高考数学复习：随 机 抽 样

2.抽签法与随机数法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法 适用于总体中个体数较多的情况. (2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点: 一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.
考点二 系统抽样 【典例】(1)某班有学生52人,先用系统抽样的方法,抽 取一个容量为4的样本,已知座位是6号,32号,45号的同 学都在样本中那么样本中还有一位同学的座位号是 ________.
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
A.12
B.32
C.06
D.16
【解析】选B.第15列和第16列的数字为90,从左到右依 次选取两个数字,依次为12,33,06,32,则第四个被选中 的红色球号码为32.
(2)某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800 名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查,现将800名学 生从1到800进行编号,已知从33～48这16个数中取的数 是39,则在第1小组1～16中随机抽到的数是________.
世纪金榜导学号
【解析】(1)用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到 大成等差数列,设样本中还有一位同学的座位号是x,将 号码从小到大排列:6,x,32,45,它们构成公差为13的等 差数列,因此,另一学生的座位号为6+13=19. 答案:19
【对点训练】
1.某班有学生60人,现将所有学生按1,2,3,…60随机编
号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本(等
距抽样),已知编号为3,33,48号学生在样本中,则样本
中另一个学生的编号为 ( )
A.28
B.23
C.18
D.13
【解析】选C.某班有学生60人,现将所有学生按1,2,3,
1000
答案:18
考点一 简单随机抽样 【题组练透】 1.要完成下列两项调查:(1)从某肉联厂的火腿肠生产 线上抽取1 000根火腿肠进行“瘦肉精”检测.(2)从某 中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况. 适合采用的抽样方法依次为 ( )
A.(1)用分层抽样,(2)简单随机抽样 B.(1)用系统抽样,(2)用简单随机抽样 C.(1)(2)都用系统抽样 D.(1)(2)都用简单随机抽样
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1 300
各层抽取件数
130
【解析】设样本的容量为x,则 x ×1 300=130,所以
3000
x=300.
所以A产品和C产品在样本中共有300-130=170(件).
设C产品的样本容量为y,则y+y+10=170,y=80, 所以C产品的数量为 3000×80=800.
【规律方法】 1.系统抽样中所抽取编号的特点 系统抽样又称等距抽样,所以依次抽取的样本对应的号 码就是一个等差数列,首项就是第1组所抽取样本的号 码,公差为间隔数,根据等差数列的通项公式就可以确 定每一组内所要抽取的样本号码.
2.抽样间隔不是整数的处理策略 系统抽样时,如果总体中的个数不能被样本容量整除时, 可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,然后再 按系统抽样进行.
剩下的2 000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选
的概率 ( )
A.不全相等
B.均不相等
C.都相等且为 25
1 002
D.都相等且为 1
40
【解析】选C.每个人入选的概率都一样,都是 25 .
1 002
3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:
粮仓开仓收粮,有人送来米1 536石,验得米内夹谷,抽
…,60随机编号,采用系统抽样的方法抽取一个容量为4
的样本(等距抽样), 所以抽样间隔f= 60=15,因为编号为3,33,48号学生在样
4
本中,所以样本中另一个学生的编号为3+15=18.
2.某校高一年级3个学部 共有800名学生,编号为 001,002,...800从001到270在第一学部,从271到546在 第二学部,从547到800在第三学部,采用系统抽样的方 法从中抽取100名学生进行成绩调查,且随机抽取的号 码为004,则第二学部被抽取的人数为________.
【解析】找到第8行第8列的数开始向右读,第一个符合 条件的是169,第二个数是555,第3个数是671,第四个数 是105,第五个数是071. 答案:071
【规律方法】 1.简单随机抽样的特点 (1)抽取的个体数较少.(2)是逐个抽取.(3)是不放回抽 取.(4)是等可能抽取.只有四个特点都满足的抽样才是 简单随机抽样.
提示:(1)√.由抽签法的抽取原理可知正确. (2)×.因为剔除个体是随机的, 对于每一个个体都是 公平的. (3)×.分层抽样抽取个体时,每一层抽取的比例是相同 的,每个个体被抽到的可能性相同.
2.从2 004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面
的方法选取:先用简单随机抽样从2 004人中剔除4人,
300
第十一章 统计与统计案例 第一节 随 机 抽 样(全国卷5年0考)
【知识梳理】 1.简单随机抽样 从含有N个个体的总体中抽取n个个体作为样本(n≤N); _逐__个__不__放__回__地抽取;每次抽取时总体内的各个个体被抽 到的机会都_相__等__;常用方法:_抽__签__法__和_随__机__数__法__.
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【状元笔记】 分层抽样抽取样本的方法 首先确定抽取比例,再用抽取比例乘以每层的样本容量, 即可得到每层需要抽取的样本数
命题角度2 求样本容量 【典例】某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为 了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中 抽取一个容量为n的样本,已知从高中生抽取70人,则n 为________. 世纪金榜导学号
D.系统抽样法
【解析】选D.当样本容量N较大时,采用系统抽样,将总 体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,在第1段内 采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础 上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号.
3.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否 达标,现从800袋牛奶中抽取60袋牛奶进行检验,利用教 材中随机数表抽样时先将800袋牛奶按000,001,002,... 799进行编号如果从随机数表第8行第8列开始向右读,请 你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号________.
4.(必修3P64T5改编)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种 不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检 验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品 中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ________件.
【解析】所求件数为60× 300 =18,故答案为18.
(2)样本间隔为800÷50=16, 因为从33～48这16个数中取的数是39, 所以在第1小组1～16中随机抽到的数是39-2×16=7. 答案:7
【误区警示】本例(1)易出现忽视系统抽样抽取的号码 为等差数列致误.
【互动探究】 本例(2)中,若抽取的最小号码为5,则抽取的最大号码 是多少? 【解析】抽取的最大号码为5+(50-1)×16=789.
样取米一把,数得224粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约
为( )
A.169石
B.192石
C.1367石
D.1 164石
【解析】选B.由题意,这批米内夹谷约为1 536× 28=
224
192石.
题组二:走进教材 1.(必修3P63T2改编)要完成下列两项调查:(1)某社区 有110户高收入家庭,300户中等收入家庭,90户低收入 家庭,从中抽取100户调查消费购买力的某项指标; (2)从某中学高二年级的15名体育特长生中抽取5人调 查学习负担情况,应采取的抽样方法是 ( )
2.系统抽样 抽取方法:
3.分层抽样
【常用结论】 1.必记结论 (1)三种抽样方法的共同特征 三种抽样方法的共同特征是等概率不放回抽取,即抽取 方法是逐一不放回抽取;每个个体被抽到的概率都是 n .
N
(2)三种抽样方法的差异 三种抽取方法的差异主要体现在适用的范围上,简单随 机抽样适用于总体容量较小的;系统抽样适用于总体容 量较大,且均衡的;分层抽样适用于总体由差异明显的 几部分组的.
2.常用方法 一是利用系统抽样时确定间隔不是整数时,二是分层抽 样时在某一层抽取的样本数不是整数时,都需要先剔除 个别个体,再抽取样本.
【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“搅拌均匀”是保证抽签法产生样本代表性的关键.
()
(2)利用系统抽样抽取样本时,按需要剔除几个个体,则 对于被剔除的个体是不公平的. ( ) (3)在分层抽样的过程中,哪一层的样本越多,该层中个 体抽取到的可能性越大. ( )
【解析】选B.由于抽取数量较大,因此(1)适合用系统 抽样.(2)中样本容量较小,适合用简单随机抽样.
2.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号为
1～50,为了了解他们在课外的兴趣,要求每班第40号同
学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是( )
A.抽签法
B.分层抽样法
C.随机数表法
3.(必修3P60探究改编)某公司有大量客户,且不同年龄 段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价, 该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单 随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法 是________.
【解析】根据题干中有大量客户,且不同年龄段客户对 其服务的评价有较大差异,可知最合适的抽样方法是分 层抽样. 答案:分层抽样
命题角度1 利用分层抽样抽取样本 【典例】如图所示,某学校共有教师120人,从中选出一 个30人的样本,其中被选出的青年女教师的人数为( )
A.12人
B.6人
C.4人
D.3人
【解析】选D.青年教师占的比例为1-30%-40%=30%,则 青年教师的人数为120×30%=36人,因为青年男教师24 人,所以青年女教师为12人,故青年女教师被选出的人 数为12× 30 =3人.
A.(1)用系统抽样法,(2)用简单随机抽样法 B.(1)用分层抽样法,(2)用系统抽样法 C.(1)用分层抽样法,(2)用简单随机抽样法 D.(1)(2)都用分层抽样法
【解析】选C.(1)由于家庭收入差异较大,故(1)应该使 用分层抽样. (2)从某中学高二年级的15名体育特长生中抽取5人调 查学习负担情况,由于人数较少,故使用简单随机抽样.
【解析】分层抽样的抽取比例为 70 = 1 ,
3500 50
总体个数为3 500+1 500=5 000,
样本容量n=5 000× 1 =100.
50
答案:100
【状元笔记】
分层抽样中抽取比例的应用
抽取比例 抽取的样本总数 每层抽取的样本数 ,利用这个
样本总数
每层的样本数
比例关系,可以求相应未知量的值.
命题角度3 分层抽样的综合应用 【典例】(2018·衡阳模拟)某企业三月中旬生产A,B,C 三种产品共3 000件,根据分层抽样的结果,企业统计员 制作了统计表格,由于不小心,表格中A,C产品的有关数 据已被污染看不清楚了,统计员只记得A产品的样本容
量比C产品的样本容量多10,根据以上信息可得C产品的 数量是________件. 世纪金榜导学号
2.(必修3P57T2改编)福利彩票“双色球”中红球的号 码可以从01,02,03,…,32,33这33个二位号码中选取, 小明利用如表所示的随机数表选取红色球的6个号码, 选取方法是从第1行第15列和第16列的数字开始从左到 右依次选取两个数字,则第四个被选中的红色球号码为
()
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
【解析】样本间隔为800÷100=8,
则抽出的号码为4+8(n-1)=8n-4,由271≤8n-4≤546,解
得 275 ≤n≤ 550 ,即34 3 ≤n≤68 3 ,则n=35,36,…,
8
8
8
4
68,共有68-35+1=34(人).
答案:34
考点三 分层抽样 【明考点·知考法】
分层抽样是高考考查的热点,主要涉及抽取样本数 计算,以及与分层抽样相关的综合抽取问题.