正立方体六个面的着色问题

正立方体六个面的着色问题
图解Pólya计数法Mr. Thursday
不知道各位阅读一篇blog的时候都是什么样子的时间？刚吃饱饭？刚做完剧烈运动？还是深夜还没睡觉的时候？也许各位只有10分钟左右的注意力可以阅读这篇文章，但是数学相关的内容常常需要很多血液在大脑才能了解，在各位读者大脑缺血的状态下，硬是要大家脑充血，实在是有点残酷。

不过这篇文章有另外一个尝试，就是使用图解的方式，让大家可以用比较轻松的方式了解还满有难度的Pólya计数法。

各位读者不必学过很难的定理，只要会「加法」、「乘法」、以及对三度空间有一些些想象力，就可以了解！愿意试试看吗？让我们往下继续阅读吧！
开始之前先把Pólya本尊以及他发明的公式列在下面，今天的目标就是让各位经松了解这个公式，甚至一辈子都不会忘记喔！
加法原理和乘法原理
不知道各位是否还记得中学时候学到的排列组合。

在这部分我们稍微有些直觉上的复习。

首先让我们注意到如果今天有一个瓷砖，然后我们有两种颜色，但是瓷砖一次只能上一种颜色，那么有几种着色法呢? 我想大家应该都会回答是两种。

譬如说下面这张图：
问号代表一个还没上色的瓷砖。

右手边代表这两种可能的着色方法：红色、「或是」蓝色。

接下来让我们推广到两个瓷砖的时候。

如果有两种颜色(红色、蓝色)，分别涂在两个瓷砖上面，总共有几种着色呢？让我们可视化这个问题的答案：
所以我们可以看到，有四种着色方法。

在继续讨论之前，我们想做一件事，就是跨越「符号化」的鸿沟。

首先，上面四种着色方法，我们如果用中文来念，分别就是：「红红」、「红蓝」、「蓝红」、「蓝蓝」。

如果我们用英文来代表呢？红色是Red，所以用字母R来代表，蓝色是Blue，所以用B来代表，那么刚才四种着色方法，用英文字母来表示，就变成RR、RB、BR、BB了！
跨越符号化的鸿沟之后，我们要开始进入这一段的重点：加法原理和乘法原理。

我想各位应该都知道加法，譬如说1＋1 = 2。

各位也应该都知道乘法，譬如说3╳9 = 27。

那么加法和乘法，和排列组合有什么关系呢？我想可以用下面这种对应：
「或者」(OR) 的关系：用加法表示
「并且」(AND) 的关系：用乘法表示
拿上面两个瓷砖着色个数为例，第一个瓷砖可以着上红色「或者」蓝色，第二个瓷砖可以着上红色「或者」蓝色。

然后对每一个着色方法来说，是第一块瓷砖是颜色X「并且」第二块瓷砖是颜色Y，算是一种着色方法。

所以要用R和B来表示这四种着色方法，我们可以套用数学的加法和乘法写成：(R＋B) ╳(R＋B)= RR ＋RB ＋BR ＋BB
(第一块瓷砖是红色或是蓝色而且第二块瓷砖是红色或是蓝色)
第一个括号里面的R＋B就是代表着第一块瓷砖可以着上红色(R)「或者」蓝色(B)，第二个括号表示第一块瓷砖可以着上红色(R)「或者」蓝色(B)。

中间相乘代表第一块瓷砖是某某颜色「并且」第二块瓷砖是某某颜色的时候，算成一种「着色方法」。

接下来要从「符号化」的鸿沟，跨越「数量化」的鸿沟。

数学把世界上的东西符号化之后，大部分专注在「量」的信息上面。

像上面的例子，我们用符号RR, RB, BR, BB列出用红色和蓝色，来涂两块瓷砖，有哪几种着色方法。

如果只专注在「量」的信息，也就是说，我们只想知道有「几种」着色法，而不用全部的着色法全部念出来，那么答案是4种。

那么上面的乘法原理和加法原理产生的式子，要怎么套用呢？只要把R和B，分别换成数字1就可以了：(1 ＋1)╳(1 ＋1) = 2 ╳ 2 = 4
就是答案「4种」了！
所以我们跨越了「符号化」和「数量化」的鸿沟，并且了解了加法可以代表「或者」，乘法可以代表「并且」的关系。

在继续下去之前，我们先从两块瓷砖推广成三块瓷砖的着色个数：
如果先用中文念，我们会知道三块瓷砖用红色和蓝色来涂，会有「红红红」(小叮当？)、「红红蓝」、…、「蓝蓝蓝」，用英文念就是RRR, RRB, …, BBB。

用加法原理和乘法原理来计算
就是：(R＋B) ╳(R＋B) ╳ (R＋B)= RRR ＋RRB ＋RBR ＋RBB ＋BRR ＋BRB ＋BBR ＋BBB
把R和B代换成数字1，就可以得到着色的「个数」这个「量化」的信息：
(1＋1) ╳ (1＋1) ╳ (1＋1) = 2 ╳ 2 ╳ 2 = 8
所以总共有8种着色方法，数一下上面那张图，的确是8种着色方法！
(第一块瓷砖是红色或是蓝色) 而且(第二块瓷砖是红色或是蓝色) 而且(第三块瓷砖是红色或是蓝色)
最后附带一提，如果一个数字乘很多次，数学里面为了表达方便，会用「次方」来表示，譬如说10个数字2相乘，全部写出来是2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2，写的手好酸，所以有一个记号，在网页上通常写成210，来代表数字2相乘了10次这件事情。

所以
210= 2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2
OK。

到目前为止，大家应该头脑都还算清楚。

有些可能中学就学过，大家都知道。

不过接下来的东西，其实就是用这一段最基本的东西慢慢延伸，慢慢了解，所以到后面，还是会用到这一段提到的几把刷子喔！
1. 加法原理和乘法原理
2. …
Pólya计数法想要解决的问题
Pólya计数法最主要想要解决的，就是一个物体用k种颜色有几种不等价的着色法。

看到「不等价」似乎有些不了解，让我们先举个例子：
上图是一个正立方体，总共有六个面：上、下、左、右、前、后。

如果我们用刚才提到的加法原理和乘法原理，表示量化的信息，也就是用红色和蓝色来涂，有几种着色方法，那么就是有：
2 ╳ 2 ╳ 2 ╳ 2 ╳ 2 ╳ 2 = 26= 64种着色方法。

如果用英文符号来表示出每一种组合，就是︰
(R＋B)╳(R＋B)╳(R＋B)╳(R＋B)╳(R＋B)╳(R＋B) = RRRRRR＋RRRRRB＋…＋BBBBBB
接下来，让我们做个表示方法的变换，我们把一个正立方体的六个面的着色问题，转换成六个瓷砖的着色问题，这两个问题的答案会是一样的。

而刚才上面64种着色方法，如果不用RRRRRR 这种符号来代表某一种着色，而是直接画在六块瓷砖上面，会变成像是下面这张图：
最左上角就是RRRRRR(红红红红红红)，六个面都涂红色的这一组着色法，右下角就是BBBBBB(蓝蓝蓝蓝蓝蓝)，六个面都涂蓝色的这一组着色法。

中间就是其他62种着色法。

说到这边，Pólya计数法到底想解决什么问题呢？刚才提到了「等价」，指的是说如果我们回到刚才正立方体那一张图，一个正立方体，可以沿着不同的旋转轴，在三度空间里面旋转。

在旋转的过程中，我们会发现，有时候旋转一下，某一种着色会变成另一种着色，也就是说，透过某个旋转的过程，某一种着色方法其实和另一种着色方法「等价」。

举个具体的例子，下面这个正立方体，上、下两面的颜色先不管，中间的前后左右四个面，分别是红蓝红蓝(RBRB)的排列。

如果我把正立方体沿着图中的轴线逆时针旋转，那么中间的前后左右四个面，会变成蓝红蓝红(BRBR)。

也就是说，透过逆时针旋转90度，在原先64种着色方法里面，居然至少有两种方法，是「等价」的，在原来64种方法里面，这两种着色被视为不一样的着色，但是在三度空间里面如果让正立方体自由旋转，我们会发现某些旋转，像是图里面逆时针90度的旋转，会让原本算成两次的着色方法，变成只能算一次的着色方法。

让我们用刚才跨越鸿沟的时候一样，用中文念一次，先把正立方体的六个面做个编号：
如果上下两面都涂红色，那么刚才那张图就是「红红蓝红蓝红」(R RBRB R)，逆时针旋转之后，颜色变成「红蓝红蓝红红」(R BRBR R)。

在原来的64种组合里面(RRRRRR＋RRRRRB＋…＋BBBBBB)，RRBRBR和RBRBRR这两种着色是不一样的，视为两种着色法。

如果现在我们想要计算，各种旋转(旋转90o、180o、270o等)之后，等价的着色只算是一种着色，那么会有几种着色法？
稍微思考之后，我们可以确定，在上面那个例子里面，答案一定会少于64种对吧？可是确切的数字是多少呢？答案是10种。

怎么算出10种呢？就是用Pólya计数法，如果只要算量化的答案，那么就是用Burnside定理就好。

感觉困难吗？其实也不困难，只要继续往下看图，并且准备好刚才的两把刷子_加法原理和乘法原理，就可以啰！
1. 加法原理和乘法原理
2. Pólya计数法想要解决的问题
3. …
在三度空间想象立方体旋转
在正式接触Pólya计数法之前，因为我们使用了正六面体的例子，而Pólya计数法需要把三度空间里面每一种可能的对称旋转(可以造成两种着色变成一种的旋转方式)全部都列出来，才能代入他的公式，因此我们要先列出，在三度空间里面，各种对称的正六面体旋转，总共有24种，约略可分成四大类，一一列举如下：
第一类：不转
这一类的旋转个数只有1个
第二类：穿过两个面面中点的旋转轴旋转
这一类可以分成三个子类，如果三度空间的三个方向分别是X, Y, Z，那么下图就是沿着z轴，穿过两个面的中点的旋转轴。

每次旋转可以转90o、180o和270o，所以有三种旋转
Y轴方向也是同样有90o、180o和270o三种旋转，X轴也是。

所以这一类总共有3 ＋ 3 ＋ 3 = 9种旋转。

第三类：边边的中点联机为旋转轴的旋转
第三类有6种旋转，分别是六对对边的中点联机作为旋转轴，但是因为每个旋转轴来说，只有180o这一次旋转，所以就刚刚好6种旋转，把旋转轴画在下面：
第四类：点点相连为选转轴的旋转
第四类是八个顶点，两两为一对，总共有四个旋转轴，但是这四个选转轴因为每次可以旋转120o或者是240o，所以这一类总共有8种旋转。

旋转轴示意图如下：
为什么这一类的旋转轴，会有120o和240o两种旋转呢？各位可以这么想，正立方体上面有八个顶点，两个顶点是旋转轴的联机，剩下六个顶点，分成两组，一组各三个顶点，这三个顶点在旋转的时候，刚好会依次循环到彼此的位置上面，因此360o给3个顶点区分，就是依次可以旋转360o÷3 = 120o了。

下面这张示意图就把剩下六个点，三个标成咖啡色，三个标成浅蓝色，代表旋转过程中会交替循环位置的三个点。

至于怎么确定在途中这个坐标轴的旋转下，那三个点会交替循环位置？可以用这三个点相邻的的边和面，做辅助的比对，就会相信真的是这样子了！
把不相关的线条去掉之后大家可能会比较明白：
所以总共有几种旋转呢？总共是︰1(不转)＋3╳3 (3个坐标轴方向，面面中点为旋转轴，分别转90o, 180o, 270o)＋6╳1 (边边中点为选转轴，正立方体12个边总共有6对边，每个对边形成的旋转轴只有180o这一种对称旋转)＋4╳2 (正立方体8个顶点，点点相连为旋转轴，总共有4个旋转轴，每个旋转轴只有120o和240o两种旋转)＝24种旋转！
24 = 1＋3×3＋6×1＋4╳2
开始头昏了吗？希望上面的示意图有所帮助！正立方体这个例子，也刚好是比较不容易想的例子，因为三度空间的对称旋转在这边有些复杂，后面也会提到这部分可能是Pólya计数法的困难点和延伸修改的地方。

1. 加法原理和乘法原理
2. Pólya计数法想要解决的问题
3. 在三度空间想象立方体旋转
4. …
应用Pólya 计数法算出不等价的着色法
接下来，我们终于要开始使用Pólya 计数法的公式了！
第一行就是公式，第二行是展开。

这些G 和f 和C 的符号是什么意思呢？让我们用中文念一遍，不等价的颜色个数，等于(C(1f )＋C(2f )＋…＋C(n f ))除以|G|。

那|G|是什么呢？G 代表我们刚才列了24种旋转，把他集中起来，变成一个集合，我们看到G ，就好像看到刚才列出来的24种旋转方法一样。

那|G|是什么呢？|G|就是代表G 这个集合里面，有多少个循环。

有点昏头了，重讲一次。

假设第一个旋转用1f 代表，第二个旋转方式用2f 代表，第24个旋转用24f 来代表，那么我们看到G ，就好像看到了1f , 2f , …, 24f 这些旋转一样。

|G|就是说，1f , 2f , …, 24f 这些旋转，数一数，总共有几个呢？当然就是「24个」啦！ 那么C(1f )，或者C(2f )，又是代表什么意思呢？是说原本我们如果用乘法原哩，正立方体6个面，每个面可以用红色或者蓝色来涂，总共会有26= 64种着色方法，列出来就是RRRRRR, RRRRRB, …, BBBBBB 这些着色方法。

C(1f )就是说，这些着色方法里面，有哪些着色方法，经过1f 这个旋转以后，会保持不变，譬如说64种着色方法，我们用1c , 2c , …, 64c 这些符号来代表好了。

那么如果第15种着色方法，
经过1f 这个旋转方式旋转，还是原来第15种着色方法的外貌，那么C(1f )就包含了15c 这种着色方法。

因此，Pólya 计数法和我们说，如果你要知道不等价的着色方法有几种，有哪些，你只要告诉我有哪些旋转方式 (1f , 2f , …, 24f 在这个例子里面)，以及每一种旋转方式之下，有哪些着色方法可以保持不变，把这些着色方法的个数加起来以后，再除以旋转方式的总个数|G|，就可以知道答案！
那么有没有比较有系统的方式，可以算出每一个旋转方式 (1f , 2f , …, 24f ) 里面，有几种着色方法，可以经过某个旋转方式旋转以后，仍旧等于他自己？这边用了一个数学表示方法，在数学里面称为「循环群」，不过使用起来十分直觉。

让我们先观察下面这个例子：假设我们把正立方体六个面先做一个编号
那么，如果有一个旋转轴是穿过第一面和第六面的中点，像是下面这张图：
然后绕着旋转轴逆时针旋转90o ，那么第二面会跑到第三面的位置，第三面会跑到第四面的位置，第四面会跑到第五面的位置，第五面会跑到第二面的位置，第一面和第六面则是各自停在原来的位置。

现在如果用一个括号，里面分成上下两排，上面那排数字是旋转前，第一面到第二面的编号，下面那一排数字是正立方体依照刚才的旋转轴逆时针旋转90o 之后，会跑道的位置，写出来就会变成：
如果依照旋转轴，旋转180o 呢？那么第二面会转到第四面的位置，第四面则是转到第二面的位置；第三面转到第五面的位置，第五面则是转到第三面的位置，写成刚才的表达方式，就是上面的第二个大括号的内容。

接下来要做什么呢？我们可以把上面表达方式，再做一次转换，把每个循环的数字抽离出来，所以上图中的第一个大括号，转换成循环群的表达方式，就变成：
[1][2 3 4 5][6]
意思就是说，旋转轴逆时针转90o 以后，第一面和第六面待在原地，所以自己循环到自己，但是第2面、第3面、第4面、第5面，会彼此循环。

同理可推，下面第二列如果用循环群的表示法，就变成：
[1][2 4][3 5][6]
写成这种表示法，有什么好处呢？刚才提到对每个旋转方法，像是1f 等等，我们想要有一个有系统的方法，来算出对1f 或是15f 等旋转来说，有哪些着色法经过这个旋转后仍旧等于他自己？ 回到刚才具体的例子，假设沿着刚才那个旋转轴逆时针旋转90o 的旋转来说，是第15个旋转，用15f 来代表，然后每一面可以用红色和蓝色来涂，那么有哪几种着色法，经过这个15f 旋转，仍旧等于他自己呢？如果我们用上面的编号顺序来念的话，RBBBBR 这种着色法，是一种。

再多列几种，我们发现，只要第二面到第五面都是红色，或者都是蓝色，的着色法，经过15f 这种旋转，都会等于他自己。

回到循环群表示法，他的好处就是，只要把每一面可以涂上的颜色带入每一个循环，哪几种着色法旋转后可以等于他自己，答案就马上浮现，譬如说15f 这种旋转的循环群表示法是：
[1][2 3 4 5][6]
代入可能的颜色︰红与蓝 R and B
[R ＋B]╳[RRRR ＋BBBB]╳[R ＋B]
[R ＋B]╳[RRRR ＋BBBB]╳[R ＋B]
= RRRRRR ＋RRRRRB ＋RBBBBR ＋RBBBBB ＋BRRRRR ＋BRRRRB ＋BBBBBR ＋BBBBBB =1╳1╳1╳1╳1╳1＋1╳1╳1╳1╳1╳1＋1╳1╳1╳1╳1╳1＋1╳1╳1╳1╳1╳1＋1╳1╳1╳1╳1╳1＋1╳1╳1╳1╳1╳1＋1╳1╳1╳1╳1╳1＋1╳1╳1╳1╳1╳1= 1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1= 8 把R 和B 用数字1代入，就可以知道，透过旋转15f 之后，有8种着色法，仍旧等于他自己。

另外，也可以整理一下字母表示法：
RRRRRR ＋RRRRRB ＋RBBBBR ＋RBBBBB ＋BRRRRR ＋BRRRRB ＋BBBBBR ＋BBBBBB =R 6＋R 5╳B ＋ R 2B 4＋ R╳B 5 ＋ B╳R 5＋ B 2╳R 4＋ B 5╳R ＋ B 5
=1╳R 6 ＋ 2╳R 5╳B ＋ 1╳R 4╳B 2＋ 1╳R 2╳B 4 ＋ 2╳R╳B 5 ＋ 1╳B 5
也就是说，经过15f 这个旋转之后，仍旧等于自己的着色方法有8种，在这8种着色法里面，六面都是红色的有一种，五个面是红色一个面是蓝色的着色方法有两种，依此类推。

所以，整个使用Pólya 计数法的流程，就变成：
(1) 列出所有的旋转方法，在这个例子里面就是1f , 2f , …, 24f 总共24种旋转法
(2) 把每一个旋转法，列出六个面旋转之后会到哪一个面，像这一张图：
(3) 把上面的表示法转换成循环群表示法，像旋转90度的例子就是：
[1][2 3 4 5][6]
(4) 把可能的颜色，代入循环群表示法，就可以算出在某个旋转作用下，哪些颜色转完之后仍旧等于他自己。

在这个例子用红色(R)和蓝色(B)的话，就变成：
(R ＋B)╳(RRRR ＋BBBB)╳(R ＋B)
中间填了四个RRRR 以及四个BBBB 是因为要表示说四个面因为旋转之后会有关联，因此他们的着色一定要一样，经过这个旋转，才会等于自己。

所以四个面同时为红色就是RRRR ，四个面同时为蓝色就是BBBB 。

我们可以用之前提过的次方表示法，让表达稍微简洁一些：
(R ＋B)╳R 4 ＋ B 4╳(R ＋B)
同样地，把R 和B 分别带入数字1，我们就会得到量化的信息，也就是有几种，而不是把每一种可能的着色法一一列出来。

而因为这种表示法的特性，刚好就是数学里面「生成函数」的概念，因此正式计算的时候，通常就会写成生成函数的样式，来做计算，但是意义上，其实就是我们这一段从头到尾，想要表达的计算方式。

举例来说，在上面循环群的表示法里面，如果我们把长度为1的循环，抽象化，用变量1z 来代表，长度为4的循环，抽象化用变量4z 来代表，那么15f 这个旋转的循环群表示法
[1][2 3 4 5][6]
我们忽略面的编号，只注重每个循环的长度，那么这个循环群抽象后，就变成
1z ╳4z ╳1z
接着如果代入R 和B 两种颜色的时候，我们就规定，1z 代入R 1(R 的一次方)＋B 1(B 的1次方)，2z 要代入(R 2＋B 2)，4z 则要代入(R 4＋B 4)，那么跟刚才的计算过程就会一模一样！只是这个步骤更加系统化了！
[1][2 3 4 5][6]
→1z ╳4z ╳1z
→ (R ＋B)╳(R 4＋B 4╳(R ＋B)
→ (R ＋B)╳(RRRR ＋BBBB)╳(R ＋B)
→ (第一面是R 或B)而且(第二面到第五面是R 或B)而且(第六面是R 或B)
→ (第一面是红色或蓝色)而且(第二面到第五面是红色或蓝色)而且(第六面是红色或蓝色) 您看！从中文，到英文，到乘法，到次方表示法，到循环群和生成函数的互换过程，其实并没有想象中的困难！您说是吧？
至于用生成函数系统化表示，是因为我们有24个旋转，每个旋转用循环群表示之后，我们化简，然后用1z , 2z , 3z , 4z , 5z , 6z 分别代表长度为1的循环，长度为2的循环，一直到长度为6的循环为止。

那么24种旋转，有24个循环群表示法，每个循环群是1z ╳4z ╳1z 或者1z ╳1z ╳2z ╳2z 等等这种形式的化简，譬如说1z ╳4z ╳1z 可以变成1z 2╳4z 等等。

把这24项加起来以后，我们得到的生成函数
P(1z ,2z ,3z ,4z ,5z ,6z )= (1z 6＋ 6╳1z 2╳4z ＋ 3╳1z 2╳2z 2＋ 6╳2z 3＋ 8╳3z 2) ÷ 24
这个时候再依照刚才的规则，1z 代入R 1(R 的一次方)＋B 1 (B 的1次方)，2z 要代入(R 2＋B 2)，4z 则要代入(R 4＋B 4)，以此类推。

那么我们就可以得到
r 6＋ r 5╳b ＋ 2╳r 4╳b 2 ＋ 2╳r 3╳b 3 ＋ 2╳r 2╳b 4 ＋ r╳b 5 ＋ b 6
意思是说，不等价的着色方法里面，六个面都是红色的有一种，五个面红色一个面蓝色的着色法有一种，四个面是红色两个面是蓝色的着色方法有两种，一直到六个面都是蓝色的着色法有一种。

同样地，如果把r 和b 分别用数字1代入，我们就可以得到，使用红色或者蓝色来涂正方体的六个面，经过这24种旋转之后，正立方体不等价的着色有几种，为10种。

刚好就是答案多项式的系数相加 1＋1＋2＋2＋2＋1＋1 = 10。

有了这个公式，我们是不是就有了系统化的方法，只要知道一个立体结构，在三度空间会怎么转，写成循环群的表示法，再转换成生成函数表示法，最后代入每一个面可以涂上的颜色，那么不等价的着色法个数，马上就算出来了！甚至还可以知道只有某些颜色涂了K 个面的着色法有几个呢！非常神奇吧！
可是接下来我们要问：你怎么知道这个定理的公式是100%对的呢？这就是下一段要讨论的了！
1. 加法原理和乘法原理
2. P ólya 计数法想要解决的问题
3. 在三度空间想象立方体旋转
4. 应用Pólya 计数法算出不等价的着色法
5. …
Pólya计数法的图解证明
看到这边还有力气的人，让我们继续冲刺！
在图解证明之前，我们先看看和Pólya计数法很接近的Burnside定理的数学证明。

Burnside定理和Pólya计数法唯一的差别，在于Burnside定理只能算出总共有「几个」不等价的着色法。

Pólya 计数法则是除了这个「量」的信息，还可以进一步把每一个颜色用字母r, b等列举出来，和你说只有3面涂红色3面涂蓝色的不等价着色法有2种。

不过就证明的过程，其实是共通的。

下面是笔者复习Pólya计数法的时候，参考的书籍内容，不习惯数学符号的读者，可以稍微浏览后直接跳到后面的图解部分。

让我们先从最早的地方回想起，搭配正立方体的例子。

我们有一个正六面体，每一个面可以涂两种颜色：红色或者蓝色。

根据乘法原理，总共有26=64种着色法。

把这64种着色法列出来，就像是下面这张图：
接着我们又知道，正立方体在三度空间里面，有各种对称的旋转轴，旋转之后，会让64种着色法里面某些着色法等价。

现在我们的目标，是要计算经过各种旋转之后(在这个例子里面总共有24种旋转，参考前面讲解旋转的那一段)，仍旧不等价的着色个数有多少个，根据Pólya 计数法，答案是10种，还可以详细列出每一种的颜色信息。

让我们再看一下Pólya计数法的公式，N(G,C)代表我们想要知道的答案，在这边是10种不等价的着色方法。

把公式稍微移项得到
现在证明的过程，就是想要证明等号的左边，等于右边。

等号的左边是什么呢？就是10种不等价的着色法，数字10，乘上旋转方法的个数，这边是24。

等号右边是每一个旋转法之下，维持不变的着色法个数，每一个旋转法都算一次，然后相加起来。

所以等号左边画成一张图会是什么样子呢？
我们先把64种着色法，用64个灰阶小圆球代替。

接下来等号左边，就像是把这64颗灰阶小圆球，分成10组。

每一组有几个，我们并不确定，就先画个大概就好。

接下来，每一组里面的每一个小灰阶圆球，代表着64种着色法里面的其中一种，可以经由24种旋转法，转来转去。

我们用箭头，来代表旋转所做的转换。

那么，有些旋转，对于某种着色法来说，没有作用，就像是RRRRRR这种着色，不管怎么乱转，还是等于他自己，所以24个箭头，代表正六面体在三度空间里面的24种旋转法，在RRRRRR 这个着色法小圆球上面，会一直指回他自己。

不过有些着色法，经过某些旋转会等于他自己，但是经过另一些旋转，会变成64种着色法里面的某一种着色法，举例来说，逆时针旋转90度，会让64种着色法里面的RRBRBR着色法变成RBRBRR着色法，如下图：
旋转180度的时候，这RRBRBR和RBRBRR两种着色法会各自旋转成自己，如下图：
所以刚才灰阶小球那一张图里面，各种箭头，就是代表各种旋转，每个小球代表64种着色法里面的一种着色法，每个小球可以有24个箭头，代表这种着色经过24种旋转，会变回自己，还是变成另一种等价的着色法，这就是刚才那张图想要表达的意思了！让我们再看一次：
现在我们把注意力，集中在每颗小灰球上面，指回自己的箭头。

这些箭头代表24种旋转里面，那些会让某一个着色法(某一个小灰球)，旋转后仍旧等于自己的那些旋转。

如果一个小灰球有8个箭头指回自己，代表24种旋转里面，有8种旋转，转完以后那颗小灰球仍旧等于自己。

所以，每一组里面的小球代表经过24种旋转可以互换的着色，因此同一组的小球，代表着「等价」的着色。

不同组的小球，代表着24种旋转不管怎么转，彼此都转不到对方的着色，因此互相为不等价。

譬如说RRRRRR这种着色不管怎么转，永远不会转成RRBRBR这种着色法。

因为在这个正立方体的例子里面，不等价的着色有10种，所以上面画了10组灰色小球，64颗灰球各自落入10组等价着色区里面。

注意！每一个等价着色区的灰色小球个数，并不一定会相同，有的可能只有一颗灰球，有的可能会有8颗灰球，计数法也不在乎每一类有几颗。

接着让我们把上面那10组小灰球里面某一组放大，假设我们放大的那一组等价着色里面，有三颗灰球，代表这一组等价着色，包括了原来64种着色方法里面的3种着色法。