2023-2024学年上海市奉贤区高考数学冲刺模拟试题(一模)含答案

2023-2024学年上海市奉贤区高考数学冲刺模拟试题
（一模）
一、填空题
1．已知i 为虚数单位，则复数1i -的虚部是______．
【正确答案】1
-【分析】根据复数虚部的定义即可求解.
【详解】根据复数虚部的定义可知，复数1i -的虚部是1-.
故1
-2．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第70百分位数为______．
【正确答案】7
【分析】根据百分位数的定义即可求解.
【详解】将数据从小到大重新排列为1,2,4,5,6,7,8,9，共8个数据，
由于870% 5.6⨯=，所以第70百分位数为7.
故7
3．不等式201
x x ≥-的解集是______．【正确答案】(){}
1,0+∞ 【分析】把分式不等式转化为()21010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩
，从而可解不等式.【详解】因为2
01x x ≥-，所以()21010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩
，解得1x >或0x =，所以不等式201
x x -≥+的解集是(){}1,0+∞ .故(){}
1,0+∞ 4．二项式()10
12x +展开中，2x 项的系数为______．【正确答案】180
【分析】求得二项式()1012x +展开式的通项，进而求得展开式中2x 的系数.
【详解】由题意，二项式()10
12x +的通项为11010C (2)2C r r r r r r T x x +==⋅，令2r =，可得22223102C 180T x x =⋅=，
所以二项式()10
12x +展开式中2x 的系数为180.
故答案为.180
5．已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1x x +>，则命题p 的否定为______．
【正确答案】存在正数0x ，使()001e 1x x +≤【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.
【详解】由全称命题的否定为特称命题知：
存在正数0x ，使()001e 1x x +≤.
故存在正数0x ，使()001e 1
x x +≤6．抛物线24y x =的准线与圆222x y +=相交于A 、B 两点，则AB =______．
【正确答案】2
【分析】首先求抛物线的准线方程，再根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解.
【详解】24y x =的准线方程为=1x -，圆心()0,0到直线=1x -的距离为1，
所以弦长2AB ==.
故2
7．在平行四边形ABCD 中，12
BE BC = ，13AF AE = ．若AB mDF nAE =+ ，则m n +=______．【正确答案】43/113
【分析】利用平面向量的线性运算求出,m n 即可.
【详解】由题意可得()
1122AB AE EB AE DA AE DF FA =+=+=++ 11152326AE DF AE DF AE ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭ ，所以12
m =，56n =，所以43m n +=.
故4
3
8．已知数列{}n a 满足1212n n n a a a ++⋅⋅=-，12a =-，214
a =，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为______．
【正确答案】1【分析】根据1212
n n n a a a ++⋅⋅=-，判断出{}n a 是一个周期数列，从而求前n 项积即可.【详解】1212
n n n a a a ++⋅⋅=- ,12312n n n a a a +++∴⋅⋅=-，两式相除得：3 1n n
a a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列,由12a =-，214
a =，得：3121 1.2a a a =-=⋅记数列{}n a 的前n 项积为n T ,结合数列的周期性，，当*N k ∈时,
()31231412k k k T a a a ⎛⎫== ⎪⎭
≤-⎝，()3112341122122k k k T a a a a +⎛⎫⎛⎫==-⋅-≤-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()321234514122k
k k T a a a a a +⎛⎫==⋅- ⎪⎭≤-⎝，所以数列{}n a 的前n 项积的最大值为1.
故1
9．两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为
32π3
，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______.
【正确答案】4π
【分析】根据球的体积公式，结合球的性质、圆锥的体积公式进行求解即可.
【详解】设球的半径为r ，因为球的体积为32π3，所以有34π32π233r r =⇒=，设两个圆锥的高分别为12,h h ，于是有12:1:3h h =且1224h h r +==，
所以有121,3h h ==，设圆锥的底面半径为R ，
所以有222(21)23R R +-=⇒=，
因此这两个圆锥的体积之和为21π(3)(13)4π3
+=，故4π
10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．
【正确答案】9【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件
111a c
+=，再利用基本不等式即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式
由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线定义和三角形面积公式得
111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c +=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c
+=++=++≥+⋅=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.
故答案为.9
［方法二］：角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式由三角形内角平分线性质得向量式a c BD BA BC a c a c
=+++ ．因为1BD =，所以2222212()a c ac BA BC BA BC a c a c a c ⎛⎫⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
，化简得1ac a c =+，即ac a c =+，亦即(1)(1)1a c --=，
所以44(1)(1)5524(1)(1)9a c a c a c +=-+-+≥+--=，
当且仅当4(1)1a c -=-，即3,32
a c ==时取等号．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如图5，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设(,0)C a
，
11,22D A c ⎛⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭
．因为A ，D ，C 三点共线，则AD CD k k =，即222111222
c a =---，则有a c ac +=，所以111a c +=
．下同方法一．
［方法四］：角平分线定理＋基本不等式
在BDC
中，CD
，同理AD =理知CD BC AD AB =
a c
=，两边平方，并利用比例性质得2211a a c c -=-，整理得()()0a c a c ac -+-=，当a c =时，可解得2,410a c a c ==+=．当a c ac +=时，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在ABD △与BCD △中，由正弦定理得
11,sin 60sin sin 60sin AD CD A C ==︒︒．在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin120sin 60sin 60a b AD CD AD CD A B +===+︒︒︒
．所以11sin sin sin a A A C =+，由正弦定理得111a a a c
==+，即ac a c =+，下同方法一．［方法六］：相似＋基本不等式
如图6，作AE BC ∥，交BD 的延长线于E ．易得ABE 为正三角形，则,1AE c DE c ==-
．由ADE CDB ∽，得AE DE BC BD =，即11
c c a -=，从而a c ac +=．下同方法一．
【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；
方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到,a c 的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；
方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；
方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；
方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．
11．设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条
渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为_______________________．
【分析】由1POF ∠与2POF ∠互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于,a c 的方程.【详解】如图所示：
因为焦点2F 到渐近线的距离为b ，所以2||PF b =，则OP a =，所以1PF =，
因为12cos cos POF POF ∠=-∠，所以222222)22a c a c b ac ac
+-+-=-，
解得.223c a e =⇒求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，本题主要通过两次利用余弦定理进行代数运算，找到,a c 关系求得离心率.
12．若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．
【正确答案】()()
,40,-∞-+∞
【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围.
【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，
设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e x k x a =++,
切线方程为：()()()00000e 1e x x y x a x a x x -+=++-,
∵切线过原点，∴()()()00000e 1e x x x a x a x -+=++-,
整理得：2000x ax a +-=,
∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a <-或0a >,
∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞ ,
故()()
,40,-∞-+∞ 二、单选题
13．记函数()π()sin 04f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭>的最小正周期为T ．若ππ2T <<，且π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω=（
）A ．3
4B ．9
4C ．15
4D ．27
4
【正确答案】C 【分析】由最小正周期
ππ2T <<可得24ω<<，再由π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可得ππππ,Z 342k k ω+=+∈，即可求得154
ω=.【详解】根据最小正周期
ππ2T <<，可得π2ππ2ω<<，解得24ω<<；又π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即π3x =是函数()f x 的一条对称轴，所以ππππ,Z 342
k k ω+=+∈，解得33,Z 4k k ω=+∈.又24ω<<，当1k =时，154
ω=
.故选：C
14．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8
组：[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（）
A ．20
B ．40
C ．64
D ．80
【正确答案】D 【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.
【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=.故选：D.
15．上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22℃．立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（
）
A ．总体均值为25℃，中位数为23℃
B ．总体均值为25℃，总体方差大于0℃
C ．总体中位数为23℃，众数为25℃
D ．总体均值为25℃，总体方差为1℃
【正确答案】D
【分析】对于AB ，取连续五天的平均气温为21C,22C,23C,29C,30C ︒︒︒︒︒可判断；对于C ，取连续五天的平均气温为21C,22C,23C,25C,25C ︒︒︒︒︒可判断；对于D ，用反证法可验证.
【详解】对于A ，如连续五天的平均气温为21C,22C,23C,29C,30C ︒︒︒︒︒，满足总体均值为25C ︒，中位数为23C ︒，故A 不正确；
对于B ，如连续五天的平均气温为21C,22C,23C,29C,30C ︒︒︒︒︒，满足总体均值为25℃，总体方差大
于0℃，故B 不正确；
对于C ，如连续五天的平均气温为21C,22C,23C,25C,25C ︒︒︒︒︒，满足总体中位数为23℃，众数为25℃，故C 不正确；
对于D ，当总体均值为25C ︒，总体方差为1C ︒，
若存在有一天气温低于22C ︒，不妨令122C x ︒<，根据方差公式()()()()()2222221234515s x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣
⎦，可得()22192225155
s ⨯=>->，因为方差为1，所以不可能存在有一天气温低于22C ︒，故D 正确.
故选：D
16．记函数11(),y f x x D =∈，函数22(),y f x x D =∈，若对任意的x D ∈，总有21()()f x f x ≤成立，则称函数1()f x 包裹函数2()f x .判断如下两个命题真假：
①函数1()f x kx =包裹函数2()cos f x x x =的充要条件是1k ≥；②若对于任意120,()()p f x f x p >-<对任意x D ∈都成立，则函数1()f x 包裹函数2()f x .则下列选项正确的是（
）A ．①真②假
B ．①假②真
C ．①②全假
D ．①②全真【正确答案】D 【分析】①根据包裹函数的定义可以得到cos x k ≤，由cos 1x ≤，可得1k ≥，即①正确；②利用反证法证明可得12()()0f x f x -=，即12()()f x f x =，则函数1()f x 包裹函数2()f x ，即②正确.
【详解】①因为函数1()f x kx =包裹函数2()cos f x x x =，所以cos cos cos x x kx x x k x x k ≤⇔≤⇔≤，又因为cos 1x ≤，所以1k ≥，
所以函数1()f x kx =包裹函数2()cos f x x x =的充要条件是1k ≥，故①正确；②假设12()()0f x f x ->，令12()()0f x f x m -=>，则当2
m p =时，12()()2m f x f x m p -=>=，与题意中12()()f x f x p -<矛盾，
故假设不成立.所以12()()0f x f x -=，即12()()f x f x =，所以函数1()f x 包裹函数2()f x ，故②正确.故选：D.
三、解答题
17．如图所示，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F ．
(1)求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；
(2)连结B 1D ，求直线B 1D 与平面BDE 所成的角的大小．
【正确答案】(1)证明见解析
(2)arcsin 9
．【分析】（1）以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图利用向量法证DE ∥FB 1，进而//DE 平面11B D F ，同理//BD 平面11B D F ，可证平面BDE ∥平面B 1D 1F ；
（2）利用向量法可求直线B 1D 与平面BDE 所成的角的大小．
【详解】（1）以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则B （1，0，0），D （0，1，0），E （0，0，2），B 1（1，0，4），D 1（0，1，4），F （1，1，2），∵()10,1,2DE FB ==- ，
∴DE ∥FB 1，
1//,DE FB DE ⊄ 平面11B D F ，1FB ⊂平面11B D F ，//DE ∴平面11B D F ，
同理//BD 平面11B D F ，
∵BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，BD DE D ⋂=平面BDE ，
∴平面//BDE 平面11B D F ．
（2）同（1）建系，()()1,1,0,1,0,2BD BE =-=-
设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =
，则020n BD x y n BE x z ⎧⋅=-+=⎪
⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得2x y x z =⎧⎨=⎩，
不妨取z ＝1，则()2,2,1n =r
，又()11,1,4DB =-
，
设直线B 1D 与平面BDE 所成的角为θ，
故1
1sin 9n DB n DB θ⋅===⋅ ，直线B 1D 与平面BDE
所成的角为arcsin
9
．18．已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足()
*
32n n a S n n =+∈N （1）求证：数列12n a ⎫⎧
+⎨⎬⎩
⎭为等比数列；
（2）记12n n T S S S =++⋯+，求n T 的表达式．【正确答案】（1）见解析；（2）22
39884
n n n +---.
【分析】（1）2n ≥时，由32n n a S n =+,得11321n n a S n --=+-，然后利用1n n n S S a --=，可得到
131n n a a -=+，进而得到1113,22n n a a -⎛
⎫+
=+ ⎪⎝⎭从而可以证明数列12n a ⎫⎧+⎨⎬⎩⎭
为等比数列；（2）由（1）
可以得到n a 的通项公式，代入32n n a S n =+可得到n S 的表达式，进而利用分组求和即可求出n T 的表达式．
【详解】（1）1n =时，11132121a S a =+=+，所以11a =，当2n ≥时，由32n n a S n =+,得11321n n a S n --=+-，
则()111332212121n n n n n n n a a S n S n S S a ----=+--+=-+=+，即131n n a a -=+，所以11111313,222n n n a a a --⎛
⎫+
=++=+ ⎪⎝
⎭又113022a +=≠，故12n a ⎫⎧
+⎨⎬⎩
⎭就是首项为32，公比为3的等比数列，
则1133,22n n a -+
=⋅即131322
n n a -=⋅-.（2）将131322n n a -=
⋅-代入32n n a S n =+得()31
32344
n n S n =⋅-+,所以()
()
231231
3333572344
n n n T S S S n =++⋯+=
+++⋯+-++⋯++=()
()()
()2231344393931413484884
n n n n n n n n n +-++⋅-=--=----.
分组求和与并项求和法：
把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和，例如对通项公式为22n n a n =+的数列求和．
19．我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x （单位：dm ）与遥测雨量y （单位：dm ）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如表：样本号i 12345678910人工测雨量i x 5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遥测雨量i
y 5.438.07 6.57 6.147.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49
i i
x y -0.050.08
0.20.57
0.420.030.090.110.020.26
并计算得10
21
353.6i
i x ==∑，10
21
361.7i
i y ==∑，10
1
357.3i i i x y ==∑，233.62x =，234.42y =，34.02xy =，
(1)求该地区汛期遥测雨量y 与人工测雨量x 的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
(2)规定：数组(),i i x y 满足0.1i i x y -<为“Ⅰ类误差”；满足0.10.3i i x y ≤-<为“Ⅱ类误差”；满足
0.3i i x y -≥为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机
抽取3组数据与“Ⅲ
类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X ，求X 的概率分布与数学期望．
附：相关系数()()
10
i
i
x x y y r --=
∑17.4
≈【正确答案】(1)0.98r ≈，正相关性，相关性很强；(2)分布列见解析；期望()15
8
E X =
【分析】（1）根据参考公式和数据，代入求相关系数，即可判断相关性强或弱；
（2）根据条件可知，0,1,2,3X =，再根据超几何分别求分布列和数学期望.
【详解】（1）因为(
)()
10
10
10i
i
i i
x x y y x y xy
r
---=
∑∑
=
17.1
0.9817.4
=
≈，由于样本相关系数0.98r ≈非常接近于1，可以推断该地区汛期遥测雨量y 与人工测雨量x ，两个变量正线性相关，且相关程度很强.
（2）10组数据中，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，
从“Ⅰ类误差”，“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据，记抽到“Ⅰ类误差”的数据组数为X ，则X 的可取值为0，1，2，3，
由题意可得，()035338C C 10C 56P X ===，()1253
3
8C C 151C 56
P X ===，
()215338C C 30152C 5628P X ====，()3053
38C C 1053C 5628
P X ====，
则X 的分布列为X
0123P
1
56
1556
1528
528
所以()11515515012
3565628288
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=20．如图，中心在原点O 的椭圆Γ的右焦点为()
F ，长轴长为8．椭圆Γ上有两点
P 、Q ，连接OP 、OQ ，记它们的斜率为OP k 、OQ k ，且满足1
4
OP OQ k k ⋅=-
．(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)
求证：2
2
OP OQ +为一定值，并求出这个定值；
(3)设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP 和PQ 分别与直线x =交于点M 、N ，若PQR 和PMN
的面积相等，求点P 的横坐标．
【正确答案】
(1)22
1
164
x y +=(2)证明见解析，20(3)点P 横坐标为4
【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及焦点坐标，求解a 、c ，然后求解b ，得到椭圆方程；（2）设()11,P x y 、()22,Q x y ，通过14
OP OQ k k ⋅=-．结合得到坐标满足方程，转化求解22OP OQ +为一定值即可．
（3）通过PQR PMN S S =△△，推出
PM PQ PR
PN
=，转化求解点P 的横坐标即可．
【详解】（1）由已知条件，设椭圆()22
22:10x y a b a b Γ+=>>，
则4c a ==，解得2b =，
椭圆22
:1164
x y Γ+=．
（2）证明：设()11,P x y 、()22,Q x y ，则1212
14OP OQ y y k k x x ⋅=-
=，整理得121240x x y y +=，由22112
22
24444x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴222222
2212121238()4OP OQ x x y y x x +=+++=++，∵22222
2
12121
2(4)(4)4416
x x x x y y =--=
，解得22
1216x x +=，将其代入22221238()204
OP OQ x x +=++=，为定值.
（3）设()11,P x y 、()22,Q x y ，由椭圆的对称性可知，()22,R x y --，∵PQR PMN S S =△△，∴PM PN PQ PR ⋅=⋅，∴PM PQ PR
PN
=
，∴
112x x x =+
112x x x -=+
222112)x x x -=-（
或者222121)x x x =-（．
∵22
1216x x +=
，∴211640x +-=
或者2113320x -+=（舍），
解得：1x =，∴点P
横坐标为．
易错点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．已知函数()ln a
f x ax x x
=--
．(1)若()f x 是定义域上的严格增函数，求a 的取值范围；(2)若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；
(3)设1x 、2x 是函数()f x 的两个极值点，证明：()(
)12f x f x -<．
【正确答案】(1)1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
；
(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
；(3)证明见解析.
【分析】（1）先求出函数的导数()f x '，由()f x 是定义域上的严格增函数转化为()0f x '≥在其定义域恒成立，再参变分离，利用基本不等式求得最值，进而求解即可；
（2）先求出函数的导数，利用含参函数单调性的讨论中首项系数含参数问题讨论，将a 分为零正负，又通过判别根式对导函数是否有根进行分类求解即可；
（3）由题意要证()(
)12f x f x -，只要证()()1221f x f x x x -<-，涉及到转化的思想，令
211x t x =
>，(
)21()ln 1t g t t t -=++，求()g t 的最小值即可求得结果.
【详解】（1）依题意，222
1()(0)
a ax x a f x a x x x
x
-+'=-+=>.若()f x 是定义域上的严格增函数，
则22
0ax x a
x -+≥对于()0,x ∈+∞恒成立，即21x a x ≥+对于()0,x ∈+∞恒成立，
而2
11
112x x x x =≤++，当且仅当1
x x =，即1x =时，等号成立.
所以12a ≥
，即a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
；（2）由（1）知222
1()(0)a ax x a f x a x x x x -+'=-+=>.①当0a ≤时，在(1,)x ∈+∞上()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以0a ≤不符合题设.
②当102a <<时，令()0f x '=，得20ax x a -+=
，解得()110,12x a
=
，()21,x ∞=+，
所以当()21,x x ∈时()0f x '<，所以()f x 在()21,x 上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以1
02
a <<不符合题设.③当1
2
a ≥
时，判别式2140a ∆=-≤，所以()0f x '≥，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=.
综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
（3）由（2）知，当1
02
a <<时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，
所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点.由（2）知，121=x x ，121
x x a
+=
，则21x x a
-=.综上，要证()(
)12f x f x -<()()1221f x f x x x -<-，
因为()()()()221
211221112
1ln x x x
x x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()(
)21222121112122ln
ln x x x x
a x x x x x x x x -=-+--=+(
)2
1
22
1
1
21ln 1x x x x x x -=
-+，设211x t x =
>，(
)21()ln 1t g t t t -=+-+.
所以(
)(
)
2
22
1
414()0
11g t t t t -'=
-=>++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=.
所以()()21120x x f x f x --+>，即得()()1221f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立.
方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。