黑龙江省实验中学2023届高三第二次模拟考试数学试卷

-
1 Sn -1
=
2
，又
1 S1
=
1 a1
=
2，
\ 数列
ì í î
1 Sn
ü ý þ
是以
2
为首项，
2
为公差的等差数列，A
正确；
对于 B，由 A 知： 1 Sn
= 2 + 2(n -1) = 2n ，\ Sn
=
1 2n
，B 正确；
对于
C，当 n
³
2
时， an
=
Sn
-
Sn-1
=
1 2n
-
1
2(n -1)
8．若 a = 0.04, b = ln1.04, c = log31.04 则（ ）
A． c < b < a
B． b < a < c
C． c < a < b
D． b<c<a
二、多选题
9．若函数
f
(x)
=
2 sin 2
æ çè
x
-
ππö 4 ÷ø
+
3
sin
æ çè
2x
-
6
ö ÷ø
-
1
，则下列结论正确的是（
11．已知正数 x，y 满足 x2 = y3 < 1，则下列结论正确的是（ ）
A． 0 < x < y < 1
B． 0 < y < x < 1
C．
y
-
x
£
4 27
D．
y2 - x2
£
4 27
12．如图，若正方体的棱长为 2，点 P 是正方体 ABCD - A1B1C1D1 的上底面 A1B1C1D1 上
F1B 分 △AF1F2 所得的两个三角形的面积之比 SVBF1A SVBF1F2
= _____________.
16．某项球类比赛的决赛阶段只有中国、美国、德国、巴西、西班牙、法国六个国家
参加，球迷甲、乙、丙对哪个国家会获得此次比赛的冠军进行了一番讨论．甲认为，
西班牙和法国都不可能获得冠军；乙认为，冠军是美国或者是德国；丙坚定地认为冠
的一个动点（含边界），E，F 分别是棱 BC ， DD1 上的中点，则正确的是（ ）
A．平面 AEF 截该正方体所得的截面图形是五边形； B． △PAE 在平面 CDD1C1 上的投影图形的面积为定值； C． PE + PF 的最小值是 14 ； D．若保持 EP = 2 2 ，则点 P 在上底面内运动路径的长度为 2π ．
3 试卷第31 页，共33 页
三、填空题
( ) ( ) ( ) 13．已知向量 ar =
1,
3
，且
ar
，
r b
的夹角为
π
，
ar
+
r b
×
2ar
-
r 3b
=
4
，则
r b
在
ar
方向
3
上的投影向量等于___________.
14．在圆台 O1O2
中，
ABCD
是其轴截面，
AD
=
DC
=
BC
=
1 2
AB
，过 O1C
=
7 + 9i 13
，∴
z
z -
i
的对应点为
æ çè
7 13
,
9 13
ö ÷ø
，在第一象
限， 故选：A． 3．A
( ) ( ) 【分析】根据已知利用全概率公式得 P (B) = P ( A)× P (B | A) + P A × P B | A ，即可求解
P( A) .
( ) ( ) 【详解】由全概率公式可得： P (B) = P ( A) × P ( B | A) + P A × P B | A
AA1 = 2 ，点 D 是棱 BC 的中点．
(1)求证： A1B ∥平面 AC1D ； (2)在棱 AC 上是否存在点 M，使得直线 BD 与平面 A1DM 所成角的余弦值为 3 13 ，若
13
存在，求出 AM 与 AC 长度的比值，若不存在，说明理由．
19．已知{an} 为等差数列，且 an+1 = 2an - 2n + 3 ．
道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题 所得的分数为 X，求 X 的分布列及数学期望．
21．已知双曲线 C ： x2 a2
-
y2 b2
=1（a > 0，b
> 0 ）实轴端点分别为 A1 (-a, 0) ， A2 (a, 0) ，
右焦点为 F ，离心率为 2，过 A1 点且斜率 1 的直线 l 与双曲线 C 交于另一点 B ，已知
(1)求{an} 的首项和公差；
{bn }
(2)数列 满足 bn
=
ì
ï í
ak
1 × ak +1
,n
=
3k
-
2
k n Î N*
60
å bi
，其中 、
，求 i=1 ．
ïî(-1)n × an ,3k -1 £ n £ 3k
20．在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道 题四个选项中仅有一个正确，选择正确得 5 分，选择错误得 0 分；多项选择题，每道 题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选择错 误的得 0 分． (1)小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．已知小明知道
）
A．函数 f ( x) 的最小正周期为 π
2 增
B．函数
f
(x)
在区间
éêë-
π5,π 12 12
ù úû
上单调递
C．函数
f
(x)
图象关于
x
=
-
π 12
对称
D．函数
f
(x)
的图象关于点
æ çè
2π 3
,
0
ö ÷ø
对称
10．已知直线 l 经过抛物线 C ： y2 = 2 px( p > 0) 的焦点 F ，且与 C 交于 A ， B 两点，过
黑龙江省实验中学 2023 届高三第二次模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合 A = {x | -1 < x < 3} ， B = {-2, -1,0, 2, 4} ，则(ðR A) Ç B = （ ）．
试卷第11 页，共33 页
AB
=
2,
AC
=
AD
=
3,
uuur BE
=
uuur uuur ED, CF
=
uuur 2FD
，则异面直线
AE
与
BF
所成角的余弦值为
（）
A． 3 3
B．
2 3
C． 2 13 13
D． 2 13 39
7．已知直线 l ： 2x + y + m = 0 上存在点 A，使得过点 A 可作两条直线与圆 C ：
A． 6 7
B． 1 7
C． 1 3
D． 1 10
4．在 VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
(sin A + sin B)(a - b) = sin C (b + c) ，若角 A 的内角平分线 AD 的长为 3，则 b + c 的最小
值为（ ） A．12
B．24
C．27
D．36
x2 + y2 - 2x - 4 y + 2 = 0 分别切于点 M，N，且 ÐMAN = 120° ，则实数 m 的取值范围是 （）
A． éë- 5 - 2, 5 - 2ùû
B． éë- 15 - 2 3, 15 - 2 3ùû
C． éë-2 5 - 4, 2 5 - 4ùû
D． éë0, 15 - 2 3ùû
所以 (a + b)(a - b) = c (b + c) ，即 a2 = b2 + c2 + bc ，
所以 cos A =
b2
+ c2 - a2 2bc
=
-
1 2
，
又因
AÎ
(0,π
)
，所以
A
=
2π 3
，
由 SVABC = SVABD + SVACD ，得
3 4
bc
=
3
3 4
b
+
3
3 4
c
，
所以
3 b
【详解】因为 A = {x | -1< x < 3} ，
所以 ðR A = {x | x £ -1或 x ³ 3} ，
所以 (ðR A) I B = {-2, -1, 4} ，
故选：A． 2．A
【分析】根据复数的除法运算算出 z ，即可判断答案. z-i
【详解】∵
z
z -
i
=
3+i 3 - 2i
=
(3 + i)(3 + 2i) (3 - 2i)(3 + 2i)
=
(n -1) - n 2n (n -1)
=
-
1
2n ( n
-1)
，
a1 经检验：
=
1 2
an 不满足
=
-
1
2n (n
-1)
，\ an
=
ì1 ïï 2 í ïïî
,n =1
1
2n (n于 D，由 B 得： S2n
=
1 2n +1
ln
x
-
2
.
(1)当 f ( x) 与 g ( x) 都存在极小值，且极小值之和为 0 时，求实数 a 的值；
(2)若
f
( x1 ) =
f
( x2 ) = 2( x1
¹
x2 ) ，求证：
1 x1
+
1 x2
>
2 a
.
试卷第61 页，共33 页
1．A
参考答案：
【分析】根据补集定义求出 ðR A ，再根据交集定义即可求出 (ðR A) I B ．
A．{-2, -1, 4}
B．{-1, 2}
C．{-2, 4}
D． Æ
2．已知 i 为虚数单位， z = 3 + i ，则复数 z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） z-i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知 P（B）=0.3， P(B∣A) = 0.9 ， P(B∣A) = 0.2 ，则 P( A) =（ ）
军绝不是巴西．比赛结束后，三人发现他们中恰有两个人的看法是对的，那么获得冠
军的国家是_________．
四、解答题 17．在 VABC 中，以 a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，且
试卷第41 页，共33 页
cos2 B + cos2 C - cos2 A = 1- sin B ×sin C (1)求 A ； (2)若 a = 2 7 ， b = 4 ，求 VABC 的面积； (3)若 a = 2b cos B ， a = 3 ，求 BC 边上中线长． 18．如图，在三棱柱 ABC -A1B1C1 中， AA1 ^ 平面 ABC ， AB ^ AC ， AB = AC = 4 ，
可得
0.3
=
P
(
A)
´
0.9
+
(1
-
P
(
A))´
0.2
，解得：
P
(
A)
=
1 7
.
则
P(
A)
=
6 7
.
答案第11 页，共22 页
故选：A. 4．A 【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得 A ，再利用等面积法结合基本 不等式即可得解.
【详解】因为(sin A + sin B)(a - b) = sin C (b + c) ，
到 B 正确；由 an
与 Sn 关系可求得 C 错误；由 S2n
=
1 2n +1
，结合等比数列定义可知 D 正确.
【详解】对于 A，当 n ³ 2 时，由 an + 2Sn Sn-1 = 0 得： Sn - Sn-1 + 2SnSn-1 = 0 ，
\
1 Sn-1
-
1 Sn
+ 2 = 0 ，即
1 Sn
试卷第51 页，共33 页
单项选择题的正确答案的概率是
2 3
，随机猜测的概率是
1 3
，问小明在做某道单项选择
题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率．
(2)小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为 1 ，选择两个选项的概率为 2 ，选
5
5
择三个选项的概率为 2 ．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知 5
5．数列{an} 的前 n
项和为 Sn
， a1
=
1 2
，若该数列满足 an
+
2Sn Sn-1
=
0(n
³
2) ，则下列
命题中错误的是（ ）
A．
ì í î
1 Sn
ü ý þ
是等差数列
B． Sn
=
1 2n
C．
an
=
-
1
2n ( n
-1)
{ } D． S2n 是等比数列
6．在三棱锥 A - BCD 中， AB, AC, AD 两两垂直，
+
3 c
=
1
，
则
b
+
c
=
(b
+
c)
æ çè
3 b
+
3 c
ö ÷ø
=
6
+
3b c
+
3c b
³
6
+
2
3b c
×
3c b
= 12
，
当且仅当
3b c
=
3c b
，即
b
=
c
=
6
时，取等号，
所以 b + c 的最小值为12 . 故选：A.
5．C
答案第21 页，共22 页
【分析】利用 an = Sn - Sn-1 可化简已知等式证得 A 正确；利用等差数列通项公式可整理得
△A1BF 的面积为 9 ． 2
(1)求双曲线的方程； (2)若过 F 的直线 l¢ 与双曲线 C 交于 M ， N 两点，试探究直线 A1M 与直线 A2N 的交点
Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
22．已知
a
Î
R
，函数
f
(x)
=
a x
+
ln
x
，
g
(
x)
=
ax