三角函数的图象和性质专题

答案 A
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第一部分 专题二 三角函数与平面向量
解 题 规 范 流 程
基 础 要 点 整 合
2．(2013·枣庄一模)设y＝f(t)是某港口水的深度y(米) 关于时间 t( 时 ) 的函数，其中 0≤t≤24. 下表是该港口某一天 从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观察，函数 y ＝ f(t) 的图象可以近似地看成函 数 y ＝ h ＋ Asin(ωx ＋ φ) 的图象，最能近似表示表中数据间 对应关系的函数是________．
(k∈Z) x ＝ kπ(k ∈ Z)
Z)
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2.牢记两种图象变换规则
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【例 1】(2013· 济南一模)如图是函数 y＝Asin(ωx＋ π 5π φ)(x∈R)在区间－6， 6 上的图象．为了得到这个函数 的图象，只需将 y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点
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考点核心突破
三角函数的图象变换及函数y＝Asin(ωx＋φ)的 考点一： 解析式的求法 [考情一点通] 题型 考查 内容 选择、填空或解答题 难度 中档或偏下
π f(x)＝sinx＋4在下列区间上
是增函数的为 5π 3π π 3π A.－ 4 ，－ 4 B.－ 4 ，4 π 5π 3π 7π C.4， 4 D. 4 ， 4 π π π 解析 由 2kπ－2≤x＋4≤2kπ＋2，
二、梳理基础知识
1．明辨常用三种函数的易误性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
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图象
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单增 区间 单 调 性
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由数据可知函数的周期 T＝12. 2π π 又 T＝12＝ ω ，所以 ω＝6. 函数的最大值为 7.5，最小值为 2.5， 即 h＋A＝7.5，h－A＝2.5，解得 h＝5.0，A＝2.5， π 所以函数为 y＝f(x)＝5.0＋2.5sin6t＋φ. π 又 y＝f(3)＝5.0＋2.5sin6×3＋φ＝7.5， π 所以 sin2＋φ＝cos φ＝1，即 φ＝2kπ，k∈Z， 所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 π y＝5.0＋2.5sin6t. π 答案 y＝5.0＋2.5sin6t
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对称 (kπ ， 0)(k 对 中心 ∈Z) 称 π 性 对称 x＝2＋kπ 轴 (k∈Z)
π ＋kπ，0 2
kπ ，0 (k ∈ 2
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(1)根据图象或条件给出的图象特征求函数y ＝Asin(ωx＋φ)的解析式． (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的平移和伸缩变换.
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π (2)当 x＝4时，函数 f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小 π π 3π 值，即4＋φ＝－2＋2kπ，k∈Z，即 φ＝－ 4 ＋2kπ，k∈Z， 3π 所以 f(x)＝Asinx－ 4 (A＞0)， 3π 3π 3π 所以 y＝f 4 －x＝Asin 4 －x－ 4 ＝－Asin x， π 所以函数为奇函数且图象关于直线 x＝ 对称，选 C. 2
π T 4π 2π 4π 3 有－3≥－ 4 ，即 T≥ 3 ，所以 T＝ ω ≥ 3 ，解得 ω≤2，所
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3 以 ω 的最大值等于 ，选 B. 2
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解析
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考点二：三角函数的性质
化归与整体思想的应用 题型 选择、填空或解答题 难度 [考情一点通] 中档或偏下
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考查 内容
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基础要点整合
一、构建知识网络
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第1讲 三角函数的图象和性质
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π D．y＝sin2x＋4
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π C．y＝sin2x－4
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解析 把函数 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小 到原来的一半，纵坐标保持不变，得到 y＝sin 2x，再把所 π 得函数图象向左平移4个单位长度，得到的函数图象对应 π π 的解析式 y＝sin 2x＋4＝sin2x＋2＝cos 2x，选 A.
(2)整体的意识：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复
合函数的性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性、最值、对称
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性等问题．
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【考点集训】
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3． (2013· 滁州模拟)函数
(1)三角函数的周期性、奇偶性、单调性、 最值． (2)根据三角函数的性质，考查三角函数的 图象特征.
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【例 2】(1)(2013· 烟台一模)若函数 f(x)＝2sin ωx(ω＞ π π 0)在区间－3，4上单调递增，则 ω 的最大值等于 2 3 A.3 B.2 C ．2 D．3 π (2)(2013· 泰安一模)当 x＝4时， 函数 f(x)＝Asin(x＋φ)(A 3π ＞0)取得最小值，则函数 y＝f 4 －x是 π A．奇函数且图象关于点2，0对称 B．偶函数且图象关于点(π，0)对称 π C．奇函数且图象关于直线 x＝ 对称 2 π D．偶函数且图象关于点2，0对称
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5π π [自主解答] 由图象知 A＝1，T＝ －－6＝π， 6 2π T＝ ＝π，所以 ω＝2.所以 y＝f(x)＝sin(2x＋φ)． ω π π 由 2× －6 ＋φ＝0，得 φ＝ ， 3 π 所以 y＝f(x)＝sin2x＋3. 所以为了得到这个函数的图象，只需将 y＝sin x(x∈ π R)的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各 3 1 点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，选 A. 2
[答案] (1)B (2)C
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【拓展归纳】“ 化归”与“整体” —— 求解性质问题
的两大利器
(1)化归的方法：利用三角恒等变换把待求函数化成 y ＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．
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[自主解答] 使函数 f(x)＝2sin
π π (1)因为函数在－3，4上递增，所以要 π π ωx(ω＞0)在区间－3，4上单调递增， 则
[答案] A
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【拓展归纳】 1.“五点法”求解函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的解析式 最大值－最小值 最大值＋最小值 (1)A＝ ，B＝ . 2 2 2π (2)|ω|＝ T . (3)φ 由图象上的特殊点确定．根据“五点法”中的零 点求 φ 时，一般先依据图象的升降分清零点的类型． 2． 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换的技巧及注意事项 (1)函数图象的平移变换规则是“左加右减”． (2)在变换过程中务必分清先相位变换，还是先周期变 换． (3)变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的 系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长 度和方向．
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考 点 核 心 突 破
π A． 向左平移 个单位长度， 再把所得各点的横坐标 3 1 缩短到原来的2倍，纵坐标不变 π B．向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标 伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 π C．向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标 1 缩短到原来的 倍，纵坐标不变 2 π D． 向左平移6个单位长度， 再把所得各点的横坐标 伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
π － ＋2kπ， 2 π ＋2kπ 2
π － ＋kπ， 2 [－π＋2kπ， π 2kπ](k∈Z) ＋kπ 2
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(k∈Z) π ＋2kπ， 单减 2 区间 3π ＋2kπ 2 (k∈Z)
(k∈Z) [2kπ，π＋ 2kπ] (k∈Z)
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【考点集训】
1．(2013· 郑州模拟)把函数 y＝sin x 的图象上所有点 的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得 π 函数图象向左平移4个单位长度，得到的函数图象对应的 解析式是 A．y＝cos 2x B．y＝－sin 2x