大物-静电场
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电磁学研究对象
电磁现象的基本规律，电磁场 和物质的电磁性质。
电：电荷，电场，电流等。
磁：磁体，磁性，磁场等。
电磁相互作用：电磁感应，电磁波等。
电磁学的应用: 电力、电气、电子、电器、静电应
用（复印、除尘、喷涂）、磁记录、磁 流体发电、磁悬浮、微波、通信------
导致第二次工业革命——电气化
THE ELECTROSTATIC FIELD
求多个带电体的电场时,可分别1求,然后矢量合成.
四. 场强的计算
1. 点电荷的场强
F 1 qq0
40 r 2
1q
E F / q0 40 r 2
q0 F r
q
1 q
E F / q0 4 0 r 2 r0
2. 点电荷系的场强
n个点电荷q1……qn共同产生的场强
E
n 1
Ei
1 4 0
qi ri 2
荷线密度为)
解: 由对称性分析得场强的方向如图
1 dq
dE
40 r 2
E dEsin d E
dE sin
1
4 0
dq r2
sin
a
1
4 0
(
x
dq 2 a
2
)
sin
dq dx sin
a x2 a2
r
x dx
E
dE sin
dx
20 40 ( x2
a2)
a x2 a2
a
2 0
dx
电量均匀分布面密度为的一半径为R 的圆盘， 求轴线上距盘心为x处p点的场强。
解：y
R q
r
o
z
dr
px
x
dE
E Ei
dq ds 2rdr
xdq
dE
4 0
r2 x2
3 2
R x 2rdr
E
dE
0 4 0
r2 x2
3 2
x ( 1
1
)
2 0 x 2
x2 R2
例2： 无限长均匀带电直线外一点场强(已知电
1. 检验电荷 用来检验电场的性质 条件a）正点电荷(定点检验) b）带电量相对较小(不影响原电场分布)
2. 场强 E
实验:
q0 F 2q0 2F 3q0 3F .....
在给定点, F 不变,
q0
对不同的点,
F q0
不同,
F
令
E q0
F
q0
为电场强度,用于描述电场中各点的性质
讨论:
a) 电场中任一点处的场强 E ,等于单位 正电荷在该处所受的电场力(大小、方向)
n
ds
ds
c)对闭合曲面,取电力线从内穿出时电通量为正。
e E ds
三. 高斯定理 (Gauss theorem) 1. 导出:在点电荷q的电场中,通过求电通量导出.
a)求通过半径为r的球面S的电通量
解: E 1 q 40 r 2
e E dS EdS
s
S
q
q
s 4 0r 2 ds
0
3
(x2 a2)2
dE r
令x
atg
则dx
a
cos2
d
a
x dx
E a
2
a cos2
d
2 cosd
2 0 0（a 1 ）3 2 0a 0
2 0a
cos
例3. 求无限大带电面外任一点的场强(已知面
电荷密度为 )
解法一
解法二
R
x
E
2 0 x
x
E
i
2 0 x
无限大均匀带电平面外任一 点的场强(面电荷密度： )
b)高斯定理求场强大小
r
R E
s
ds
E4r 2
1
0
q
r
E q
S
40r 2
b)r
R
sE
ds
E4r 2
1
0
dq
1
0
dv
1
0
( q ) 4 r 3 4 R3 3
1
0
qr 3 R3
E
qr
4 0 R3
3
E
r
R
r
3）. 无限大均匀带电平面的电场 (面电荷密 度为 )
解：a)对称性分析
高斯面为柱面，侧
均匀带电球体内任一点
E
qr
4 0 R3
E
3
补偿法：均匀带电的大球
0
r
P
r1 -r2
（ ）加均匀带电的小球
o
a E
qr 4 0 R3
O’
（- ） E1 3 0 r1
E2 3 0 r2
E E1 E2 3 0 (r1 r2 ) 3 0 a
§5-4 静电场的环路定理
无电力线通过,侧面上各点E大小相等.
b)高斯定理求场强大小
sE ds 侧 E ds 上 E ds 下E ds
r
侧 E侧 ds E 2rl
l
1 l 0
E 2 0 r
S
高斯定理求场强总结
q
e
E dS
s
0
1. 理论上对任何带电体都成立，实际在计算电
场强度时，要求带电体的电荷分布具有一定的
R r
S面上E大小处处相等,方 向垂直于该面，如图。
S
b) 场强分布的计算
r
R sE
E
ds
q
E4r 2
1
0
q
40r 2
r R E ds E4r 2 s
1 q 0
0 i
R
E0
q r
r
2）. 均匀带电球体的电场 (半径为R,电量为q.)
解: a)对称性分析得,高斯面S上E处处相等
第五章 真空中的静电场
本章研究真空中静止电荷产生的电场 ——真空中静电场的性质和规律。
从静电场对电荷有力的作用和电荷在 静电场中移动电场力作功出发，讨论：
两个描述电场性质的物理量——电场强度、电势 静电场遵循的基本规律——高斯定理、环路定理
§5-1 电荷 库仑定律
一. 电荷的基本知识
1. 种类: 正电荷,负电荷
2. 真空中的库仑定律
大小： F k q1q2 1 q1q2 q1 r
q2
r 2 40 r 2
方向：同种相斥,异种相吸
式中
k 1 9 109牛顿 米２／库仑２
40
０＝8.85 1012库仑２／牛顿 米２
真空的介电常数(电容率）
(Permeability of vacuum)
注意: 该式只适用于处于真空中的点电荷
基本要求
(一) 了解电偶极子的电矩以及电场对电偶极 子的作用. 了解带电粒子在电场中的运动
(二) 掌握场强叠加原理及电势叠加原理， 掌握一些简单带电体和组合带电体的场强 和电势分布的 计算. 掌握电场强度和电势 的积分关系以及微分关系式，并能应用于 具体计算.
(三) 掌握静电场的高斯定理和环路定理. 熟练掌握应用高斯定理计算场强的方法 和条件.
b）E 和检验电荷无关 c）单位：N/C，V/m
F E
q0
三. 场强叠加原理 1. 文字叙述: 电场中任一点的场强,为各电荷单
独存在时在该点场强的矢量和.
N
F F1 F2 F i
N
i 1
E F q0
Fi
i 1
q0
N i 1
Fi q0
E
E2
E1
P
E Ei
2.物理意义:
q
q2
2 . 计算：a)均匀电场、S为平面
1）E的方向与平面垂直
（E 与S同向） e ES
S
2）E的方向与平面法线成角
（E 与S成角）
e ES cos E S
n
S
b)非均匀电场、S为任意曲面 取面积元ds，ds上E可看作均匀。
de E(dscos ) E dS 通过曲面S的电通量
e E ds
一. 电场 (electric field)
电荷
电场
电荷
两种观点 a)超距作用
b)电场作用:电荷
电场
电荷
电 场:电荷周围存在的一种特殊物质。 具有能量、动量和质量。
静电场: 静止电荷(带电体)周围存在的电场
电场的物质性、对外表现
二 . 电场强度(electric field intensity) 定量研究电场的特性
r0
r2
dl
1
4 0
r0
r2
ds
1
4 0
r0
r2
dv
例1.电量q均匀分布在一半径为a 的圆环上，
求轴线上距环为 x 处 p 点的场强。
解：
dq y
dq dl q dl 2a
q a o
x
p
由对称性：Ey Ez 0,
x
E EX
z
d E dE 1 dq 1 dl 40 r 2 40 (a2 x2 )
a
O
( E1 E2 E3 E4 )cos 4
2 2q
4E1
2
0a2
4y
2
+
x
-3
3. 任意带电体的电场
1 dq
dE
E
4
dE
0 r 2
1
4 0
r0
r0 r2
dq
a)线带电体 dq dl
b)面带电体 dq ds
c)体带电体 dq dv
r
dq
dE
P
E
E
E
1
4 0
对称性。
2. 关键在于根据对称性分析，找到适当的高斯 面，使积分简化。
求场强，有时还要综合运用高斯定理 和叠加原理如补偿法
例：（马书P192习题5-19）如图所示，在电 荷体密度为的均匀带电球体中，存在一个 球形空腔。如将带电球心O指向球形空腔球 心O’的矢量用a矢量表示，试求球形空腔中 任意点的电场强度。
2.性质:
ds
a)起于正电荷，止于负电荷。（不闭合
也不中断）
b)两电力线不相交。
3. 说明： a)电力线为假想的线，电场中并不存在。 b)电荷在电场中的运动轨迹并非为电力线。
?
4.几种典型电场的电场线分布 （P161）
二.电通量 (electric flux) 1. 定义：通过电场中任一给定面的电力线总数。
面上无电力线穿出，左
右两端面上，由对称性
S
知各点E相等。
b)高斯定理求场强大小
sE ds E ds E ds E ds
侧
左
右
E ds 0
侧
sE ds E左s E右s
2Es
1
0
ds
s
0
S
E
2 0
4). 无限长均匀带电直线的电场（电荷线密度为 )
解: a)对称性分析,作圆柱型高斯面S,上下面
ri 0
a
例：已知图中四个电荷电量量 +
+
值均为q, 求正方形中心O处的 a O
场强.
-
-
解: E0 E1 E2 E3 E4
方向如图
1q 1 q
q
E1 40 r 2 40 (a 2)2 20a2 E2 E3 E4
E0x E1x E2x E23x E4x 0
1
a
+
E0 E0 y
F12
1 4 0
q1q2 r2
e12
例题两个点电荷所带电荷之和为Q,问它们各带 电荷为多少时,相互间的作用力最大?
解: 设两电荷分别带电q和Q-q
F
(Q q)q
4 0r 2
dF 0 Q 2q 0 dq
q 1Q 2
d 2F
1
( dq2 2 0r 2 0)
§5-2 . 电场、电场强度
一. 静电场力作的功 1. 点电荷电场中电场力的功
电势
在点电荷Q的电场中，将电荷q沿任意路径从a
移到b, Wab ?
Q
dW qE dl qEdl cos q
dr
4 0r 2
rb
Wab
rb dW
ra
rb Qq dr Qq ( 1 1 )
ra 4 0r 2
4 0 ra rb
与路径无关，只决定于起 点和终点的位置。
q
e
E dS
s
0
在真空中的任何静电场中，通过任一闭合
曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷代
数和除以0 。 Gauss定理为求电场强度提供了一条途径。
3.高斯定理的应用
1）. 均匀带电球壳（半径R,电荷量q)的 E(r)=?
解: a) 对称性分析，定E方向
dS q
作高斯面S（半径为r的同 心球面）
E
x i
2 0 x
E
2 0
例4. 求图中场强的空间分布
1
2
3
E
2 0
0
0
0
§5-3. 高斯定理
一. 电力线(电场线) (electric field line) 1.规定： a)切线方向表示电场方向。
b)疏密表示场强大小（电场中任一点
通过垂直于场强的单位面积的电场线
数目等于该点场强的量值 E dN ）
(不能增多，也不能消
贡献。1785年他创立的电和磁 的“库仑定律”是使电磁学研
失，只能相互转移。)
究从定性进入定量阶段的重要 里程碑。
二. 库仑定律 (Coulomb law) 1. 点电荷 (point charge)
理想模型，线度和距离相比可忽略的带电 体（其电量看作集中在一点上） l r
两个点电荷之间的相互作用——库仑定律 一般带电体: 点电荷的集合 带电体间的相互作用:点电荷间相互作用的 叠加
4 0r 2
dS
s
q
4 0r 2
4r 2
q
0
q
r
S
(高斯面)
b) 求通过包围q的任一曲面 S1 的电通量
解: 由电通量的概念和a)的结果可直接得:
q
e
s
E
dS
0
c) 求通过不包围q的任一
q
曲面的电通量
S
解: e E dS 0 S1
s
(高斯面)
S2
d)总结推广----- Gauss定理
2. 定理内容:
Q -Q
2. 性质: 同种相斥,异种相吸
3. 量度: 电量Q, q,单位为库仑(c)
4. 电荷量子化
Q ne e为最小电量单位
e 1.6 1019C
5. 电荷守恒定律
库仑(C.A.Coulomb)
在一个孤立系统中，
1736-1806 十八世纪法国最伟大的物理
电量代数和保持不变。
学家，杰出的工程师，在电学、 磁学、磨擦和工程上都有重大
dEx
dE cos
1
40
q
2a
(a2
dl x2)
x a2 x2
Ex
2a qx
dl
0
4
0
2a
a2 x2
qx
3 2
qx 2a
4 0 2a
a2
x2
a2
x 2
3 2
电磁现象的基本规律，电磁场 和物质的电磁性质。
电：电荷，电场，电流等。
磁：磁体，磁性，磁场等。
电磁相互作用：电磁感应，电磁波等。
电磁学的应用: 电力、电气、电子、电器、静电应
用（复印、除尘、喷涂）、磁记录、磁 流体发电、磁悬浮、微波、通信------
导致第二次工业革命——电气化
THE ELECTROSTATIC FIELD
求多个带电体的电场时,可分别1求,然后矢量合成.
四. 场强的计算
1. 点电荷的场强
F 1 qq0
40 r 2
1q
E F / q0 40 r 2
q0 F r
q
1 q
E F / q0 4 0 r 2 r0
2. 点电荷系的场强
n个点电荷q1……qn共同产生的场强
E
n 1
Ei
1 4 0
qi ri 2
荷线密度为)
解: 由对称性分析得场强的方向如图
1 dq
dE
40 r 2
E dEsin d E
dE sin
1
4 0
dq r2
sin
a
1
4 0
(
x
dq 2 a
2
)
sin
dq dx sin
a x2 a2
r
x dx
E
dE sin
dx
20 40 ( x2
a2)
a x2 a2
a
2 0
dx
电量均匀分布面密度为的一半径为R 的圆盘， 求轴线上距盘心为x处p点的场强。
解：y
R q
r
o
z
dr
px
x
dE
E Ei
dq ds 2rdr
xdq
dE
4 0
r2 x2
3 2
R x 2rdr
E
dE
0 4 0
r2 x2
3 2
x ( 1
1
)
2 0 x 2
x2 R2
例2： 无限长均匀带电直线外一点场强(已知电
1. 检验电荷 用来检验电场的性质 条件a）正点电荷(定点检验) b）带电量相对较小(不影响原电场分布)
2. 场强 E
实验:
q0 F 2q0 2F 3q0 3F .....
在给定点, F 不变,
q0
对不同的点,
F q0
不同,
F
令
E q0
F
q0
为电场强度,用于描述电场中各点的性质
讨论:
a) 电场中任一点处的场强 E ,等于单位 正电荷在该处所受的电场力(大小、方向)
n
ds
ds
c)对闭合曲面,取电力线从内穿出时电通量为正。
e E ds
三. 高斯定理 (Gauss theorem) 1. 导出:在点电荷q的电场中,通过求电通量导出.
a)求通过半径为r的球面S的电通量
解: E 1 q 40 r 2
e E dS EdS
s
S
q
q
s 4 0r 2 ds
0
3
(x2 a2)2
dE r
令x
atg
则dx
a
cos2
d
a
x dx
E a
2
a cos2
d
2 cosd
2 0 0（a 1 ）3 2 0a 0
2 0a
cos
例3. 求无限大带电面外任一点的场强(已知面
电荷密度为 )
解法一
解法二
R
x
E
2 0 x
x
E
i
2 0 x
无限大均匀带电平面外任一 点的场强(面电荷密度： )
b)高斯定理求场强大小
r
R E
s
ds
E4r 2
1
0
q
r
E q
S
40r 2
b)r
R
sE
ds
E4r 2
1
0
dq
1
0
dv
1
0
( q ) 4 r 3 4 R3 3
1
0
qr 3 R3
E
qr
4 0 R3
3
E
r
R
r
3）. 无限大均匀带电平面的电场 (面电荷密 度为 )
解：a)对称性分析
高斯面为柱面，侧
均匀带电球体内任一点
E
qr
4 0 R3
E
3
补偿法：均匀带电的大球
0
r
P
r1 -r2
（ ）加均匀带电的小球
o
a E
qr 4 0 R3
O’
（- ） E1 3 0 r1
E2 3 0 r2
E E1 E2 3 0 (r1 r2 ) 3 0 a
§5-4 静电场的环路定理
无电力线通过,侧面上各点E大小相等.
b)高斯定理求场强大小
sE ds 侧 E ds 上 E ds 下E ds
r
侧 E侧 ds E 2rl
l
1 l 0
E 2 0 r
S
高斯定理求场强总结
q
e
E dS
s
0
1. 理论上对任何带电体都成立，实际在计算电
场强度时，要求带电体的电荷分布具有一定的
R r
S面上E大小处处相等,方 向垂直于该面，如图。
S
b) 场强分布的计算
r
R sE
E
ds
q
E4r 2
1
0
q
40r 2
r R E ds E4r 2 s
1 q 0
0 i
R
E0
q r
r
2）. 均匀带电球体的电场 (半径为R,电量为q.)
解: a)对称性分析得,高斯面S上E处处相等
第五章 真空中的静电场
本章研究真空中静止电荷产生的电场 ——真空中静电场的性质和规律。
从静电场对电荷有力的作用和电荷在 静电场中移动电场力作功出发，讨论：
两个描述电场性质的物理量——电场强度、电势 静电场遵循的基本规律——高斯定理、环路定理
§5-1 电荷 库仑定律
一. 电荷的基本知识
1. 种类: 正电荷,负电荷
2. 真空中的库仑定律
大小： F k q1q2 1 q1q2 q1 r
q2
r 2 40 r 2
方向：同种相斥,异种相吸
式中
k 1 9 109牛顿 米２／库仑２
40
０＝8.85 1012库仑２／牛顿 米２
真空的介电常数(电容率）
(Permeability of vacuum)
注意: 该式只适用于处于真空中的点电荷
基本要求
(一) 了解电偶极子的电矩以及电场对电偶极 子的作用. 了解带电粒子在电场中的运动
(二) 掌握场强叠加原理及电势叠加原理， 掌握一些简单带电体和组合带电体的场强 和电势分布的 计算. 掌握电场强度和电势 的积分关系以及微分关系式，并能应用于 具体计算.
(三) 掌握静电场的高斯定理和环路定理. 熟练掌握应用高斯定理计算场强的方法 和条件.
b）E 和检验电荷无关 c）单位：N/C，V/m
F E
q0
三. 场强叠加原理 1. 文字叙述: 电场中任一点的场强,为各电荷单
独存在时在该点场强的矢量和.
N
F F1 F2 F i
N
i 1
E F q0
Fi
i 1
q0
N i 1
Fi q0
E
E2
E1
P
E Ei
2.物理意义:
q
q2
2 . 计算：a)均匀电场、S为平面
1）E的方向与平面垂直
（E 与S同向） e ES
S
2）E的方向与平面法线成角
（E 与S成角）
e ES cos E S
n
S
b)非均匀电场、S为任意曲面 取面积元ds，ds上E可看作均匀。
de E(dscos ) E dS 通过曲面S的电通量
e E ds
一. 电场 (electric field)
电荷
电场
电荷
两种观点 a)超距作用
b)电场作用:电荷
电场
电荷
电 场:电荷周围存在的一种特殊物质。 具有能量、动量和质量。
静电场: 静止电荷(带电体)周围存在的电场
电场的物质性、对外表现
二 . 电场强度(electric field intensity) 定量研究电场的特性
r0
r2
dl
1
4 0
r0
r2
ds
1
4 0
r0
r2
dv
例1.电量q均匀分布在一半径为a 的圆环上，
求轴线上距环为 x 处 p 点的场强。
解：
dq y
dq dl q dl 2a
q a o
x
p
由对称性：Ey Ez 0,
x
E EX
z
d E dE 1 dq 1 dl 40 r 2 40 (a2 x2 )
a
O
( E1 E2 E3 E4 )cos 4
2 2q
4E1
2
0a2
4y
2
+
x
-3
3. 任意带电体的电场
1 dq
dE
E
4
dE
0 r 2
1
4 0
r0
r0 r2
dq
a)线带电体 dq dl
b)面带电体 dq ds
c)体带电体 dq dv
r
dq
dE
P
E
E
E
1
4 0
对称性。
2. 关键在于根据对称性分析，找到适当的高斯 面，使积分简化。
求场强，有时还要综合运用高斯定理 和叠加原理如补偿法
例：（马书P192习题5-19）如图所示，在电 荷体密度为的均匀带电球体中，存在一个 球形空腔。如将带电球心O指向球形空腔球 心O’的矢量用a矢量表示，试求球形空腔中 任意点的电场强度。
2.性质:
ds
a)起于正电荷，止于负电荷。（不闭合
也不中断）
b)两电力线不相交。
3. 说明： a)电力线为假想的线，电场中并不存在。 b)电荷在电场中的运动轨迹并非为电力线。
?
4.几种典型电场的电场线分布 （P161）
二.电通量 (electric flux) 1. 定义：通过电场中任一给定面的电力线总数。
面上无电力线穿出，左
右两端面上，由对称性
S
知各点E相等。
b)高斯定理求场强大小
sE ds E ds E ds E ds
侧
左
右
E ds 0
侧
sE ds E左s E右s
2Es
1
0
ds
s
0
S
E
2 0
4). 无限长均匀带电直线的电场（电荷线密度为 )
解: a)对称性分析,作圆柱型高斯面S,上下面
ri 0
a
例：已知图中四个电荷电量量 +
+
值均为q, 求正方形中心O处的 a O
场强.
-
-
解: E0 E1 E2 E3 E4
方向如图
1q 1 q
q
E1 40 r 2 40 (a 2)2 20a2 E2 E3 E4
E0x E1x E2x E23x E4x 0
1
a
+
E0 E0 y
F12
1 4 0
q1q2 r2
e12
例题两个点电荷所带电荷之和为Q,问它们各带 电荷为多少时,相互间的作用力最大?
解: 设两电荷分别带电q和Q-q
F
(Q q)q
4 0r 2
dF 0 Q 2q 0 dq
q 1Q 2
d 2F
1
( dq2 2 0r 2 0)
§5-2 . 电场、电场强度
一. 静电场力作的功 1. 点电荷电场中电场力的功
电势
在点电荷Q的电场中，将电荷q沿任意路径从a
移到b, Wab ?
Q
dW qE dl qEdl cos q
dr
4 0r 2
rb
Wab
rb dW
ra
rb Qq dr Qq ( 1 1 )
ra 4 0r 2
4 0 ra rb
与路径无关，只决定于起 点和终点的位置。
q
e
E dS
s
0
在真空中的任何静电场中，通过任一闭合
曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷代
数和除以0 。 Gauss定理为求电场强度提供了一条途径。
3.高斯定理的应用
1）. 均匀带电球壳（半径R,电荷量q)的 E(r)=?
解: a) 对称性分析，定E方向
dS q
作高斯面S（半径为r的同 心球面）
E
x i
2 0 x
E
2 0
例4. 求图中场强的空间分布
1
2
3
E
2 0
0
0
0
§5-3. 高斯定理
一. 电力线(电场线) (electric field line) 1.规定： a)切线方向表示电场方向。
b)疏密表示场强大小（电场中任一点
通过垂直于场强的单位面积的电场线
数目等于该点场强的量值 E dN ）
(不能增多，也不能消
贡献。1785年他创立的电和磁 的“库仑定律”是使电磁学研
失，只能相互转移。)
究从定性进入定量阶段的重要 里程碑。
二. 库仑定律 (Coulomb law) 1. 点电荷 (point charge)
理想模型，线度和距离相比可忽略的带电 体（其电量看作集中在一点上） l r
两个点电荷之间的相互作用——库仑定律 一般带电体: 点电荷的集合 带电体间的相互作用:点电荷间相互作用的 叠加
4 0r 2
dS
s
q
4 0r 2
4r 2
q
0
q
r
S
(高斯面)
b) 求通过包围q的任一曲面 S1 的电通量
解: 由电通量的概念和a)的结果可直接得:
q
e
s
E
dS
0
c) 求通过不包围q的任一
q
曲面的电通量
S
解: e E dS 0 S1
s
(高斯面)
S2
d)总结推广----- Gauss定理
2. 定理内容:
Q -Q
2. 性质: 同种相斥,异种相吸
3. 量度: 电量Q, q,单位为库仑(c)
4. 电荷量子化
Q ne e为最小电量单位
e 1.6 1019C
5. 电荷守恒定律
库仑(C.A.Coulomb)
在一个孤立系统中，
1736-1806 十八世纪法国最伟大的物理
电量代数和保持不变。
学家，杰出的工程师，在电学、 磁学、磨擦和工程上都有重大
dEx
dE cos
1
40
q
2a
(a2
dl x2)
x a2 x2
Ex
2a qx
dl
0
4
0
2a
a2 x2
qx
3 2
qx 2a
4 0 2a
a2
x2
a2
x 2
3 2