全等三角形的截长补短(含答案)

全等三角形的截长补短
板块一、截长补短
【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交 于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． D O E C B A 4
3
21F D O
E
C B A
【解析】 BE CD BC +=，
理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，
利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，
∵60A ∠=︒，∴1901202
BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=， ∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=，
∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，
利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+.
【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)， 作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?
N E B M A D
G N
E
B M A D
【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =
又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠
∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠，
∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．
【例3】 如图2-9所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点， 且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．
【解析】 分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：
(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC CE +)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．
(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE )上截取与线段中的某一段(如BC )相等
的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE )相等．我们用(1)法来证明． 证 延长AB 到F ，使BF CE =，则由正方形性质知AF AB BF BC CE =+=+
下面我们利用全等三角形来证明AE AF =．为此，连接EF 交边BC 于G ．由于对顶角BGF CGE ∠=∠，所以()Rt ΔBGF CGE AAS ∆≌， 从而12
BG GC BC FG EG ===，，BG DM = 于是()Rt ΔRt ΔABG ADM SAS ≌， 所以12
BAG DAM BAE EAG ∠=∠=∠=∠，AG 是EAF ∠的平分线 过G 引GH AE ⊥于H ．因为AG 是∠EAF 的平分线，所以GB =GH ，从而Rt △GBF
≌Rt △GHE (HL )，所以∠F =∠HEG ，则 AF =AE (底角相等的三角形是等腰三角形)，即 AE =BC +CE ．
说明 我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE 的平分线AG 交边BC 于G ，再作GH ⊥AE 于H ，通过证明△ABG ≌△AHG 知AB =AH =BC ．下面设法证明HE =CE 即可，请同学们自证．
【例4】 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°， 则AB 的长为 ( )
A . a
B . k
C . 2
k h + D . h
M D
C B A E M
D C
B
A
【解析】 过点D 作BC 的垂线，垂足为E .
∵∠AMD =75°，∠BMC =45° ∴∠DMC =60°
∵DM =CM ∴CD =DM
∵AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，CB ⊥AB ，∠AMD =75°
∴∠ADM =∠EDC
∴△ADM ≌△CDE
∴AD =DE
故ABED 为正方形，AB =AD =h ，选D .
【例5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .
F
E D C B A M
F E D
C B A
【解析】 延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .
∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF
∴△ABM ≌△ADF
∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM
∵AB ∥CD
∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM
∴∠AMB =∠EAM
∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .
【例6】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三 角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．
N
M
D C B
A E A
B C D M N
【解析】 如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.
在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =，
所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.
因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=.
又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.
在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，DM DE =，
所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.
【例7】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三 角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．
D
N M
C B A
F E A B C M N D E A B C D M N
【解析】 如图所示，过D 作DE 交BC 于E ，使得BE BM =；过D 作DF 交BC 于F ，使得
CF CN =.
因为120BDC ∠=︒，BDC ∆为等腰三角形，
所以30DBC ∠=，
又因为ABC ∆为正三角形，所以60ABC ∠=︒.
注意到DBC MBD ∠=∠，BM BE =，BD BD =，
所以DBE ∆≌DBM ∆，
可知AM CE =.
同理，DCF DCN ∆∆≌，AN BF =.
则有DE DM =，DF DN =，M DB EDB ∠=∠，NDC FDC ∠=∠.
又因为60MDN ∠=，120BDC ∠=，
则180MDB NDC ∠+∠=.
而120120EDC EDB MDB ∠=︒-∠=︒-∠，120120BDF FDC NDC ∠=︒-∠=︒-∠， 故24060EDC BDF MDB NDC ∠+∠=︒-∠-∠=︒，因此60FDE ∠=︒，
则FDE NDM ∆∆≌，MN EF =，进而可知AMN ∆的周长为1.
另解：如图所示，在AB 上取一点E ，使得BE AN =.在DAN ∆和DBE ∆中，DA DB =，AN BE =，
DAN DBE ∠=∠，因此DAN DBE ∆∆≌，从而DN DE =.
在DMN ∆和DME ∆中，DN DE =，MD MD =，60MDN ∠=，
()180MDE DEM DME ∠=-∠+∠
()()180EBD EDB MAD MDA =-∠+∠+∠+∠⎡⎤⎣⎦
()()1803030EDB MDA =-︒+∠+︒+∠⎡⎤⎣⎦
120EDB MDA =-∠-∠
()12060EDB NDA =-∠--∠
()1206060EDB EDB =-∠--∠=.
因此DMN DME ∆∆≌，从而MN ME =，进而可知AMN ∆的周长为1．
【例8】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE
C E
D B A A
B D
E
F
C
【解析】 延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .
∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF
∵AB =AE ，BC =EF ∴△ABC ≌△AEF
∴EF =BC ，AC =AF
∵BC +DE =CD ∴CD =DE +EF =DF
∴△ADC ≌△ADF ∴∠ADC =∠ADF
即AD 平分∠CDE .
板块二、全等与角度
【例9】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，
且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.
D C B A
E D C
B A
【解析】 如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC .
由AC AB BD =+知AE AC =，
而60BAC ∠=，则AEC ∆为等边三角形.
注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =，
故AED ACD ∆∆≌.
从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，
故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.
所以20DEC DCE ∠=∠=，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=+=.
E
D C B A
【另解】在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =.
在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =，
则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =，
进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，
AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠.
注意到ABD AED ∠=∠，则：
1318012022
ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=， 故80ABC ∠=︒.
【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等
三角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十
分自然的.
需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.
上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.
【例10】在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使
DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.
D
E C B A D E
C B A
【解析】 如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =，
则ADC BDC ∆∆≌，
故30BCD ∠=.
而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =，
因此BDE BDC ∆∆≌，
故30BED BCD ∠=∠=.
练习
1、点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．
21
E A
B
C M N N
M
C B A
【解析】 (旋转、等腰三角形、等边三角形、线段证明)
延长NC 至E ，使得CE =MB
∵ △BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°
∴∠DBC =∠DCB =30°
∵ △ABC 是等边三角形．
∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°
∴∠MBD =∠ABC +∠DBC =∠ACB +∠DCB =∠DCN =∠DCE =90°
在Rt △DBM 和Rt △DCE 中，BD =DC ，MB =CE ，
∴ Rt △DMB ≌Rt △DCE .
∴ DE =DM ， ∠1=∠2.
又∵ ∠1+∠NDC =60°
∴ ∠2+∠NDC =∠END =60°.
在△MDN 与△EDN 中，
ND =ND ，∠MDN =∠EDN =60°，DE =DM
∴ △MND ≌△END
∴ MN =EN =NC +MB
2、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的 平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？
N C D E B M A N
C
D E
B M A
【解析】 猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，
∴DG MB =，∴45AGM =∠
∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠，
∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．。