安徽省合肥市肥东县高级中学2020届高三5月调研考试数学(理)试题

2020届高三下学期5月调研
理科数学
本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)
A. {}12x x -<<
B. {}10x x -<<
C. {}1x x <
D. {}20x x -<< 2.复数()(1)z a i i =+-,,R a i ∈是虚数单位.若2z =，则a = （A ）1 （B ）-1 （C ）0 （D ）1± 3.已知实数0a >， 0b >，
11111
a b +=++，则2a b +的最小值是 A. 32223 D. 2 4.已知将函数()213sin cos cos 2f x x x x =+-
的图象向左平移512
π个单位长度后得到()y g x =的图象，则()g x 在,123ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的值域为 A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ C. 312⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 132⎡-⎢⎣⎦
5.已知S 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6
x x ⎛
⎝的展开式中常
数项的系数是
A. -20
B. 20
C.
20
3
D. 60
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，．也是抛物线
的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为
A. B. C. D.
7.函数的图象大致是
A. B.
C. D.
8.下列说法中正确的是
①“，都有”的否定是“，使”.
②已知是等比数列，是其前项和，则，，也成等比数列.
③“事件与事件对立”是“事件与事件互斥”的充分不必要条件.
④已知变量，的回归方程是，则变量，具有负线性相关关系.
A. ①④
B. ②③
C. ②④
D. ③④
9.已知ABC ∆的三个内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2sin 126A π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，且
2a =，则ABC ∆的面积的最大值为 A. 3 B. 33 C. 32
D. 23 10.函数，图象恒过定点A ，若点A 在一次函数的
图象上，其中，则
的最小值是
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
11.已知直三棱柱111ABC A B C -中， 120ABC ∠=o ， 2AB =， 11BC CC ==，则异面直线
1AB 与1BC 所成角的余弦值为
A.
3 B. 15
C. 10
D. 3 12.已知 ，当 时，的大小关系为
A.
B.
C.
D.
第II 卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
14.已知实数满足不等式组
，则
是最小值为 _____.
15.已知双曲线
的离心率为，左焦点为，点
（为半焦
距）. 是双曲线的右支上的动点，且的最小值为.则双曲线的方程为_____.
16.边长为2的等边ABC ∆的三个顶点A ， B ， C 都在以O 为球心的球面上，若球O 的表面积为
1483
π
，则三棱锥O ABC -的体积为__________．
三、解答题(本大题共6小题,共70分。

其中22、23为选考题。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17. （本题满分12分）已知数列{}、{}满足＋＝，数列{}的前n 项和为
．
（1）若＝，且数列{}为等比数列，求a 1的值； （2）若＝
，且S 71＝2088，S 2018＝1880，求a 1，a 2的值．
18. （本题满分12分）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2， D 是侧棱
1CC 的中点.
（1）证明:平面1AB D ⊥平面11ABB A ；
（2）若平面1AB D 与平面ABC 所成锐角的大小为
4
π
，求四棱锥111B AAC D -的体积. 19. （本题满分12分）某省高考改革方案指出：该省高考考生总成绩将由语文数学英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门等级性考试科目中自主选择3个，按获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级，位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五等21级，该省的某市为了解本市万名学生的某次选考化学成绩水平，统计在全市范围内选考化学的原始成绩，发现其成绩服从正态分布
，现从某校随机抽取了
名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.
（1）估算该校名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（2）现从该校名考生成绩在
的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高
到低）在全市前名的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：若
，则
，
，
.
20. （本题满分12分）如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线()220y px p =>的准线l 与x 轴交于点M ,过点M 的直线与抛物线交于,A B 两点, 设()11,A x y 到准线l 的距离
()20d p λλ=>.
（1）若13y d ==,求抛物线的标准方程；
（2）若0AM AB λ+=u u u u r u u u r
,求证：直线AB 的斜率的平方为定值. 21. （本题满分12分）已知，函数
在点
处与轴相切
（1）求的值，并求的单调区间；
（2）当
时，
，求实数的取值范围。

22. （本题满分10分）在极坐标系中，曲线C 1：ρsin 2θ=4cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 2的参数方程为：
，（θ∈[﹣
， ]），曲线C ：
（t 为参数）．
（Ⅰ）求C 1的直角坐标方程；
（Ⅱ）C 与C 1相交于A ，B ，与C 2相切于点Q ，求|AQ|﹣|BQ|的值． 23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()130f x x a x a =-+--≠的一个零点为2. （1）求不等式()2f x ≤的解集；
（2）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.
参考答案
1.B
【解析】求解函数y = {}|0A x x =≥，则{}|0R C A x x =< 求解指数不等式
1
242
x <<可得： {}|12B x x =-<<， 结合交集的定义可得： (){}|10R C A B x x ⋂=-<<. 本题选择B 选项. 2.D.
【解析】试题分析：由题意得，||221z a ==⇒=±，故选D ． 3.B
【解析】∵0a >， 0b >， 11111
a b +=++ ∴
()()()()()211
11212131213123
1111b a a b a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=+++-=+++⋅+-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎣⎦
≥
当且仅当()2111
1
b a a b ++=
++，即a = b =时取等号.故选B
4.B
【解析】因()1cos2sin 226f x x x x π⎛
⎫=
+=+ ⎪⎝
⎭，故()()5sin 2sin 2sin2126g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，因123x ππ-≤≤，故2263x ππ
-≤≤，则1sin212x -≤≤，所以()1
12
g x -≤≤，应选答案B 。

5.A
【解析】模拟程序框图的运行过程，如下： 0,1,1,4i s i i ===<，是， 12
11
s -=
=-； 2,24i =<，是， 1231s --=
=-； 3,34i =<，是， 321
33
s -==； 4,44i =<，否，退出
循环，输出s 的值为1
,
3∴二项式6
的展开式中的通项是
()66231663113r
r r
r r r r r T C C x x ---+⎛⎫
⎛⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
，令30r -=，得3,r =∴常数项是
()0
3
3
46
11203T C ⎛⎫
=-⋅⋅=- ⎪⎝⎭
，故选A.
6.B
【解析】由题意可得：c==．直线AF 1的方程为：y=x+c ．联立
，解得A
（c ，2c ），代入椭圆方程可得：，即
，化为：e 2+
=1，解出即可得出． 详解：由题意可得：c==
直线AF 1的方程为y=x+c ．
联立，解得x=c ，y=2c ．
∴A （c ，2c ）， 代入椭圆方程可得：， ∴
，化为：e 2+
=1，
化为：e 4﹣6e 2+1=0，解得e 2=3，解得e=﹣1．
故答案为：B 7.A
【解析】由题意
，所以函数为偶函数，
图象关于轴对称，排除B 、C ；
又由，排除D ，故选A.
8.D 【解析】①“，都有”的否定是“，使”，该说法错误；
②当数列
的公比为-1时，可能是0，该说法错误.
③对立一定互斥，互斥不一定对立，故“事件与事件对立”是“事件与事件互斥”的充分不必要条件，该说法正确.
④ 则变量，具有负线性相关关系，该说法正确.
综合可得：正确的说法是③④.本题选择D 选项. 9.B
【解析】π1ππ
2πsin ,,2622663A A A ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭
，由于2a =为定值，由余弦定理得
222π
42cos
3
b c bc =+- ，即224b c bc =++.根据基本不等式得22423b c bc bc bc bc =++≥+=，即4
3
bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立. 11433sin 22323
S bc A ∆=
≤⋅⋅=，故选B . 10.C
【解析】令对数的真数等于1，求得的值，可得函数的图象恒过定点A 的坐标，根据
点A 在一次函数的图象上，可得
，再利用基本不等式求得
的最
小值． 解：对于函数，令
，求得
，
，可得函数的图
象恒过定点
，
若点A 在一次函数的图象上，其中
，则有
，
则，
当且仅当时，取等号，
故的最小值是8，故选：C ．
11.C 【解析】
如图所示,设M N P 、、分别为1,AB BB 和11B C 的中点， 则11AB BC 、夹角为MN 和NP 夹角或其补角
(因异面直线所成角为0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦
，
可知11522
MN AB =
=， 11222
NP BC =
=； 作BC 中点Q ，则PQM V 为直角三角形； ∵1
1,2
PQ MQ AC ==
， ABC V 中，由余弦定理得
222124122172AC AB BC AB BC cos ABC ⎛⎫
=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
∴7AC =， ∴7MQ =
； 在MQP V 中, 22112
MP MQ PQ =+=； 在PMN V 中，由余弦定理得
2222
2
2
5211(
)()()
102222552
2MN NP PM
cos MNP MH NP
+-+-∠=
=
=-⋅⋅⨯⨯
又异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦
，
∴1AB 与1BC 所成角的余弦值为10。

故选C. 12.B 【解析】取，则.所以 .故选B.
13.
185
14.-13
【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移，可得当x＝y＝1时，z＝2x+y取得最小值．
作出不等式组表示的平面区域：
得到如图的阴影部分，由解得B（﹣11，﹣2）设z＝F（x，y）＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最小值，
∴z
最小值
＝F（﹣11，﹣2）＝﹣13．故答案为：﹣13
15.
【解析】由，可知，而的最小值为，结合离心率为2，联立计算即可。

设双曲线右焦点为，则，所以，而的最小值为，所以最小值为，
又，解得，于是，故双曲线方程为.
16.33 3
【解析】设球半径为R ，则214843R ππ=
，解得237
3
R =． 设ABC ∆所在平面截球所得的小圆的半径为r ，则23
2323r ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
． 故球心到ABC ∆所在平面的距离为22374
1133
d R r =-=
-=，即为三棱锥O ABC -的高，所以211333
21133O ABC ABC V S d -∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
．答案： 33 17.（1）； （2）. 【解析】（1）依题意，，即
；
故当
时，
，
，……，
，
将以上各式累加得，
故
，因为
为等比数列，故
； （2）依题意，，故
①，
②，
①+②得，
，
数列是一个周期为6的周期数列，
设，
，则
，
，
，
，
，
，……
，即数列
的任意连续6项之和为0，
因为，故； 因为，故
；
解得
，， 即
.
18.解析：（1）如图①，取1AB 的中点E ， AB 的中点F ，连接,,DE EF CF ，易知
//1EF BB =
又//11
2
CD BB =
，∴四边形CDEF 为平行四边形，∴//DE CF . 又三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， ∴ABC ∆为正三角形，∴CF AB ⊥. 又CF ⊂平面ABC ，
1CF BB ⊥,而1AB BB B ⋂=，
∴CF ⊥平面11ABB A . 又//DE CF ， ∴DE ⊥平面11ABB A . 又DE ⊂平面1AB D ， 所以平面1AB D ⊥平面11ABB A
（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，
设1AA h =，则(
)
()13,1,0,0,2,,0,0,2h A
D B h ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，得
即
2161
24162
h h =⇒=+.
所以()11111111
312233332
B AA
C
D AA C D V S -=⨯=⨯+⨯⨯=.
（方法二）如图②，延长1B D 与BC 交于点M ,连接AM . ∵11//B C BC , D 为1CC 的中点，∴D 也是1B M 的中点, 又∵E 是1AB 的中点,∴//AM DE . ∵DE ⊥平面11ABB A ,∴AM ⊥平面11ABB A .
∴1B AB ∠为平面1AB D 与平面ABC 所成二面角的平面角. 所以14
B AB π
∠=
,∴112AA BB AB ===.
19. 【解析】（1）
（2）该校名考生成绩在的人数为
而,则
，
所以，所以全市前名的成绩在分以上，上述名考生成绩中分以
上的有人. 随机变量,于是
,
,
的分布列：
所以数学期望.
20.解析：（1）
1y d
=Q ,设抛物线的焦点为F ,
1
AF y ∴=,即AF x ⊥轴,
12p
x ∴=
, 即
322p p +=,得3p =,所以抛物线的方程为2
6y x =.
（2）设()22,B x y ,直线AB 的方程为
2p y k x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭, 将直线AB 的方程代入2
2y px =,消去y 得()22
2
2
2
204k p k x p k x +-+=,
由0∆>得2
1k <.所以
()()22
22
122
2
221221,22p k p k p k p k x x k
k ------+-=
=
.
12,22p
d p x p λλ=∴+
=Q ,
又()
1210,2p
AM AB x x x λλ+=∴+=-u u u u r u u u r r ,所以221212p k p x x -=-=,
所以
251
2k -=
,即直线AB 的斜率的平方为定值.
21.【解析】（Ⅰ）函数在点
处与轴相切．，
依题意，解得，所以． 当时，
；当
时，
．
故
的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）令，
．则，
令，则，
（ⅰ）若，因为当时，
，
，所以，
所以即
在上单调递增．又因为，
所以当时，，从而在
上单调递增， 而
，所以
，即成立．
（ⅱ）若，可得
在
上单调递增． 因为
，
，所以存在，使得
，且当
时，
，所以即在
上单调递减， 又因为，所以当时，
，从而在
上单调递减， 而
，所以当
时，
，即
不成立．
综上所述，的取值范围是．
22.解：（Ⅰ）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ， 由ρsin 2θ=4cosθ，得ρ2sin 2θ=4ρcosθ， ∴曲线C 1的直角坐标方程为：y 2=4x ． （Ⅱ）设Q （cosθ，sinθ），（θ∈[﹣
，
]），由题意知直线C 的斜率k=
，
所以 ，即 =tanθ=﹣ ，
所以 ，故Q （ ，﹣ ）．
取 ，
，不妨设A ，B 对应的参数分别为t 1 ， t 2 ．
把
，代入y 2=4x ，
化简得
，即3t 2﹣（8+2
）t ﹣8 =0，
∵C 与C 1相交于A ，B ，∴△＞0，t 1+t 2= ．
∴|AQ|﹣|BQ|=|t 1+t 2|=
23.（1）[]0,5（2）()1,2,2k ⎡⎫
∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】（1）由()2220f a =--=， 0a ≠，得4a =， ∴()4132f x x x =-+--≤，∴1{
222x x ≤-≤或14{ 02x <<≤或4
{ 282
x x ≥-≤，
解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[]0,5.
（2）()22,1
413{0,14 28,4
x x f x x x x x x -≤=-+--=<<-≥，
作出函数()f x 的图象，如图所示， 直线2y kx =-过定点()0,2C -， 当此直线经过点()4,0B 时， 12
k =
； 当此直线与直线AD 平行时， 2k =-.
故由图可知， ()1,2,2k ⎡⎫
∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
.。