03-第二十二章22.1.3二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质

确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为 (1,2),故A、B、C均不正确.∵抛物线开口向上,顶点(1,2)在第一象限, ∴抛物线与x轴没有交点,故D正确.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
的面积为16,则抛物线l2的函数表达式为
.
图22-1-3-2
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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解析 当y=0时,有 1 (x-2)2-2=0,
2
解得x1=0,x2=4,∴OA=4.
∵S阴影=OA·AB=16,∴AB=4,
∴抛物线l2的函数表达式为y= 1 (x-2)2-2+4= 1 (x-2)2+2.
当x=0时,y有最大值,y最大值=k
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例1 (2017湖南邵阳模拟)关于二次函数y=-2x2+1的图象,下列说法中,正 确的是 ( ) A.对称轴为直线x=1 B.顶点坐标为(-2,1) C.可以由二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位得到 D.在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降
当x=h时,y有最大值,y最大值=0
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例2 (2017广东潮州潮安期中)二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,以下说法:
①它们的图象都是开口向上;②它们的图象的对称轴都是y轴,顶点坐标
都是原点(0,0);③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;④它
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题型三 抛物线的平移与阴影面积问题
例3 (2018江西南昌东湖月考)如图22-1-3-2,已知抛物线l1:y= 12 (x-2)2-2
与x轴分别交于O、A两点,将抛物线l1向上平移得到l2,过点A作AB⊥x轴
交抛物线l2于点B,如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分
C.y3>y2>y1 D.y1>y2>y3 解析 由抛物线解析式可知,抛物线开口向上,对称轴是x=2,当x>2时,y 随x的增大而增大,当x<2时,y随x的增大而减小.∵(-2,y3)关于x=2的对称 点为(6,y3),又6>4>2,∴y3>y1>y2.故选A. 答案 A 方法归纳 已知二次函数的解析式和点的横坐标时,可以直接求出函数 值进行比较,也可以把点转化到对称轴的同一侧,然后比较大小;当二次 函数的解析式中含有未知系数,不能代入求函数值时,可以利用二次函 数的性质进行比较或者画出函数图象进行比较.
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8.(2019湖北黄石期中)函数y=2(x+1)2+1,当x 小. 答案 ≤-1
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初中数学（人教版）
九年级 上册
第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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知识点一 二次函数y=ax2+k的图象和性质 二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线,可以看成由y=ax2的图象沿y
轴向上(或下)平移|k|个单位长度得到. 二次函数y=ax2+k的图象与性质总结如下:
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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答案 A 方法技巧 解答双图象问题一般有以下三种方法:(1)分类讨论法:根据 函数系数的正负分类讨论;(2)逐项排除法:假定选项中的某一个函数图 象正确,然后判断另一函数图象是否合理,或根据两函数图象确定系数 的取值范围,取值相同的正确,取值不同的错误;(3)特殊值法:取使函数 有意义的简单数值代入两种函数解析式中,画出其大致图象,再与给出 的选项相对照.
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2.(2018河南许昌长葛月考)抛物线y=-2x2-5的开口方向
是
,顶点坐标是
.
,对称轴
答案 向下;y轴;(0,-5) 解析 ∵y=-2x2-5,∴a=-2<0,∴抛物线开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标 为(0,-5).
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识点二 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 3.二次函数y=-2(x-1)2的图象大致是 ( )
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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题型一 利用二次函数的增减性比较大小 例1 (2019浙江宁波奉化期中)若点A(4,y1),B(2,y2),C(-2,y3)是抛物线y=(x -2)2+1上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为 ( )
A.y3>y1>y2 B.y1>y3>y2
243;2
2
点拨 抛物线的平移只改变了位置,不改变抛物线的形状和大小.
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知识点一 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.(2019安徽合肥包河月考)在同一坐标系中,作y=3x2+2,y=-3x2-1,y= 1 x2的
解析 抛物线y=-x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向右平移一个单位得
到对应点的坐标为(1,0),所以平移后,所得抛物线相应的函数解析式为
y=-(x-1)2.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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知识点三 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 5.(2018江苏盐城阜宁期中)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正
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6.(2018贵州毕节中考)将抛物线y=x2向左平移2个单位,再向下平移5个 单位,平移后所得新抛物线的表达式为 ( ) A.y=(x+2)2-5 B.y=(x+2)2+5 C.y=(x-2)2-5 D.y=(x-2)2+5 答案 A 抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),先向左平移2个单位,再向下 平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为(-2,-5),所以平移后的抛物线的 解析式为y=(x+2)2-5.故选A.
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题型二 二次函数图象与一次函数图象的共存问题 例2 (2019湖北武汉江夏月考)在同一坐标系中,一次函数y=-kx+2与二 次函数y=x2+k的图象可能是 ( )
解析 由二次函数y=x2+k可知,抛物线开口向上,由一次函数y=-kx+2可 知,直线与y轴的交点为(0,2),当k>0时,二次函数的图象顶点在y轴正半 轴,一次函数的图象经过第一、二、四象限;当k<0时,二次函数的图象顶 点在y轴负半轴,一次函数的图象经过第一、二、三象限.故选A.
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答案 D 点拨 形如y=ax2+k的二次函数图象的对称轴为y轴,顶点坐标为(0,k),可 以由二次函数y=ax2的图象向上(或下)平移|k|个单位长度得到.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识点二 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
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二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线,可以看成由y=ax2的图象向 左(或右)平移|h|个单位长度得到.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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a的符号
图象
开口方向 对称轴
顶点坐标 增减性 最值
a>0
a<0
向上
向下
y轴
y轴
(0,k)
(0,k)
当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时, 当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,
y 随x的增大而增大
y 随x的增大而减小
当x=0时,y有最小值,y最小值=k
3
图象,则它们 ( )
A.都是关于y轴对称 B.顶点都在原点
C.都是开口向上
D.以上都不对
答案 A 观察三个二次函数解析式可知,对称轴都是y轴,故A正确;三
个函数图象的顶点坐标分别为(0,2),(0,-1),(0,0),它们开口方向分别为向
上,向下,向上,故B,C,D都错误.故选A.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质总结如下:
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
向上
向下
x=h
x=h
(h,0)
(h,0)
当x<h时,y随x的增大而减小;当x>h时,y 当x<h时,y随x的增大而增大;当x>h时,y随x的增大
随x的增大而增大
而减小
当x=h时,y有最小值,y最小值=0
随x的增大而增大
随x的增大而减小
当x=h时,y有最小值,y最小值=k
当x=h时,y有最大值,y最大值=k
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
例3 (2019山东临沂蒙阴期中)对于二次函数y=- 1 (x-2)2-3,下列说栏法目正索引
4
确的是 ( ) A.其图象的开口向上 B.其图象的对称轴为x=2 C.其图象的顶点坐标为(-2,-3) D.当x>2时,y随x的增大而增大
们的开口的大小是一样的.
其中正确的说法有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 分析二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2的性质如下:
y=3x2+1
y=3(x-1)2
结论
开口方向
开口向上
开口向上
①正确
对称轴
y轴
顶点坐标
(0,1)
x=1 ②错误
(1,0)
增减性
当x>0时,y随着x的增大而增大 当x>1时,y随着x的增大而增大
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答案 B 二次函数y=-2(x-1)2的图象开口向下,对称轴是x=1,顶点坐标 为(1,0),故选B.
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4.(2018广东汕尾陆丰期中)将抛物线y=-x2向右平移一个单位,所得抛物
线相应的函数解析式为
.
答案 y=-(x-1)2
解析 对于二次函数y=-2x2+1的图象,分析如下:
函数
分析
对称轴为直线x=0
y=-2x2+1
顶点坐标为(0,1) 可以由二次函数y=-2x2的图象向上平移1个单位得到
在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降
结论 A错误 B错误 C错误 D正确
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识点三 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,可以看成由y=ax2的图象 向左(或右)平移|h|个单位长度,再向上(或下)平移|k|个单位长度得到.平 移的规律可总结为:“左加右减自变量,上加下减常数项”.由二次函数 y=ax2的图象到y=a(x-h)2+k的图象具体的平移过程如图22-1-3-1所示.
解析 二次函数y=- 1(x-2)2-3的图象具有以下性质:开口向下,对称轴是x
4
=2,顶点坐标为(2,-3),当x>2时,y随x的增大而减小,当x<2时,y随x的增大 而增大.故A、C、D说法错误,B说法正确.故选B. 答案 B 学法指导 解答与二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质有关的问题,关键 是弄清表达式中各常数与图象和性质的关系:a决定抛物线的开口方向, x=h是抛物线的对称轴,(h,k)是抛物线的顶点坐标.
图22-1-3-1
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质总结如下:
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向 对称轴
顶点坐标 增减性 最值
向上
向下
x=h
x=h
(h,k)
(h,k)
当x<h时,y随x的增大而减小;当x>h时,y 当x<h时,y随x的增大而增大;当x>h时,y
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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7.(2015浙江台州中考)设二次函数y=(x-3)2-4图象的对称轴为直线l,若点 M在直线l上,则点M的坐标可能是 ( ) A.(1,0) B.(3,0) C.(-3,0) D.(0,-4) 答案 B 因为二次函数y=(x-3)2-4图象的对称轴是直线x=3,所以点M的 横坐标是3.故选B.
③错误
开口大小
因为a=3,所以它们的开口的大小是一样的
④正确
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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答案 B 温馨提示 对于抛物线y=a(x-h)2,讨论其增减性时,应按x>h和x<h分段, 而不是按x>0和x<0分段.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质