的性质
3.若︒<<︒900α，则下列说法不正确的是 （ ） A 、 sin α随α的增大而增大； B 、cos α随α的减小而减小； C 、 tan α随α的增大而增大； D 、()sin cos 90αα=︒- 【答案】B
试题分析：若︒
<
<
︒90
0α，sinα、tanα随着α的增大而增大，cosα随着α的增大而减小，故本题选B.
考点: 锐角三角函数的性质
4.反比例函数
3
k
y
x
-
=的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）．
A、k＜3
B、k≤3
C、k＞3
D、k≥3
【答案】A
【解析】
试题分析：当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k-3＜0，解得k＜3，故本题选A.
考点: 反比例函数的性质
5.下列命题中正确的是（）
①三边对应成比例的两个三角形相似；
②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似
A、①③
B、①④
C、①②④
D、①③④
【答案】A
考点: 相似三角形的判定方法
6.如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，若1
DE=，则端点E的坐标为（）
A、（1，1）
B、（1，2）
C、（2，1）
D、（2，2）
【解析】
试题分析：将线段AB 缩小后得到线段DE ， 若1DE =，说明DE 是原来的
1
2
，位似比是1
2
，所以E 的坐标是（2,1），故本题选C. 考点: 位似变换
7.如图，AD 为等边△ABC 边BC 上的高，AB ＝4，AE ＝1，P 为高AD 上任意一点，则EP+BP 的最小值为（ ）。

A 、12
B 、13
C 、14 D
【答案】B 【解析】
试题分析：连接EC ，交AD 于点P ，次数EP+BP 的值最小，过点E 作EF ⊥BC ，则有BD=CD=2，
由勾股定理，可得AD =同时可得EF ∥AD ，△BEF ∽△BAD ，所以EF BE BF
AD AB BD
==，
解得BF=1.5，FD=0.5，
所以EC ==考点: 轴对称：最短路径问题 8.函数2
1y ax =+与函数a
y x
=
()0a ≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A 、 B 、C 、D 、
【答案】D 【解析】
试题分析：函数21y ax =+与y 轴交于正半轴，所以是错误的；抛物线开口向下，a ＜0，反比例函数应过第二、四象限，所以D 选项是正确的，B 选项错误，因此本题选D. 考点: 二次函数的图象
二、填空题（每小题3分，共24分） 9.函数
y =
中，x 的取值范围是 【答案】x ＞2 【解析】
试题分析：由题意，可得x-2＞0，所以x ＞2 考点: 函数自变量的取值范围
10.在ABC ∆中，如果A ∠、B ∠满足，2
1tan 1(sin )02
A B -+-=，则C ∠= ︒；
【答案】105 【解析】
试题分析：由2
1tan 1(sin )02A B -+-=，所以1
tan 1,sin 2
A B ==
，所以∠A=45°，∠B=30°，因此∠C=105°. 考点: 特殊角的三角函数值
11.如图，ABC ∆中，DE ∥BC ，:2:1AD DB =，则A D E ∆与ABC ∆的面积之比为 ；
【答案】4:9 【解析】
试题分析：由DE ∥BC ，:2:1AD DB =，所以AD ：AB=2:3，根据三角形的面积比等于相似比的平方，因此ADE ∆与ABC ∆的面积之比为4:9. 考点: 相似三角形的性质 12.如图，⊙O 的直径10
CD =cm ，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD 于P ，8AB cm =，
则
sin OAP ∠= ；
【答案】
35
【解析】
试题分析：⊙O 的直径为10cm ，AB=8cm ，CD ⊥AB ，所以AP=4cm ，OP=3cm ，sin ∠OAP=
3
5
OP OA =. 考点: 垂径定理；锐角三角函数
13.如图，是二次函数2
y ax bx c =++图像的一部分，其对称轴为直线1x =，若其与x 轴的一个交点为A （3，0），则由图象可知，不等式20ax bx c ++<的解集为 ；
【答案】-1＜x ＜3 【解析】
试题分析：对称轴为直线1x =，若其与x 轴的一个交点为A （3，0），所以与x 轴的交点为（-1,0），不等式20ax bx c ++<的解集为-1＜x ＜3. 考点: 二次函数与一元二次不等式的关系
14.如图，太阳光线与地面成60︒的角，照在地面的一只排球上，排球在地面的投影长是
，则排球的直径是 cm ；
【答案】21 【解析】
试题分析：由题意，可知DE =sin 60212
DC DE cm ︒=⋅==，即排球的直径是21cm.
考点: 投影；锐角三角函数
15.如图，在山顶A 望地面C 、D 两点，测得它们的俯角分别为45︒和30︒，已知100CD =米，则山高AB = 米；
【答案】50) 【解析】
试题分析：结合图形，可知∠ACB=45°，∠D=30°，设AB=x ，AB=BC=x ，在Rt △ABD 中，
tan 30100
AB x
BD x ︒=
=+，解得50)AB m = 考点: 锐角三角函数的应用
16.已知，抛物线c ax ax y +-=42
经过点A )2,0(，顶点B 的纵坐标为3．将直线AB 向
下平移，与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，与抛物线的一个交点为P ，若D 是线段CP 的
中点，则点P 的坐标为________．
【答案】 【解析】
试题分析：抛物线经过点A （0,2），顶点B 的纵坐标为3，所以2
124
y x x =-++，直线AB 的解析式为122y x =
+，设直线PC 的解析式为1
2
y x b =+，由D 是线段PC 的中点，
可得P （2b ，2b ），由2
1224
b x x =-++，解得2x =±，令22b =±
解得22b =，从而可得P 点的坐标为 考点: 二次函数的综合问题 三、解答题（共52分）
17.计算（5分）1
12tan 601(2015)2π-⎛⎫
︒-+-- ⎪⎝⎭
【解析】
试题分析：利用特殊角的三角函数和负指数幂、零指数幂的定义进行化简.
试题解析：原式=1)12+-==考点: 实数的运算
18.（5分） 已知，如图，AB 、DE 是两根直立在地面的立柱，5AB m =，某一时刻AB 在阳光下的投影4BC m =， ⑴请你画出此时刻DE 在阳光下的投影；
⑵在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的高。

【答案】（1）图见解析；（2）7.5m 【解析】
试题分析：利用太阳光线互相平行，作出影子，再利用相似三角形的性质，得到关于影长的比例.
试题解析：（1）DE 在太阳光下的投影，如图所示： （2）由AC ∥DF ，可得△ABC ∽△DEF ，AB DE BC EF =，所以546
DE
=，所以DE=7.5m ， 所以，DE 的高为7.5m 考点: 相似三角形的应用
19.（5分）如图，已知ABC ∆中，点D 在AC 上，且ABD C ∠=∠，求证：2AB AD AC =⋅
【答案】2AB AD AC =⋅ 【解析】
试题分析：先利用相似三角形的判定方法证得△ABD ∽△ACB ，进而利用相似三角形的性质来解答.
试题解析：∵ABD C ∠=∠，∠A=∠A ， ∴△ABD ∽△ACB ， ∴
AB AD
AC AB
=， ∴2AB AD AC =⋅
考点: 相似三角形的判定与性质
20.（6分）你喜欢转盘游戏吗？如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，
（1）请用列表法或树形图分析指针都落在奇数上的概率是多少？
（2）甲、乙两人约定：若转到的数字点数之和为奇数，则甲胜；反之，则乙胜．你认为这个游戏是否公平？说明你的理由．
123
4
534
8
9
【答案】（1）3
10
；(2)游戏公平 【解析】
试题分析：先利用列表法列出所有的可能性结果，再分别求其概率即可. 试题解析：（1）列表如下：
一共有20种结果，指针都落在奇数有6种结果， 所以，指针都落在奇数的概率是
63
2010
=； （2）若转到的数字点数之和为奇数有10种结果，所以P （甲胜）=12 ，P （乙胜）=12
∴P （甲胜）=P （乙胜）， 所以，游戏公平 考点: 列表法求概率
21.（5分）如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥，6AB =
，AC =30A ∠=︒ ⑴求AD 和BC ； ⑵求C ∠sin
【答案】（1
）（2
）
7
【解析】
试题分析：在Rt △ABD 中，由正弦、余弦的定义先求得BD 、AD 的值，进而得到CD 的值，再利用勾股定理求得BC 的值以及sin ∠C 的值.
试题解析：（1）在Rt △ABD 中，sin 303BD AB =⋅︒=
c o s 303A D A B =⋅︒，CD AC AD =-=
所以，
（2）在Rt △BCD 中， 考点: 解直角三角形
22.（5分）如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，且OD ∥BC ，OD 交AC 于点E 。

（1）若70B ∠=︒，求CAD ∠的度数； （2）若4AB =，3AC =，求DE 的长。

【答案】（1）35°；（2）2-【解析】
试题分析：先利用圆周角的性质和平行线的性质求出∠CAB 的度数，再利用等边对等角求得∠DAO 的度数，进而得到∠CAD 的度数；先利用勾股定理求得BC 的长，进而得到OE 的长，最后求出DE 的长. 试题解析：（1）AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∵OD ∥BC ， ∴∠AEO=90°，
∠CAB=90°-70°=20°，∠AOD=∠B=70°， ∵OA=OD ，
∴∠DAO=∠ADO=（180°-70°）÷2=55°，
∴∠CAD=∠DAO-∠CAB=55°-20°=35°.
（2）在Rt △ABC 中， ∵OE ⊥AC ，
∴AE=EC ，
∵OA=OB ，
∴BE=12BC =， 又∵OD=
122AB =，
∴DE=OD-OE=2-考点:圆周角的性质；垂径定理
23.（6分）已知，如图，反比例函数k y x
=的图像与一次函数y ax b =+的图像相交于点A ()1,4、B ()4,n -，（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求AOB ∆的面积；
（3）直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．
【答案】（1）反比例函数为：4y x =
一次函数为：3y x =+
（2）157.52
AOB S ∆== （3）4x <-或01x <<
【解析】
试题分析：先利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，结合两个函数的交点，求出△AOB 的面积和有关的不等式的解集.
试题解析：（1）把A 点坐标（1,4）代入反比例函数k y x =，得k=4，所以反比例函数为4y x
=，
把B （-4，n ）代入4y x
=，得n=-1. 把A （1,4）、B （-4，-1）代入y ax b =+，
得441
a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得a=1，b=3，
所以一次函数为3y x =+.
（2）一次函数3y x =+与y 轴的交点坐标为（0,3），
1131347.522
AOB S ∆=⨯⨯+⨯⨯= （3）结合图象，使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是4x <-或01x << 考点: 一次函数与反比例函数的交点问题
24.（7分）如图，四边形DEFG 是ABC ∆的内接矩形，如果ABC ∆的高线AH 长8cm ，底边BC 长10cm ，设DG x =cm ，DE y =cm ，（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时， 四边形DEFG 的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）485
y x =-
；（2）当x=5时，四边形DEFG 的面积最大，最大值是20. 【解析】
试题分析：先利用相似三角形的判定方法证明△ADG ∽△ABC ，进而利用相似三角形的对应线段成比例得到y 关于x 的函数关系式，进而求出最大面积.
试题解析：（1）设AH 与DG 交于点M ，则AM=AH-MH=8-y ，
∵DG ∥BC ，
∴△ADG ∽△ABC ， ∴
AM DG AH BC =，即8810
y x -=， 解得485y x =-； （2）设四边形DEFG 的面积为S ，
，
DEFG 面积最大，20=S
考点: 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值问题
25.（8分）如图,抛物线22y ax x c =++经过点A （0，3）、B （-1，0），请解答下列问题： ⑴求抛物线的解析式；
⑵抛物线的顶点为D ，与x 轴的另一交点为C ，对称轴交x 轴于点E ，连接BD ，求c o s DBE ∠
【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =-++
(2)cos DBE ∠=
【解析】 试题分析：先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用勾股定理求得BD 的长，进而利用余弦的定义求得cos ∠DBE 的值.
试题解析：（1）把点点A （0，3）、B （-1，0）代入2
2y ax x c =++，得 320
c a c =⎧⎨-+=⎩，解得a=-1，c=3，
抛物线的解析式为223y x x =-++
⑵顶点D 坐标为（1，4）
2,4B E E D == BD ===
cos
BE DBE BD ∠=== 考点: 二次函数的综合问题。