初中数学数学二次根式的专项培优练习题(含答案

一、选择题
1．如果0,0a b <<，且6a b -=，则22a b -的值是（ ）
A ．6
B ．6-
C ．6或6-
D ．无法确定
2．下列计算正确的为（ ）． A ．2(5)5-=- B ．257+=
C ．
64
32
+=+
D ．
36
2=
3．下列计算结果正确的是（ ） A ．2+5=7 B ．3223-= C ．2510⨯=
D ．
2
5105
= 4．下列计算正确的是（ ） A ．2510⨯= B ．623÷= C ．12315+= D ．241-= 5．若实数a ，b 满足+
=3，
﹣
=3k ，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤k ≤2
B ．﹣3≤k ≤3
C ．﹣1≤k ≤1
D ．k ≥﹣1
6．下列计算正确的是（ ） A 366=± B ．422222=C ．83266= D a b ab =
（a≥0，b≥0）
7．1x -x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1
B ．x >1
C ．x ≤1
D ．x <1
8．下列计算正确的是（ ） A ．333=1
B 23=5
C ．1
2
=22
D ．322=52+9．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ） A 1a +1a -B 3和
13
C 2a b 2ab
D 31810．如果实数x ，y 23x y xy y =-(),x y 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第一象限或坐标轴上
D ．第二象限或坐标
轴上
二、填空题
11．若m 20161
-m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．
12．化简并计算：
(
)(
)(
)(
)(
)
(
)(
)
1
1
1
1
...1
1
2
2
3
19
20
x
x x x x x x x +
+
++
=+++++++_____
___．（结果中分母不含根式）
13．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简
()
2
22144a a ab b +--+=_____________；
（2）已知正整数p ，q 满足32016p q +=，则整数对()p q ，
的个数是_______________；
（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 14．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则
2b c +=________．
15．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2
2b a b +
-﹣|a +b |的结果是
_____．
16．把1
m m
-
根号外的因式移到根号内，得_____________. 17．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0化简43
2
52a c b
=___________ 18．已知4a
，化简：2(3)|2|a a +--=_____．
19．若实数23
a =
-，则代数式244a a -+的值为___. 20．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()
2
22a b a b -+
-＝_____．
三、解答题
21．若x ，y 为实数，且y 14x -41x -1
2
．求x y y x ++2－x
y y x +-2的值． 2 【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0，解得x =1
4
，此时y =
1
2
．即可代入求解．
【详解】
解：要使y 有意义，必须140410x x -≥⎧⎨-≤⎩，即1
4
14
x x ⎧≤⎪⎪
⎨
⎪≥
⎪⎩
∴ x ＝14．当x ＝14时，y ＝12． 又∵
x y y x ++2－x y
y x +-2
＝
－
| ∵x ＝
14，y ＝1
2，∴ x y ＜y x
．
∴
+
当x ＝14
，y ＝1
2时，原式＝
．
【点睛】
（a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
22．计算
(1)2213113
a a a a a a +--+-
+-; (2)已知a 、b
+b ＝0.求a 、b 的值 (3)已知abc ＝1，求111
a b c
ab a bc b ac c ++++++++的值
【答案】（1）2
22
23
a a a ----；（2）a =－3，b
；（3）1. 【分析】
（1）先将式子进行变形得到
()()1131
13
a a a a a a +--+-
+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛
⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝
⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可； （2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b
=0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：
11
b ab ab
bc b abc ab a ab a ==++++++，
21
11c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可.
【详解】
解：（1）原式=()()1131
13
a a a a a a +--+-
+- =1113a a a a ⎛
⎫⎛⎫
--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭
=1113
a a --+- =()()
()()
3113a a a a -++-+-
=2
22
23
a a a --
--；
（20b =，
∴2a +6=0，b =0，
∴a =－3，b ； （3）∵abc ＝1， ∴
11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，21
11
c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，
∴原式=1
111
a a
b ab a ab a ab a ++++++++
=
1
1a ab ab a ++++
=1.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.
23．小明在解决问题：已知
2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵
=2
∴a ﹣2=
∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3 ∴a 2﹣4a=﹣1
∴2a 2﹣8a+1=2（a 2﹣4a ）+1=2×（﹣1）+1=﹣1 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1
（2）若
，求4a2﹣8a+1的值．
【答案】（1）9；（2）5．
【解析】
试题分析：
（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得
1
===.
(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2
(1)
a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.
解：（1）原式=1)++
+⋯
（2）∵1
a===，
解法一：∵22
(1)11)2
a-=-=，
∴2212
a a
-+=，即221
a a
-=
∴原式=2
4(2)14115
a a
-+=⨯+=
解法二∴原式=2
4(211)1
a a
-+-+
2
4(1)3
a
=--
2
11)3
=--
4235
=⨯-=
点睛：（1
得22
=-=-
a b，去掉根号，实现分母有理化.
（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.
24．先化简再求值：4
y x
⎛
-
⎝
，其中30
x-=．
【答案】(2x-
【分析】
先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x，y的
值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】
解：4y x ⎛- ⎝ ((
=-
(
2x =-
∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时
原式(23=-==【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．
25．计算：
（1）0
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）(4 【答案】（1）-5;（2）9 【分析】
（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】
（1）0
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
41=--， 5=-；
（2）(4
167=-
9=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
26．观察下列各式：
111
11
122
=+-=
111
11
236=+-=
111
11
3412
=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；
（3
【答案】（1）1120；（21
1(1)
n n =++；（3）1156，过程见解析
【分析】
（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】
解：（1111
114520
=+-=； 故答案为：1120
；
（2111111(1)
n n n n =+-=+++；
1
1(1)
n n =++；
（31156
== 【点睛】
此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．
27．（1）计算
)
(2
2
01113-⎛⎫
--•- ⎪⎝⎭
（2）已知,,a b c 为实数且2c =2c ab
-的值
【答案】（1）13；（2
）12-【分析】
（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可； （2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可． 【详解】 （1
）
)
(2
2
01113-⎛⎫
--•- ⎪⎝⎭
31=+⨯
=4+9
=13；
（2）根据二次根式有意义的条件可得：
∵()2303010a a b ⎧-≥⎪⎪
-≥⎨⎪-+≥⎪⎩
， ∴3a =，1b =-，
∴2c =
∴((
)2
2
23112c ab -=-⨯-=-
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
28．计算：（1）(
)2
21
31)()
2
---+
（2
【答案】（1）12；（2
） 【分析】
（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】
（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12
（2）
【点睛】
本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
=-a-(-b)=b-a=-6.故选B 2．D
解析：D 【分析】
根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可． 【详解】
A 5=，故A 选项错误；
B B 选项错误；
C ．
++=
2
2
2
，故C 选项错误；
D 2
=
，正确， 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
3．C
解析：C 【分析】
根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可． 【详解】
A 不能合并，故A 选项错误；
B ．-=B 选项错误；
C =
D
5==，故D 选项错误， 故选C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
4．A
解析：A 【分析】
分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案． 【详解】 解：A.252510⨯=⨯=，计算正确；
B. 62623÷=
÷=，原式计算错误；
C. 12323333+=+=，原式计算错误；
D. 24220-=-=，原式计算错误； 故应选：A 【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．
5．C
解析：C 【解析】
依据二次根式有意义的条件即可求得k 的范围． 解：若实数a ，b 满足+
=3，又有≥0，
≥0，
故有0≤≤3 ①，0≤
≤3，则
﹣3≤-≤0 ②
+②可得﹣3≤﹣
≤3，又有
﹣
=3k ，
即﹣3≤3k ≤3，化简可得﹣1≤k ≤1．
故选C ．
点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即
≥0（a ≥0），利用其非负性即可得到0≤
≤3，0≤
≤3，并对0≤
≤3变形
得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k 的不等式组，求出k 的取值范围.
6．D
解析：D
366=，故A 不正确； 根据二次根式的除法，可直接得到42222=，故B 不正确； 根据同类二次根式的性质，可知C 不正确； ·a b ab = （a≥0，b≥0）可知D 正确.
故选：D
7．A
解析：A 【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数x -1≥0，解不等式即可． 【详解】 解：根据题意，得
x-1≥0，
解得x≥1．
故选A．
【点睛】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
8．C
解析：C
【解析】
分析：根据二次根式的四则混合运算法则，二次根式的性质与化简逐项进行分析解答即可．
详解：A．=，故本选项错误；
B．不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误；
C．正确；
D．不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误．
故选C．
点睛：本题主要考查二次根式的化简，二次根式的四则运算法则，解题的关键是正确根据相关法则逐项进行分析解答．
9．B
解析：B
【分析】
先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．
【详解】
解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;
B
C
D
故选B．
【点睛】
本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．10．D
解析：D
【分析】
先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴．
【详解】
=-
∴x、y异号，且y>0，
∴x<0，或者x、y中有一个为0或均为0．
∴那么点(),x y在第二象限或坐标轴上．
故选：D．
【点睛】
根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a、b的取值范围，从而确定点的坐标位置．
二、填空题
11．4030
【分析】
利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可. 【详解】
m== m==+1，
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m﹣1）﹣2017m+2015
解析：4030
【分析】
利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.
【详解】
m，
m
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m﹣1）﹣2017m+2015
= ）22017）+2015
=（2017+2015
﹣2
=4030.
故答案为4030.
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.
12．【分析】
根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．
【详解】
解：原式=
=．
故答案为．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观
【分析】
-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．
【详解】
解：原式=
==
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．
13．（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.
【解析】
（1）∵-1<a<0,b>1,
∴
＝|a+1|-|a-2b|
=1+a-2b+a
=2a-2b+1.
(2)∵，
∴，p=20
解析：（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.
【解析】
（1）∵-1<a<0,b>1,
＝|a+1|-|a-2b|
=1+a-2b+a
=2a-2b+1.
(2)=
∴20163p q =-，p=2016-62016+9q,
∴p=14x 3
(其中x 为正整数)， 同理可得：q=14y 2（其中y 为正整数）,
则x+3y=12(x 、y 为正整数)
∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩
, ∴整数对有（p,q ）=(14⨯81,141⨯),或（1436,144)⨯⨯ ,或（149,149⨯⨯）。

∴满足条件的整数对有3对.
(3)①当交点在三角形内部时（如图1），
在四边形AFOE 中，∠AFC=∠AEB=90°，∠A=50°，
根据四边形内角和等于360°得，
∠EOF=180°-∠A=180°-50°=130°，
故∠BOC=130°；
②当交点在三角形外部时（如图2），
在△AFC 中，∠A=50°，∠AFC=90°，
故∠1=180°-90°-50°=40°，
∵∠1=∠2，
∴在△CEO 中，∠2=40°，∠CEO=90°，
∴∠EOF=180°-90°-40°=70°，
即∠BOC=50°，
综上所述：∠BOC 的度数是130°或50°．
故答案是：(1). 2a －2b ＋1 (2). 3 (3). 130°或50°．
14．21
【分析】
结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．
【详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的
解析：21
【分析】
结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．
【详解】
∵10a b c ++=
∴100a b c ---=
∴222
1490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∴2221)2)3)0++=
∴123
=== ∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩
∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴2251121b c +=⨯+=．
【点睛】
本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
15．3b
【分析】
先判断a，b的取值范围，并分别判断a-b，a+b的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．
【详解】
解：由数轴可知：b＞0，a﹣b＜0，a+b＜0，
∴原式＝|
解析：3b
【分析】
先判断a，b的取值范围，并分别判断a-b，a+b的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．
【详解】
解：由数轴可知：b＞0，a﹣b＜0，a+b＜0，
∴原式＝|b|+|a﹣b|﹣|a+b|
＝b﹣（a﹣b）+（a+b）
＝b﹣a+b+a+b
＝3b，
故答案为：3b
【点睛】
和绝对值的性质是解题的关
a
键．
16．-
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，可得答案
【详解】
由题意可得：，即
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定
解析：
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，可得答案
【详解】 由题意可得：10m
，即0m ∴11m m m m m m
m
故答案为【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m 的取值范围.
17．【解析】
根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b ＞0时，
=；
当b ＜0时，=.
故答案为：.
解析：220202a b b a b b 当时当时⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩
【解析】
根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b ＞
= 当b ＜
= 故答案为：2002b a b b ⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩
当时当时. 18．-5
【分析】
根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.
【详解】
∵,
∴a+3<0,2-a>0,
∴-a-3-2+a=-5，
故答案为：-5.
【点睛】
此
解析：-5
【分析】
根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.
【详解】
∵4a ,
∴a+3<0,2-a>0,
|2|a -=-a-3-2+a=-5，
故答案为：-5.
【点睛】
此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.
19．3
【解析】
∵ =，
∴=（a-2）2==3，
故答案为3.
解析：3
【解析】
∵
a =
∴244a a -+=（a-2）2=()2
22+=3， 故答案为3.
20．﹣2a
【分析】
首先根据实数a 、b 在数轴上的位置确定a 、b 的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．
【详解】
依题意得：
a ＜0＜
b ，|a|＜|b|，
∴=-a-b+b-a=-
解析：﹣2a
【分析】
首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．
【详解】
依题意得：
a＜0＜b，|a|＜|b|，
．
故答案为-2a．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无。