云县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考测试数学

云县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出两个判断：
①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立，
下列说法正确的是（）
A．①对②错B．①错②对C．①对②对D．①错②错
3．已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），
且a2＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（）
A．（﹣，﹣a2）∪（a2，）B．（﹣，a2）∪（﹣a2，）
C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b）D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）
4．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
5．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y P
A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5
6．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）
A
B1
C
D
7．
设等比数列
{a n }
的公比q=2
，前n
项和为S n
，则=（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ． 8． 已知向量，
，其中
．则“”是“”成立的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 9． 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，
那么，近似公式V ≈L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则
实数m 的取值范围是（ ）
A ．1-<m
B ．10<<m
C ．1>m
D ．1≥m
【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等. 11．在空间中，下列命题正确的是（ ） A ．如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，那么m ∥n
B ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β
C ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m ⊥α
D ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m ⊥β
12．定义集合运算：A*B={z|z=xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为
（ ） A ．0
B ．2
C ．3
D ．6
二、填空题
13．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．
14．若非零向量，满足|+
|=|
﹣|，则与
所成角的大小为 ．
15．已知f （x+1）=f （x ﹣1），f （x ）=f （2﹣x ），方程f （x ）=0在[0，1]内只有一个根
x=，则f （x ）=0在区间[0，2016]内根的个数 ．
16．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}2
2sin
cos []1x x +=的实数解为6π-；
③若3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为2
3
1
22n n -；
④当0100x ≤≤时，函数{}22
()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13
x
g x x x =⋅-
-的 零点个数为n ，则100m n +=.
其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

17．若x ，y
满足线性约束条件
，则z=2x+4y 的最大值为 ．
18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=()
210{ 21(0)
x
x
x e x x x +≥++<，若函数y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知过抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，
斜率为11A x y （，）
和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且9
2
AB =． （I ）求该抛物线C 的方程；
（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ， 求该圆面积的最小值时点S 的坐标．
20．已知函数f （x ）=2x ﹣，且f （2）=． （1）求实数a 的值； （2）判断该函数的奇偶性；
（3）判断函数f
（x ）在（1，+∞）上的单调性，并证明．
21．已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2分别在x 轴上，离心率为，在其上有一动点A ，A 到点F 1距离的最小值是1，过A 、F 1作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）判断▱ABCD 能否为菱形，并说明理由．
（Ⅲ）当▱ABCD 的面积取到最大值时，判断▱ABCD 的形状，并求出其最大值．
22．已知函数()2
ln f x x bx a x =+-.
（1）当函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*
0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；
（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=，求证：()00f x '>．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l 的极坐
标方程为cos sin 2ρθρθ-=，曲线C 的极坐标方程为2
sin 2cos (0)p p ρθθ=>．
（1）设t 为参数，若2x =-+，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于,P Q ，设(2,4)M --，且2
||||||PQ MP MQ =⋅，求实数p 的值．
24．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点P（1，0），斜率为，曲线C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．
（Ⅰ）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
云县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6，
∴（2﹣）•=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2，
∴2﹣在方向上的投影为=．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．
2．【答案】A
【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得：
①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，
故①正确；
但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，
故②错．
故选A．
【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．3．【答案】A
【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，
），且a2＜，
∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），
则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，
即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是解决本题的关键．
4．【答案】A
【解析】解：∵，
只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．
故选A．
【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．
5．【答案】D
【解析】解：降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P，设：降水量X至少是100为事件A，工期延误不超过15天的事件B，
P（A）=0.6，P（AB）=0.3，
P=P（B丨A）==0.5，
故答案选：D．
6．【答案】D
【解析】由定积分知识可得，故选D。

7．【答案】C
【解析】解：由于q=2，
∴
∴；
故选：C．
8．【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若，则成立；
反过来，若，则或
所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A
9． 【答案】B
【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ，
∴=
（2πr ）2
h ，
∴π=
．
故选：B ．
10．【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，)3,1(A ，要使目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则需直线l 过点A 时截距最大，即z 最大，此时1>l k 即可.
11．【答案】 C
【解析】解：对于A ，直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，则m 与n 可能平行，可能异面，故不正确；
对于B ，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确； 对于C ，根据线面垂直的判定定理可得正确；
对于D ，如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么可能m ⊥β，也可能m 和β斜交，；
故选：C ．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．
12．【答案】D
【解析】解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，
则集合A*B 中的元素可能为：0、2、0、4， 又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，
其所有元素之和为6；
故选D．
【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．
二、填空题
13．【答案】5
【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r
令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．
14．【答案】90°．
【解析】解：∵
∴=
∴
∴α与β所成角的大小为90°
故答案为90°
【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．
15．【答案】2016．
【解析】解：∵f（x）=f（2﹣x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1﹣x）=f（1+x）．
∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=，
∴由对称性得，f（）=f（）=0，
∴函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，
即函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
∴f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016，
故答案为：2016．
16．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然1[]x x x -<≤，①是真命题；对于②，由{}2
2sin
cos []1x x +=得，
{}22sin 1cos []x x =-，即{}22sin sin []x x =.当12x << 时，011x <-<，0sin(1)sin1x <-<，此时
{}22sin sin []x x =化为22sin (1)sin 1x -=，方程无解；当23x ≤< 时，021x ≤-<，0sin(2)sin1x ≤-<，此时{}2
2sin
sin []x x =化为sin(2)sin 2x -=，所以22x -=或22x π-+=，即4x =或x π=，所以原方
程无解.故②是假命题；对于③，∵3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），∴1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，3313a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
，4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，…，31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦，33[]3n n a n n ⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
，所以数列{}n a 的前3n 项之和为3[12(1)]n n +++-+=231
22
n n -，故③是真命题；对于④，由
17．【答案】38．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z 最大，
由
，解得
，
即A （3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32， 故答案为：38
18．【答案】1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）
【解析】当x ＜0时，由f （x ）﹣1=0得x 2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，
当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得
110x x
e
+-=，得x=0， 由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2， 即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2，
作出函数f （x ）的图象如图：
y=
1x x
e +≥1（x ≥0）， y ′=1x
x e
-，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数，
x=1时，函数取得最大值：1
1e
+，
当1＜a ﹣211e <+时，即a ∈（3，3+1
e ）时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，
当a ﹣2=1+1e 时，即a=3+1
e 时则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当a ＞3+1
e 时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点
当a=1+1
e 时，则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当11{ 21
a e a >+-≤时，即a ∈（1+1e
，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．
综上a ∈1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，），函数有3个零点． 故答案为：11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
因
为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
，所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2
222
256y y =
即2
2y ＝16，24y =?时等号成立. 圆的直径OS
=
因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8
时，min OS =S 的坐标为
168±（，）． 20．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=2x ﹣，且f （2）=， ∴4﹣=， ∴a=﹣1；（2分） （2）由（1）得函数，定义域为{x|x ≠0}关于原点对称…（3分）
∵
=
，
∴函数
为奇函数．…（6分）
（3）函数f （x ）在（1，+∞）上是增函数，…（7分） 任取x 1，x 2∈（1，+∞），不妨设x 1＜x 2
，则
=
…（10分）
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数…（12分）
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（I）由题意可得：，解得c=1，a=2，b2=3．
∴椭圆E的方程为=1．
（II）假设▱ABCD能为菱形，则OA⊥OB，k OA•k OB=﹣1．
①当AB⊥x轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得：=1，解得y=，
取A，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD不能为菱形．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=．
∴
k OA•k OB=====
，
假设=﹣1，化为k2=﹣，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．
综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．
（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形ABCD=6．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2
﹣12=0，
∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．
|AB|=
=．
点O 到直线AB 的距离d=．
∴S 平行四边形ABCD =4×S △OAB =
=2×
×
=
．
则S 2=
=＜36，
∴S ＜6．
因此当平行四边形ABCD 为矩形面积取得最大值6．
22．【答案】（1）()2
6ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析. 【解析】
试
题解析： （1）()2a
f'x x b x =+-
，所以(1)251(1)106
f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， ∴函数()f x 的解析式为2
()6ln (0)f x x x x x =-->；
（2）22
626
()6ln '()21x x f x x x x f x x x x
--=--⇒=--=，
因为函数()f x 的定义域为0x >，
令(23)(2)3
'()02
x x f x x x +-=
=⇒=-或2x =，
当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，
当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，
（3）当1a =时，函数2
()ln f x x bx x =+-，
21111()ln 0f x x bx x =+-=，2
2222()ln 0f x x bx x =+-=，
两式相减可得22
121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=
-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001
'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，
所以12120121212
ln ln 2
'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+-
-+ 212121221221122112211
1
21ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
设21
1x
t x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，
∴22
222
14(1)4(1)'()0(1)(1)(1)
t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，
∴()0h t >，又21
1
0x x >-，所以0'()0f x >．
考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 23．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为，
∴直线l的一个参数方程为（t为参数）；
∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）2=4ρcosθ，
∴y2=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．
（Ⅱ）把代入y2=4x整理得：3t2﹣8t﹣16=0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则，
∴．
精选高中模拟试卷
【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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