第36讲 极坐标与参数方程-教案

一.自我诊断 知己知彼
1. 若圆M 的方程为，则圆M 的参数方程为 ．
【答案】
【解析】由圆M 的方程2
2
4x y +=,可知圆心()0,0,半径为 2.所以圆M 的参数方程为:
. .2．已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,
31,
x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．
【答案】2
【解析】由于圆M 的标准方程为：2
2
(1)(2)4x y -+-=，所以圆心(1,2)M ， 又因为直线43,
31,
x t y t =+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）消去参数t 得普通方程为3450x y --=，
42
2
=+y x )(sin 2cos 2为参数αα
α
⎩⎨
⎧==y x )(sin 2cos 2为参数αα
α
⎩⎨
⎧==y x
由点到直线的距离公式得所求距离2d ==；
故答案为：2．
3在极坐标系中，点（2，6
π
）到直线θρsin ＝2的距离等于________． 【答案】1
【解析】在极坐标系中，点（2，
6
π
1），直线θρsin ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1． 4设曲线的参数方程为（是参数，），直线的极坐标方程为
，若曲线与直线只有一个公共点，则实数的值是 ．
【答案】7
【解析】曲线的普通方程为()()2
2
116x a y -+-=，直线的普通方程3450x y +-=，直线l 与圆C
相切，则圆心(),1a 到l 的距离345
475
a d d +-=
=⇒= 5．直角坐标系xOy 中，圆C
的参数方程是cos ,
(1sin ,
x y θθθ⎧=⎪⎨
=+⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立坐标系，则圆心C 的极坐标是 ． 【答案】)6
,
2(π
【解析】由圆C
的参数方程是cos ,
(1sin ,x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）得⎩
⎨⎧-=-=1s in 3c os y x θθ可得圆的标准方程为
1)1()3(22=-+-y x ，圆心坐标为)1,3(，离圆心的距离3
3
tan ,21)3(22=
=+=θρ，由题意6
π
θ=
，则圆心C 的极坐标是)6
,
2(π
．
二.温故知新 夯实基础
1．平面直角坐标系
C 4cos 14sin x a y θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩θ0>a l 3cos 4sin 5ρθρθ+=C l a C l
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎪⎩⎪⎨⎧==0
>,0
>,'
'λμλλy y x x 的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或⎪⎩
⎪
⎨⎧≠=+=0
,tan 2
22x x y
y x θρ，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程
4.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数
的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧==)
()
(t g y t f x 就是曲线的参数方程．
5．常见曲线的参数方程和普通方程
三.典例剖析 举一反三
考点一 坐标系
（一）典例剖析
例1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,22x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），又以O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
cos 24sin 30ρθρθ+-=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 方程相交于A ，B 两点，求||AB ．
【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为2
2
(2)1y x --=；（2
）||AB = 【解析】（1）曲线C 的极坐标方程2
cos 24sin 30ρθρθ+-=， 化为2
2
22cos
sin 4sin 30ρθρθρθ-+-=，即22430x y y -+-=．
∴曲线C 的直角坐标方程为2
2
(2)1y x --=．
（2）将直线l
的参数方程12,22x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 方程得24100t t +-=，设A ，B 对应
的参数分别为1t ，2t ，则124t t +=-，1210t t =-
，所以12||||AB t t =-= 【方法点拨】（1）由极坐标与直角坐标相互转化公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩，可求出曲线C 的直角坐标方程；（2）
将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程并整理可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t ，运用直线的参数方程的几何意义可知，12||||AB t t =-，代入即可得出所求的结果． （二）举一反三
1. 已知圆C 的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为，则直线与圆C
的交点的直角坐标为 ． 【答案】)1,1(±
【解析】圆C 的普通方程为()2
211x y +-=，直线的普通方程为1y =，所以交点为)1,1(± 2. 将曲线
22
132x y +=按ϕ：
变换后的曲线的参数方程为（ ） A. B. C.
D.
【答案】D
cos ,
(1sin .
x y ααα=⎧⎨
=+⎩l sin 1ρθ=l l
【解析】由变换ϕ：
可得：
,代入曲线22
132x y +=可得： ()
()2
2
3213
2
x y ''+
=，
即为： 22321,x y +=令
(θ为参数)即可得出参数方程.故选：D. 3.【2017北京卷理11】在极坐标系中，点A 在圆04sin 4-cos 2-2
=+θρθρρ上，点P 的坐标为（1，0），则|AP |的最小值为 . 【答案】1
【解析】将极坐标方程转化成标准方程：
()();12122=-+-y x 所以AP 的最小值为1.
4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,
,42A B ππ⎛
⎫⎫ ⎪⎪⎝
⎭⎭
，直线l 的方程为sin 34
ρθπ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
．
（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．
【答案】（1；（2）2．
【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，
4π），B ，2
π
），
由余弦定理，得AB = （2）因为直线l 的方程为sin()34
ρθπ+=，
则直线l 过点)2π，倾斜角为
34
π．
又)2
B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(
)242
ππ
⨯-=． 考点二 参数方程
（一）典例剖析
例1已知曲线C 的极坐标方程式2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建
立平面直角坐标系，直线L
的参数方程是12
x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；
（2）设点(,0)P m ，若直线L 与曲线C 交于两点,A B ，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值．
【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22
2x y x +=，直线L
的普通方程为x m =+；（2
）
1m =± 【解析】（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为2
2cos ρρθ=，可得直角坐标方程：2
2
2x y x +=．
直线L
的参数方程是212
x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），消去参数t
可得x m +． （2）把212
x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入方程：222x y x +=，
化为：2220t t m m ++-=， 由0∆>，解得13m -<<．∴2
122t t m m =-．∵12||||1PA PB t t ⋅==，∴221m m -=，
解得1m =±0∆>
．∴实数1m =±
【方法点拨】（1）利用y x y x ==+=θρθρρsin ,cos ,2
22，即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数t 即可将直线的参数方程化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得到一个含t 且关于x
的一元二次方程2
2
20t t m m ++-=，然后利用参数t 的几何意义知，
12||||1PA PB t t ⋅==22m m =-，并由t 的范围（利用判别式大于零求范围）求出值域即可．
例2. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的
极坐标方程是4cos (0)2πρθθ=≤≤，直线l 的参数方程是3cos 6
()sin 6x t t y t ππ
⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
为参数． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程； （2）求曲线C 上的动点M 到直线l 的距离的范围．
【答案】（1
）30x +=，22cos 2sin x y αα
=+⎧⎨=⎩（α为参数，0απ≤≤）；（2）17,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．
【解析】（1
）直线:3l x +=
，即：30x -+=
由2
4cos ρρθ=得：2
2
4x y x +=，即：2
2
(2)4x y -+=
0,sin 02y π
θρθ≤≤
∴=≥.故C 的参数方程为：22cos (0)2sin x y α
απα
=+⎧≤≤⎨
=⎩ （2）设点(2
2cos ,2sin )M αα+到直线30x +=的距离为d
d =
=
54sin()
16
54sin()(0)226π
απααπ--⎛⎫==--≤≤ ⎪⎝⎭
51sin()166626
ππ
ππ
αα-
≤-
≤
-≤-≤时,
min max 117
sin()1,,sin(),62622d d ππαα∴-==-=-=时时
点M 到直线l 的距离的范围是17,22
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【方法点拨】（1）消去t 可得直线l 的直角坐标方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线C 的极坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程，进而引入参数α可得曲线C 的参数方程；（2）先计算点M 到直线l 的距离，再利用三角函数的性质可得点M 到直线l 的距离的范围． （二）举一反三 1. 若
P 为椭圆上的点，则的取值范围是 ．
【答案】[]2,2- 【解析】依题意可得sin m n θθ⎧=⎪⎨
=⎪⎩, 1sin 2cos sin 2sin 223m n πθθθθθ⎛⎫⎛
⎫∴+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, R θ∈, []sin 1,13
πθ⎛
⎫
∴+∈- ⎪⎝
⎭
, []2sin 2,23πθ⎛⎫
∴+∈- ⎪⎝
⎭
.即[]2,2m n +∈-
),(n m n m +
2. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程是5222=+y x ，2C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-==t
y t x 3（t 为参数），则1
C 与2C 交点的直角坐标是 ． 【答案】
)1 , 3(-
【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-==t
y t x 3消去参数t ，得2C
的普通方程为(0)y x x =≥，代入1C 方程5222=+y x 整理得：23x =
，解得x =1y =-
，因此交点为1)-.
3. 参数方程sin cos 2x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）化为普通方程为 ．
【答案】2
12y x =-，[1,1]x ∈-
【解析】由2cos 212sin θθ=-得212y x =-，又sin [1,1]θ∈-，所以[1,1]x ∈-，因此普通方程为
212y x =-，[1,1]x ∈-
4.（2019天津理12）设a ∈R ，直线20ax y -+=和圆22cos ,
12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）相切，则a 的值
为 . 【答案】
3
4
【解析】消去参数在，整理圆的方程2
2(2)(1)4x y -+-=；带入点到直线的距离公式，
考点三 综合问题
（一）典例剖析
例1在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 为参数，
0απ≤<），曲线C 的参数方
程为 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）设C 与l 交于,M N 两点（异于原点），求OM ON +的最大值. 【答案】（1）曲线C 的极坐标方程为2
4sin ρρθ=；（2
）
【解析】（1）曲线C 的普通方程为()2
224x y +-=，
化简得2
2
4x y y +=，则24sin ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为2
4sin ρρθ=. （2）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点()0,2，也就是圆C 的圆心，则2
MON π
∠=，
不妨设()12,,,2M
N πρθρθ⎛⎫+
⎪⎝
⎭，其中0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
则()1244424OM ON sin sin sin cos ππρρθθθθθ⎛
⎫
⎛
⎫+=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，
所以当4
π
θ=
， OM ON +取得最大值为【方法点拨】(1)由题意可得曲线C 的普通方程为()2
224x y +-=，将其转化为极坐标方程即2
4sin ρρθ=.
(2)由参数方程可知直线l 过圆C 的圆心，则2
MON π
∠=
，设()12,,,2M
N πρθρθ⎛⎫+
⎪⎝
⎭，其中0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
则4OM ON πθ⎛
⎫
+=+
⎪⎝
⎭
，由三角函数的性质可得OM ON +取得最大值为.
例2. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4
B π，)4
C 3π
，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π
，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．
（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =
P 的极坐标．
【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫
=≤≤
⎪⎝
⎭
，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤
⎪⎝⎭，3
M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭
．
（2
）π6⎫⎪⎭
或π3⎫⎪⎭
或2π3⎫⎪⎭
或5π6⎫
⎪⎭
．
【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，
2cos ρθ=-．
所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛
⎫=≤≤
⎪⎝
⎭，2M 的极坐标方程为π
3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭
，3
M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫
=-≤≤
⎪⎝⎭
． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知
若π04θ≤≤
，则2cos θ=，解得π
6
θ=； 若π3π44θ≤≤
，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤
，则2cos θ-=5π6
θ=． 综上，P
的极坐标为π6⎫⎪⎭ 或
π3⎫⎪⎭
或2π3⎫⎪⎭
或5π6⎫⎪⎭
． 【方法点拨】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大
例 3. 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为 ，（ α为参数），以原点O 为极点， x 轴
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值.
【答案】（1）2
213
x y +=， 80x y +-=（2
）【解析】（1）由曲线1C ：
得
{ cos y sin α
α
==
即：曲线1C 的普通方程为： 2
213
x y +=
由曲线2C ：
sin 4πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
(
)sin cos ρθθ+=即:曲线2C 的直角坐标方程为： 80x y +-=
（2）由（1）知椭圆1C 与直线2C
无公共点，椭圆上的点)
,sin P
αα到直线80x y +-=的距离为
d =
=
所以当sin 13πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
时， d
的最小值为【方法点拨】（1）对于1C ，利用2
2
cos sin 1αα+=，化简得2
213
x y +=，对于2C ，展开后利用极坐标与直角坐标转化公式，化简的80x y +-=.（2）直接利用点到直线距离公式，求出距离，并用辅助角公式化简，利用三角函数最值求得距离的最小值. （二）举一反三
例 1. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是
（t 是参数），以原点O 为极点，
x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为ρθ=．
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 【答案】（1）260x y -+=，
(2
22x y +=（2
）2⎡-+⎣
【解析】（1）由{
26
x t y t ==+，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，
由ρθ=
，得2
cos ρθ=
，所以2
2
x y +=
，即(2
22x y +=，
故曲线C
的普通方程为(2
22x y -+=；
（2
）据题意设点)
M
θθ
，则2sin 4x y πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，
所以x y +
的取值范围是2⎡-⎣．
例2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
(α为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)过原点O 的直线12,l l 分别与曲线C 交于除原点外的,A B 两点，若3
AOB π
=，求
AOB 的面积的最大
值.
【答案】(1)
4sin 3πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；(2) .
【解析】 (1)曲线C 的普通方程为(()2
2
14x y -+-=，即2220x y y +--=，
所以，曲线C 的极坐标方程为2
cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
. (2)不妨设()1,A ρθ， 2,3B πρθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭，
,33ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.
则14sin 3πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭，
224sin 3
πρθ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
，
AOB 的面积12112sin
sin sin 2
32333S OA OB ππππρρθθθ⎛⎫⎛
⎫=⋅==++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
所以，当0θ
=时， AOB 的面积取最大值为例3. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是 （α为参数），以该直角坐标系的原点O
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l sin cos 0m θρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值.
【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2
212x y -+=，直线l 的直角坐标方程为)3
y x m =
-；
（2）
1m =±0m =或2m =.
【解析】（1）
()2212x y ⇒-+=
故曲线C 的普通方程为()2
212x y -+=.
直线l
)3
x m y x m -+⇒=
-. （2）直线l
的参数方程可以写为,
{
12
x m y t =+
=
（t 为参数）.
设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2
212x y -+=
可以得到
2
221122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
)()21120m t m -+--=， 所以()2
12121PA PB t t m ==--= 2211m m ⇒--= 2220m m ⇒-==或220m m -=，
解得1m =±0m =或2m =.
四.分层训练 能力进阶
【基础】
1. 曲线⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 4cos 5y x （θ为参数）的焦距是 ．
【答案】6
【解析】消参后化为：1452
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ，整理为1162522=+y x ，所以焦距6162522=-=c ． 2. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩
⎨⎧=-=t y t
x 431（t 为参数）
【答案】⑴116
2522=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆.
⑵0434=-+y x ，它表示过（0，
4
3
）和(1, 0)的一条直线. 【解析】本题主要是考查参数方程化为普通方程，（1）对两个式子中右边的系数挪到左边，利用三角函数的平方关系式消去ϕ整理即得到；（2）可以代入消元或加减消元消去t 得普通方程.
解：⑴．∵⎩
⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 4
cos 5y x
两边平方相加，得ϕϕ2
222s i n c o s 1625+=+y x 即
116
252
2=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆. ⑵．∵⎩⎨
⎧=-=t
y t x 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431y
x ⋅-=∴0434=-+y x
∴它表示过（0，
4
3
）和(1, 0)的一条直线. 3.【2019北京卷理3】已知直线l 的参数方程为)(4231为参数t t
y t x ⎩⎨⎧+=+=，则点()0,1到直线l 的距离是
A ．
5
1 B ．
5
2 C ．
5
4 D ．
5
6 【答案】D
【解析】直线l 的参数方程为)(4231为参数t t
y t
x ⎩⎨
⎧+=+=，
消参数得,3
2
34+=x y 即0234=+-y x ，
则点()0,1到直线l 的距离是5
6
432
0422=++-=
d ，故选D
4. 已知直线l 的方程为2)4sin(=+
π
θρ，曲线C 的方程为()为参数θθ
θ
⎩⎨
⎧==sin cos y x ． （1）把直线l 和曲线C 的方程分别化为直角坐标方程和普通方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值． 【答案】（1）2=+y x ，12
2
=+y x ；（2）12+=
l ．
【解析】（1）222cos 22sin =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅+⋅θθρ，根据⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，代入得：2=+y x 根据1cos sin 2
2=+θθ，消参后的方程是：12
2=+y x ．
（2）直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最大距离是圆心到直线的距离加半径，即22
2==
d ，那
么最大距离就是12+=l
5. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为χ轴的正半轴，建立平 面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+==t
m x t y 222
2（t 是参数）．
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |=14，试求实数m 的值． 【答案】（Ⅰ）2
2
40x y x +-=，y x m =-；（Ⅱ）1或3．
【解析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ化为直角坐标方程为：042
2
=-+x y x 直线l 的直角坐标方程为：m x y -=（5分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R =2，
圆心到直线l 的距离22)214(22
2
=-=d ，∴ 12222
02=-⇒=--m m ∴ 31==m m 或
解法二：把22
x t m
y t ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 是参数）代人方程2x 042=-+x y
得222)40t m t m m -+-=
∵ m m t t m t t 42(22
2121-=--=+），∴ 21221214)(t t t t t t AB -+=-= ∴ [
]
14)442(222
=---=m m m （）∴ 31==m m 或
【巩固】
1.【2018北京卷理7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线x -my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】点P 的轨迹为x ²+y ²=1，则点P 到直线的距离可转化为圆上任意一点到直线的距离。

易知该直线经过定点（2,0），如图所示位置为d 取最大值的情况，此时d =2+1=3.
2.【2018天津卷12】)已知圆22
20x y x +-=的圆心为C ，
直线1,2
32
⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 【答案】
2
1 【解析】圆的方程()112
2=+-y x ，直线2+-=x y ，根据点到直线得距离公式2
2
=
d ，2=AB ,21=
∆ABC S
3.【2018天津卷11】在极坐标系中，直线4ρcos (θ-6
π
)+1=0与圆ρ= 2sinθ的公共点的个数为 。

【答案】：2
【解析】将直线极坐标4cos()106
π
ρθ-+=
化为直坐标方程210y ++=，将圆2sin ρθ=化为直
坐标方程2
2(1)1x
y +-=
，圆心到直线的距离为：3
14
d =
=
<，直线和圆相交，所以公共点的个数为2
4.【2019全国2卷理22】在极坐标系中，O 为极点，点M ),(00θρ（00>ρ）在曲线C ：θρsin 4=上，
直线l 过点A )0,4(且与OM 垂直，垂足为P .
（1）当3
0π
θ=
时，求0ρ及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.
【答案】：（1）320
=ρ；2)3
cos(=-πθρ；
（2）])2,
4[(cos 4π
πθθρ∈=；
【解析】：（1）解：当3
0π
θ=
时，则323
sin
40==π
ρ；此时直线l 倾斜
角为6
5π，即斜率为3365tan -==πk ；又直线过点)0,4(，所以直线的直角坐标方程为
)4(33--=x y ，即043=-+
y x ，所以极坐标方程为04sin 3cos =-+θρθρ，得2)3
cos(=-πθρ；
（2）由题意，PA PO ⊥，即点P 在以OA 为直径的圆上；所以点P 的轨迹方程为4)
2(22
=+-y x ，
得x y x
422
=+，即 ；由于点P 在线段OM 上，所以点P 在圆内，可以求得
];2
,4[π
πθ∈
5.【2018全国2卷理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 （ 为参数），直线l 的参
数方程为 (t 为参数)
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1,2），求l 的斜率。

【答案】（1）22
:
1164+=y x C ，当2πα=时l ：1x =，2
πα≠时l ：tan (1)2y x α=-+（2）2- 【解析】
（1）22
:
1164+=y x C ，当2πα=时l ：1x =，2
πα≠时l ：tan (1)2y x α=-+ （2）由题意可知直线不与x 轴垂直，2
π
α∴≠
，将直线l 与曲线C 联立可得
22(13cos )(8cos 4sin )80x t ααα+++-=
1228cos 4sin 13cos t t αα
α
+∴+=
+，
根据点(1,2)是弦中点，又122
8cos 4sin 013cos t t αα
α
+∴+=
=+ ∴8cos 4sin =0α
α+，tan 2α=-，直线l 的斜率为2-
【拔高】
1. 在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为
(t 为参数),若以该直角坐标系的原点O 为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 . (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程
(2)已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设F(1,0),求
的值 【答案】(1) . .(2)1.
【解析】 (1)直线 的参数方程为
为参数 ，消去参数，得普通方程 . 曲线C 的极坐标方程为 ，直角坐标方程为 . 参考解法1：直线l 的参数方程为
为参数 ，代入 ， 整理可得 设 对应的参数分别为 ， 则
2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2+cos ,sin P αα（α为参数）.以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，
取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
（1）求点P 的轨迹C 的方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.
【答案】（1）P 点的轨迹C 的方程为()2
221x y -+=，直线l 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）曲线C
上的点到直线l 1.
【解析】（1）设点(),P x y ，所以2{ x cos y sin α
α
=+=，（ α为参数），
消去参数，得()2
221x y -+=，
即P 点的轨迹C 的方程为()2
221x y -+=
直线:sin 4l πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
cos sin 4ρθρθ⇒+= 4x y ⇒+=, 所以直线l 的直角坐标方程为40x y +-=.
（2）由（1），可知P 点的轨迹C 是圆心为()2,0，半径为1的圆， 则圆心C 到直线l
的距离为1d r =
=>=.
所以曲线C 上的点到直线l
1.
3. 在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆 已知曲线1C 上的点
)23,
1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3
,1(π
D （1）求曲线1C ，2C 的方程； （2）若点),(1θρA ，)2
,(2π
θρ+
B 在曲线1
C 上，求
22
2
1
1
1
ρ
ρ
+
的值
【答案】（1）曲线1C 的方程为⎩⎨⎧==ϕ
ϕsin cos 2y x （ϕ为参数），1422
=+y x ； 曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(2
2
=+-y x ；（2）
54
【解析】（I ）将)23,1(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
==3sin 2
33cos 1π
πb a ，
21
即⎩⎨
⎧==1
2
b a ， 2分
所以曲线1C 的方程为⎩⎨⎧==ϕ
ϕsin cos 2y x （ϕ为参数），或1422
=+y x 3分 设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或2
2
2
)(R y R x =+-) 将点)3
,
1(π
D 代入θρcos 2R =, 得3
cos
21π
R =,即1=R
(或由)3
,
1(π
D ,得)23
,21(D ,代入222)(R y R x =+-,得1=R ), 所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(2
2
=+-y x 5分 （II ）因为点),(1θρA ，)2
,(2π
θρ+
B 在在曲线1
C 上,
所以
1sin 4
cos 2
2
1
221=+θρθ
ρ,
1cos 4
sin 22
2222=+θρθ
ρ,
所以45)cos 4sin ()sin 4cos (1
1
222
222
21=+++=+θθθθρρ 4.【2019全国1卷理22文22】在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2
2
21141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t 为参数）. 以
坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l
的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=.
直线l 与曲线C 分别交于M,N 两点. （1）直线l 与曲线C 的直角坐标方程; （2）求C 上的点到l 距离的最小值
.
【答案】（1）()2
2
114
y x x +=≠- （2
）min d
【解析】（1）2
2
2
2
222121211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭,()22
114y x x ∴+=≠- 由cos ,sin x y ρθθ==
得直线方程2110x +
+=.
22
（2）设C 上点坐标为()cos 2sin θθ，
,d ==
当sin()16
π
θ+
=-时,即223
k π
θπ=-
+时
,min d 5.【2018全国1卷理22文22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为2+=x k y .以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为03cos 22
=-+θρρ.
（1）求C 2的直角坐标方程；
（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程. 【答案】 （1）22(1)4x y ++=（2）4
23
y x =-
+ 【解析】
解：（1）将222
c o s ,s
i n x x y y ρθρρθ=⎧=+⎨=⎩代入22cos 30ρρθ+-=得：22230x y x ++-=即2C 的直角坐标方程：22(1)4x y ++=
（2）由曲线1C 的方程为2y k x =+，可得
20
02kx x y x kx +≥⎧=⎨<-+⎩
为偶函数，为两条射线，
由1C 与2C 有且仅有三个公共点，可知曲线1C 的右支与2C 相切，曲线1C 的左边与2C 相交（如图）.
23
1214
20
3044
,2
33
d k k C C k C y x =
=⇒=-==-=-+或当时，与只有一个交点，舍去∴的方程为。