人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 上课课件(22张PPT)
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回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一个正数a的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用
(a≥0)表示正数a的算术平方根.
求下列各数的平方根和算术平方根.
9 的平方根 3 ， 算术平方根 3 ；
计算：（1） (5)2 ；（2） (1 2)2 .
解：（1） (5)2 52 5
或 (5)2 -5 5
（2） (1 2)2 = 1- 2 =-（1- 2）= 2-1
例3 先化简再求值：
，其中 x=4.
解：
当 x=4时，x- 4- 4- .
∴当x=4时，
.
练习 1.计算：
2
8 =8
3 2=3
双重非负性
( 4)2 4
1 ( 1 )2 3
3
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
一般地，有
性质1
2
a a (a≥0)
例1.当x为何值时，下列各式在实数范围内Biblioteka 有意义？(1) x 3
(2) x2
解：（1）由题意，得 x+3≥0 ∴x≥-3
∴当x≥-3时， x 2 在实数范围内有意义.
2.当x取怎样的实数时， 2x 3 1 有意义？
x 1
解：由题意得
2x x 1
3 0
0，
∴
X≥
3 2
X ≠-1
∴ x 3，且x 1.
2
方法构想
一个式子中：
若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
二次根式
含有二次根号； 被开方数为非负数.
指出下列哪些是二次根式？
1 5 √ 2 3 33 21
4 bb 0 √
二次根式满足的两
个条件是：
5 a 2 a 2 √ （1）有二次根号；
6 a b ab
（2）被开方数是非 负数.
7 5m
8
x
2
√
1
二次根式 a
被开方数a≥0 a ≥0
0.64 的平方根 0.8 ，算术平方根 0.8 ；
0 的平方根 0 ，算术平方根 0 .
一个正数有两个平方根, 它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
a（a≥0）的平方根 a ，
a的算术平方根是 a .
二次根式
一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二 次根号.
2 3 2 =12
3
2 3
2
=
-6
2
x xy
5 2 5 2
=3
2.计算： ( 10 )2 (3 3)2
解： ( 10 )2 (3 3)2 10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
已知 a b 1 2a b 0, 求a和b的值.
解： a b 1 0, 2a b 0,
性质1
2
a a (a≥0)
性质2
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
再见
（2）因为x为人何实数时都有 x2 0, 所以当x为一切实数时， x2 都有意义.
1.求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 (a≥0) 2 1 (a 1)
1 2a
2
3 a 32 （a可取任意实数）
方法构想
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
又 a b 1 2a b 0,
解得 ab10 2 a b 0
a1 b2
∴a的值为-1，b的值为-2.
方法构想：
如果几个非负数（a2 、|a|、 a (a 0) ）的和为0， 那么每一个非负数都是0.
中考链接：
| a 2 | b 3 (c 4)2 0,
则a b c 3 .
解：由题意得：
a-2=0
b-3=0
∴
c-4=0
a=2 b=3 c=4
1、函数 y x 中，自变量x的取值范围是 x 1
x≥0且x≠1
.
2、当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） 3x 2
(x 2) 3
（2） x 1 1 2x
(1 x 1) 2
3 5x
（4）
4 2x 1
归纳
3.当x为怎样的实数时，下列各
式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
x为全体实数.
4 x 1
x为全体实数.
又如 (3)2 9 3 (3) 再计算如下根式时
( 7)2 5
(0.5)2
一般地，有
性质2
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一个正数a的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用
(a≥0)表示正数a的算术平方根.
求下列各数的平方根和算术平方根.
9 的平方根 3 ， 算术平方根 3 ；
计算：（1） (5)2 ；（2） (1 2)2 .
解：（1） (5)2 52 5
或 (5)2 -5 5
（2） (1 2)2 = 1- 2 =-（1- 2）= 2-1
例3 先化简再求值：
，其中 x=4.
解：
当 x=4时，x- 4- 4- .
∴当x=4时，
.
练习 1.计算：
2
8 =8
3 2=3
双重非负性
( 4)2 4
1 ( 1 )2 3
3
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
一般地，有
性质1
2
a a (a≥0)
例1.当x为何值时，下列各式在实数范围内Biblioteka 有意义？(1) x 3
(2) x2
解：（1）由题意，得 x+3≥0 ∴x≥-3
∴当x≥-3时， x 2 在实数范围内有意义.
2.当x取怎样的实数时， 2x 3 1 有意义？
x 1
解：由题意得
2x x 1
3 0
0，
∴
X≥
3 2
X ≠-1
∴ x 3，且x 1.
2
方法构想
一个式子中：
若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
二次根式
含有二次根号； 被开方数为非负数.
指出下列哪些是二次根式？
1 5 √ 2 3 33 21
4 bb 0 √
二次根式满足的两
个条件是：
5 a 2 a 2 √ （1）有二次根号；
6 a b ab
（2）被开方数是非 负数.
7 5m
8
x
2
√
1
二次根式 a
被开方数a≥0 a ≥0
0.64 的平方根 0.8 ，算术平方根 0.8 ；
0 的平方根 0 ，算术平方根 0 .
一个正数有两个平方根, 它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
a（a≥0）的平方根 a ，
a的算术平方根是 a .
二次根式
一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二 次根号.
2 3 2 =12
3
2 3
2
=
-6
2
x xy
5 2 5 2
=3
2.计算： ( 10 )2 (3 3)2
解： ( 10 )2 (3 3)2 10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
已知 a b 1 2a b 0, 求a和b的值.
解： a b 1 0, 2a b 0,
性质1
2
a a (a≥0)
性质2
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
再见
（2）因为x为人何实数时都有 x2 0, 所以当x为一切实数时， x2 都有意义.
1.求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 (a≥0) 2 1 (a 1)
1 2a
2
3 a 32 （a可取任意实数）
方法构想
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
又 a b 1 2a b 0,
解得 ab10 2 a b 0
a1 b2
∴a的值为-1，b的值为-2.
方法构想：
如果几个非负数（a2 、|a|、 a (a 0) ）的和为0， 那么每一个非负数都是0.
中考链接：
| a 2 | b 3 (c 4)2 0,
则a b c 3 .
解：由题意得：
a-2=0
b-3=0
∴
c-4=0
a=2 b=3 c=4
1、函数 y x 中，自变量x的取值范围是 x 1
x≥0且x≠1
.
2、当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） 3x 2
(x 2) 3
（2） x 1 1 2x
(1 x 1) 2
3 5x
（4）
4 2x 1
归纳
3.当x为怎样的实数时，下列各
式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
x为全体实数.
4 x 1
x为全体实数.
又如 (3)2 9 3 (3) 再计算如下根式时
( 7)2 5
(0.5)2
一般地，有
性质2
a2
a
a a
(a 0) (a 0)