深度学习视阈下“问题链”在高中数学课堂教学中的策略研究

２０２４年２月上半月㊀
教学研究
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深度学习视阈下 问题链 在高中数学
课堂教学中的策略研究
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◉海南省保亭黎族苗族自治县保亭中学㊀曹华平
㊀㊀«普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)»强调落实数学学科核心素养,教师应该整体把握数学课程,努力提升教学设计和实施能力,在教学活动中应把握好数学的本质,通过创设合适的问题情景㊁提出合适的数学问题去引发学生思考与交流． 问题链 教学倡导教师紧密围绕教学内容,深度挖掘教学内容的教育价值,按照一定的逻辑结构精准设计一组环环相扣的问题串,并通过这一个个问题链将教材内容融入到探究活动中,实现数学学习从知识主线到问题主线㊁从问题主线到思维主线的转变,从而引领学生的学习． 问题链 是以问题的梯度优化教学结构,
搭建学生在已有学习经验和未知问题探究之间的桥梁,实现数学学习的强迁移,从而促进深度学习,为数学核心素养的达成提供路径．
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问题链 的设计要架构问题情境,厘清知识发展脉络,促进有效生成,使本质更突出
㊀㊀问题引领师生交流对话是课堂教学中最常见的思考组织形式,是数学深度学习赖以发生的孵化器,更是数学深度学习得以维持的助推器．有效 问题链 的设计则把问题情境与教学目标紧密连接到一起,在为学生提供高质量的数学内容的同时,更是师生问答境域中的 再次对话 ,是问题引领课堂的深度表现,是对问题本质的再接近,是对知识意藴的再挖掘．两角和与差的余弦公式是三角函数的定义与性质㊁同角三角函数基本关系式㊁诱导公式的延伸,也是平面向量知识的实际应用．对于 两角和与差的余弦公式 的教学,可以从学生的认知与思维构建的角度设计问题链(图１)．
图１㊀ 两角和与差的余弦公式 问题链设计示意图
㊀㊀
两角和与差的余弦公式 的问题链教学设计,探究角α－β的三角函数与角α,β的三角函数之间的等量关系,让各个主干问题作为 学习入口 ,很好地衔接了学生的已有经验,促使学生经历数学知识形成发展的全过程,概览 两角和与差的余弦公式 推导的整
体图景,形成了学科的 大观念 ,有效厘清了 两角和与差的余弦公式 的基本结构与内在联系,达到对数学核心观念的本质理解和运用,实现形数思维的灵活转换,构建出了 问题引领－活动探究－达成目标 学习活动体验,使得学科知识生成自然㊁本质突出．
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∗课题信息:海南省教育科学规划一般课题 问题链 在高中数学课堂教学中的实践研究 ,课题编号为Q J Y ２０２２１０２９．
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问题链 的设计要搭建思维阶梯,导引思维过程,消除认知障碍,使推理更自然
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问题链 教学的本质就是围绕数学核心素养的落实,教师通过从整体视角对教学内容进行解构与设计,确定高质量的主干问题及铺设序列化子问题,引导学生由浅入深地建构知识骨架体系,进行层次化㊁递进化和高效化的数学学习,并通过台阶搭建,引发新的思维,获得持续向前发展的动力,逐步达到深度学习的目的,从而消除认知障碍．
例如,在 基本不等式 新授课中,问题链的情境创设借助第２４届国际数学大会会标(图２) 赵爽的弦图谈开去
．
图２㊀基于赵爽 弦图 下的第２４届国际数学大会会标
问题１㊀三国时期吴国的数学家赵爽利用 弦图
中的面积相等关系巧妙地证明了勾股定理,你还能在 弦图 中根据边长或面积找出一些相等关系或不等关系,从而得出一些等式或不等式吗?
教师用几何画板展示图３,帮助学生寻找 弦图
中的一些相等关系或不等关系,激发学生的求知欲
．
图３㊀几何画板演示 弦图 中的不等关系
师生活动:重要不等式 ∀a ,b ɪR ,a ２
＋b ２
ȡ
２a b ,当且仅当a ＝b 时,
等号成立．教师点评(特别指出重要不等式成立的条件以及
a ,
b 是可以用别的式子整体替换的)．
设计意图:为基本不等式的引出铺垫,也为后续区别基本不等式成立的条件埋下伏笔．问题２㊀如果a ＞０,b ＞０,
我们用a ,b 分别代替上式中的a ,b ,
能得到什么结论?师生活动:基本不等式 a ＞０,b ＞０,a b ɤ
a ＋b
２
,当且仅当a ＝b 时,等号成立．追问１:该式子要成立,需满足什么条件呢?师生归纳:(１)∀a ＞０,b ＞０;(２)a b ɤ
a ＋b
２当且仅当a ＝b 时,
等号成立．师生共同得出基本不等式的定义:当a ＞０,b ＞０
时,a b ɤa ＋b ２(当且仅当a ＝b 取得等号),a ＋b
２叫做两个正数a ,b 的算术平均数,a b 叫做两个正数
a ,
b 的几何平均数．
基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数．
追问２:基本不等式和重要不等式在结构和条件上有哪些不同点,哪些相同点?
师生活动:a 与b 的范围不同,
式子的形式不同,应用范围不同．相比重要不等式,基本不等式形式更为简单,并且随着后续的学习,能感受到基本不等式应用更加广泛．相同点是等号成立的条件都是a ,b 相等．
问题３㊀我们知道,数学中 数 与 形 是紧密联
系的,那么, 基本不等式 是否也是某种几何关
系的体现呢?
图４
师生活动:如图４,A B 是圆O
的直径,C 是A B 上一点,A C ＝a ,
B C ＝b ,过点C 作垂直于A B 的弦
D E ,连接A D ,B D ．
你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?
基于 基本不等式 问题链的
教学设计,以学生的认知发展水平和已有的经验为基础,创设直观情境加深了对基本不等式的直观感受,强化了 基本不等式 的三种表达形式,通过 数 与 形 的联系,引领学生经历定值与最值的探索活动过
程,进而深层次挖掘应用 基本不等式 求最值的本质,实现教法和学法的最优秀组合．
３
问题链 的设计要探寻知识燃点,积累数学活动经验,加深认知体验,使理解更高效
㊀㊀数学教材中的知识本质多是寓于数学知识结构体系之中,教师以问题链为教学支架,围绕教学目标在知识体系的整体框架上进行 问题链 的设计,将问题的解决与目标的指向相对应,分析已知与未知的关系,探寻知识燃点,实现多元表征的转化,从而将复杂的总目标一层一层分解为简单的次目标．同时,合理把
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握目标间的难度㊁跨度㊁梯度及开放度,再集中力量逐步攻克次目标,做到在内容上环环相扣,在目标上步步深入,促进学生的思维走向纵深,从而加深认知,积累丰富的数学活动经验．
在 正方体截面的探究 的活动中,教师借助实物模型的直观和信息技术的运用,面对生活中随处可见装液体的容器,引导学生观察不同摆放位置㊁不同液体量时液体表面的形状．结合探究活动,通过设置问题链,引导学生从截面多边形的边数㊁边界线的长度㊁边界线的位置关系,归纳截面图形特征,总结分类原则,探索图形的变化规律,加深对截面实质的理解,形成解决数学实际问题的科学思维,学会研究数学问题的基本方法和常规思路,提升学生的理性思维,实现学科育人的目的．
问题１㊀展示将有颜色的液体注入透明正方体容器,把水面当成正方体的截面,引导学生观察液体量不同时,液面会发生怎样的形状变化呢?
追问１:在液体量一定的情况下,对于正方体不同
的摆放方式,观察平静液面的形状变化,能画出这些截面的示意图吗追问２:观察这些截面示意图,说一说这些截面有几类不同的形状
追问３:在装有颜色的液体的正方体中,观察旋转到不同方位的正方体内液面的变化情况,试问平静液面的形状存在多于六边形的截面吗?
问题２㊀通过正方体液面的形状变化,说说截得这些形状截面的方法．如果按照边数进行分类,这些截面图形可以归纳为几类?(如表１．
)表
１㊀ 正方体截面的探究 活动案例截面形状
形状
特殊情形
三角形
等腰三角形等边三角形
四边形
平行四边形
长方形
正方形
梯形
五边形注:不可能是正五边形
六边形注:可以是正六边形
㊀㊀追问４
:如果正方体截面的形状是三角形,能截出几类不同形状的三角形(分别按边㊁角分类)
?如何截取?追问５:截出的三角形一定是锐角三角形吗?试证明．追问６:指出截出最大面积的三角形截面,说一说如何截取?
追问７:如果截面的形状是四边形,能截出几类不同形状的四边形(分别按边㊁角分类)
?如何截取?追问８:截出的四边形可以是直角梯形吗?试证明．追问９:还能截出哪些多边形?能截出正五边形吗试证明．
追问１０:
是否存在正六边形的截面?为什么?结合 几何画板 的演示,进一步引导学生观察㊁验证自己的猜想,归纳截面图形特征,总结图形分类原则,体验知识发生发展过程,积累图形变化活动经验,理解数学的本质,以及逻辑性㊁层次性和整体性．
问题３㊀已知正方体的棱长为１,每条棱所在的
直线与平面α所成的角都相等,则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为(㊀㊀)．
A．３３４㊀㊀㊀B ．２３
３㊀㊀㊀C ．３２４㊀㊀㊀D．
３２
通过问题链的设置,启发学生从截面多边形的边
数㊁边界线的长度㊁边界线的位置关系来研究截面的性质,直观感受正方体截面的形状大小变化(图５),经历 确定对象 探究性质 论证判断 的研究过程,学会研究数学问题的基本方法和常规思路,加深对截面实质的理解,实现 直观 在认知结构中的重构,从而实现思维的可视化．积累从具体到抽象的数学探究活动经验,增强正方体模型意识,初步了解如何通过运算定量描述位置特征关系,提升学生的学科素养．
图５㊀正方体棱与平面α所成的角都相等的截面示意图
总之,问题是驱动学生思考㊁引领学生深度学习的重要载体,是思维的起爆器．问题链因其强调为学生提供思维脉络而成为促进学生思维进阶的重要途径．在高中数学教学设计与实施中,如何架构与应用问题
链,使之能有效促进学生的思维进阶,让学生自觉成为学习的主体,较好地起到启学引思㊁导学导教的作用这就需要在问题链的教学设计中从目标问题出发,设置探寻导向目标问题的问题序列,解决目标间的逻辑盲区,处理好预设与生成的关系,将大问题转变为一个个层次递进的小问题,引导学生在已有的认知基础上依次突破小目标,建构新的认知结构,最终实现教学大目标,让深度学习真正发生．Z
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