【北师大】2019届高考数学理科一轮复习专题突破练含答案5、6.doc

专题突破练（五）平面解析几何中的高考热点问题
（对应学生用书笫309页）
X V
1•设凡 尺分别是椭圆G 了+7=1@＞方＞0）的左、右焦点，〃是C 上一点且处与X 轴垂 直，
直线•肪;与Q 的另一个交点为用
（1） 若直线㈱的斜率为才，求Q 的离心率；
（2） 若直线細在y 轴上的截距为2,且|测=5|用M ，求臼，b.
［解］ ⑴根据c=f_S 及题设知.，（c,勺，^=-|, 2b=3ac. 将仔=臼2一孑代入2甘= 3ac, 解得专詁彳=一2（舍去）. 故C 的离心率为g
（2）由题意，原点0为斤尺的中点，，处〃y 轴，
所以直线朋与y 轴的交点〃（0, 2）是线段MF\的中点，
j2
故一=4,即庁=4日•①
由|必V|=5|凡V ］得丨莎|=2|£別.
设N{x\, yi ）,由题意知yKO ，则
9c I
代入C 的方程，得荷+了=1.② 将①及二？代入②得
W
+右=1.
解得曰=7, I ）=4^=28,故臼=7,方=2⑴.
2 2
2. （2018 •海口调研）己知椭圆E ： $+令=1（日＞力＞0）经过
点 a b
点。

为坐标原点•
2 （― c —為）=c 9
.Ki = — 1.
⑴求椭圆〃的标准方程;
(2)如图2,过椭圆厂的左焦点壬作一条不垂直于坐标轴的直线厶交椭圆/于只 0两点，记
弦〃的中点为胚 过厂作％的垂线刖交直线初于点"，证明：点川在 一条定直线上. 所以c=2,所以椭圆E 的方程为丁+#=1.
(2)证明：设直线/的方程为 y=W(x+2)
(&H0),戶(丽，/1), Qjx“ 乃)，
2
联立y=k(x+2)与右+声=1，
可得(l+5#)#+20/v+20#-5 = 0,
所以 %1 + %2—- 20卩 20护一5
1 + 5护'恥
2 — ］+5护• 设直线月V 的方程为y= —*(/+2)，爪xa, yo),
rbl
X1 + X2 则必一 2 - 10# 2k '1+5护'必一心＞+2)—1+5&2,
所以 koy=-=-
1 —議
所以直线。

"的方程为y=—吉"
所以点N 在定直线/=—］上.
3. (2018 •合肥二检)如图3,己知抛物线圧/=2^(p>0)与圆0： /4-/=8相交于儿B 两点，且点〃的
横坐标为2.过劣弧昇〃上一动点戶(畑口)作圆0的切线交抛物线F 于C, 〃两点，分别以
C ，〃为切点作抛物线F 的切线厶，72,厶与,2相交于点赵
［解］ ⑴由题易得S
5 , 3 4?+4^= 1'
2 圧4
e=1_7=
5
解得
”=1,
1 尸—
亍， y=-扣+2).
解得［］
/=2k f
易得仞的方程为时+・砂=8,
其屮必，必满足并+并=8,必三［2, 2、斥］.
\y=2x,
9
联凶
得 x Q y +2yoy —16 = 0, ［xox+y （）y=8,
/ •乃
1 2 代入彳.
y\-vyi
［尸1-
（1）求抛物线应的方程;
（2）求点M 到直线㈢
距离的最大值.
［解］ ⑴由无（=2得族=4,故4p=4,解得p=l. 于是抛物线尸的方程为7=2^.
切线人：y —y 】 = £v —寺） 代入y=2x 得心一2y+2y 】一心=0, 由力=4—4£（2y 】一曲）=0解得k=—f
同理，＜2的方程为y=*v+专.
y\ + y2 =
则Y
y\ •『2=
2jb
Ao
16
y\ •
y2 yi+y 2
8 x=—,
Ao
即点〃的坐标为（一£ —7
\ AO
A0
4. （2018 •陕西质检（一））已知凡尺为椭圆 巧+壬=1@＞〃＞0）的左、右焦点，点彳1, |
在椭圆上，且|砂| + |朋1=4.
（1）求椭圆F 的方程； （2）过用的直线Z, Z 分别交椭圆F 于力，C 和5 D,且厶丄问是否存在常数久,
使得专，人，珈成等差数列？若存在，求出久的值，若不存在，请说明理由. ［解］（1）・・・|/竹丨+丨朋丨=4,・・・2日=4, a=2.
9
2
X V
・•・椭圆F 的方程为才+$=】• 将彳1，|■［代入可得方2=3, ・・・椭圆E 的方程为孚+#=】•
（2）存在.①当/C 的斜率为零或斜率不存在吋,
丄+丄丄丄=丄
|化|丁| 肋厂 3 4一12； ②当胚的斜率&存在且&H0时， 设川7的方程为y=k{x+\）,
代入椭圆方程〒+才=1，并化简得 （3+4护）#+8&。

+4 护一 12 = 0. 设力（必,/1）, eg 乃）,
nl ,
8 护 4#一12
则丹+丸=一菇泰'兀•応=訐乔'
\AC\ =pl+F|xi —疋|
•••丿心 y ）满足S
Ao ,
点M 到直线CD ： Xox+ y Q y= 8的距离d=
2
-8---8
Ao
疋+16 耳+16
y+16
Ao
Ao
Ao
为关于环的单调递减函数，故当且仅当环=2时，血
18 9^2 尸甫2 •
— 2辺—2农—2迈
2—4山・屈=3 + 4护.
同理，・・•直线勿的斜率为V
.1 | 1 _ 3 + 4 护 3护+4 _7 *，_H6：r +TM =12(l+A 2) + 12(l+A 2) =T2* /宀 I 1.1
7 7
综上'24=W +W =
T2，A4=24-
7 1 1
・••存在常数A=—f 使得而A, 厉成等差数列.
••• I BD\ =
3+
O
12(1+护) 3 护+4 •
12 1 +
专题突破练(六)概率与统计中的高考热点问题
(对应学生用书笫337页)
1. (2018 •合肥调研)近期“共享单车”在全国多个城市持续升温，某机构通过对使用者的
调查得出，现在市场上常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数的茎叶图如图5所 示:
茎 叶 7 3 7 9 8 2 4 6
9
0 3
图5
(1) 求出这组数据的平均数和中位数；
(2) 某用八从满意度指数超过80的品牌小随机选择两个品牌使用，求所选的两个品 牌的
满意度指数均超过85的概率.
3X70 + 3X80 + 2X90 + 7 + 9 + 3 + 6+4 + 2+0 + 3
8 =
83.
8个数按从小到大的顺序排列为73, 77, 79, 82, 84, 86, 90, 93,这组数据最中间的两个数 的平
均数为进岂=83,故这组数据的中位数为83.
(2)满意度指数超过80的品牌有五个，从中任选两个有広种选法，其中所选的两个 品牌
的满意度指数均超过85的冇C ：种选法，故所选的两个品牌的满意度指数均超过 r- o
85的概率为总=詬.
2. (2016 •全国卷II)某险种的基本保费为臼(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续
保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
(1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
［解］(1)设弭表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件力发生当
(1)这组数据的平均数为 ［解］
且仅当一年内出险次数大于1,故 %) =0. 2+0. 2 + 0. 1+0. 05 = 0. 55.
(2)设〃表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件〃发生当
且仅当一年内出险次数大于3,故户(砂=0・1+0.05=0. 15. 又 P(A^ =
,
P(AB) P(B)
0. 15
3
P(A) =0755=77* 3
因此所求概率为订.
(3) 记续保人本年度的保费为兀则艮的分布列为
X 0. 85$ a 1.25a 1. 5臼 1. 75a 2臼 p
0. 30
0. 15
0. 20
0. 20
0. 10
0. 05
府=0. 85^X0. 30 + ^X0. 15+1. 25^X0. 20+1. 5^X0. 20+1. 75^X0. 10 + 2自X0. 05 =
1. 23a
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1. 23.
3. (2018 •北京东城区综合练习(二))小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公 园.
根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”(即在园人数与景区主管 部门核定的最大瞬吋容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤)情况 如图6所示.小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览 2天.
图6
(1) 求小明连续两天都遇上拥挤的概率；
(2) 设才是小明游览期间遇上舒适的天数，求尤的分布列和数学期望； (3) 由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？(结论不要求证明)
［解］设川表示事件“小明8月11日起第丫日连续两天游览主题公园”(7=1,2,…, 9). 根据题意，P{Ai) =g»且儿门4/=0(』北丿).
(1)设〃为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，
则 B= JiU A?.
2
所以 P® =/?(A U J 7)="⑷ +"⑷
故 P(B\ A)=
8J 11H8J I2R8B13R8J 14R8J 15R8J 16H8JJ17H8J 18H8JJ19R8J 2OR
(2)由题意，可知才的所有可能取值为0,1,2,且心=0)=/心5必) =/J(Ai)+/«) +/，仏)=#,
I\X= 1) =/心U A, UAU A)
z/ 4
=尸(力3)+A/fc) +戶仏)+户(力9)=§,
l\X=i) =/丿(川U〃2)=P(M+/«力2)=彳.
所以尤的分布列为
故X的期望EV=0x|+l X^+2x|=|.
(3)从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.
4.(2018 •兰州实战模拟)现如今，“网购” 一词不再新鲜，越来越多的人己经接受并喜欢上
了这种购物方式，但随之也出现了商品质量不能保证与信誉不好等问题.因此，相关管理部门制定了针対商品质量与服务的评价体系.现从评价系统中选出成功交易200例, 并对其评价进行统计：对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0. 75,其中对商品和服务都作出好评的交易为80次.
(1)依据题屮的数据完成下表，并通过计算说明：能否有99.9%的把握认为“商品
好评与服务好评”有关;
(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了次购物，设对商品和服务全好
评的次数为随机变量X,求尤的分布列(概率用算式表示)、数学期望和方差.
参考数据:
一（日+Q（Q+/@+C）0+/'具^n-a+b+c+d.
［解］⑴根据题中条件可得关于商品和服务的2X2列联表:
对服务好评对服务不满意总计对商品好评8040120
对商品不满意701080
总计15050200
2
X =—150X50X120X80—- 828,
因此，有99. 9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关.
OQ 9
(2)由题可得，每次购物吋，对商品和服务都好评的概率为丽=亍
/的所有可能的取值为0, 1,2, 3, 4,5,则才〜〈5, | 所以円才=0)=(|),
心1)皿(1)(1)'
吩2)=碓)閒’
m=3)=c(|jgj,
心=4)=C(|)(|J,
"(45)
尤的分布列为
rh于5,。