学案1：1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征

1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
学习目标
1．认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．理解棱柱、棱锥、棱台的定义及其形成过程，会画棱柱、棱锥、棱台的图形．
3．掌握棱柱、棱锥、棱台平行于底面的截面性质，并会在棱柱、棱锥、棱台中进行简单运算．
基础知识
1．多面体与截面
(1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．
围成多面体的各个多边形叫做多面体的______；相邻两个面的公共边叫做多面体的______；棱和棱的公共点叫做多面体的______；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的________．
按围成多面体的面的个数分为：四面体、五面体、六面体……多面体至少有______个面．(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这
样的多面体就叫做________．
(3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫做这个几何体的______．做一做1 长方体有__________条对角线，一个多面体至少有__________个面．
2．棱柱
(1)棱柱的概念．
有两个互相平行的面，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
________，这些面围成的几何体称为棱柱．棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的________；其余各面叫做棱柱的________；两侧面的公共边称为棱柱的________；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的________．棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的______．
(2)棱柱的表示法．
用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示．
(3)棱柱的分类．
按底面多边形的________分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．
侧棱与底面不垂直的棱柱叫做________棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做______棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做__________．底面是平行四边形的棱柱叫做___________．侧
棱与底面垂直的平行六面体叫做__________，底面是矩形的直平行六面体是________，棱长都相等的长方体是_______．
归纳总结
在四棱柱中，应掌握好以下关系：
用图示表示如下：
做一做2－1 四棱柱有()
A．4条侧棱，4个顶点
B．8条侧棱，4个顶点
C．4条侧棱，8个顶点
D．6条侧棱，8个顶点
做一做2－2 下列三种说法中，正确的个数是()
①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱；
②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；
③棱柱的侧面都是平行四边形．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．棱锥
(1)棱锥的概念．
有一面为________，其余各面是___________，这些面围成的几何体叫做棱锥．棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的________；各侧面的公共顶点叫做棱锥的________；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的________；多边形叫做棱锥的________．顶点到底面的距离，叫做棱锥的______．
(2)棱锥的表示法．
用表示顶点和底面各顶点的字母或用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示．(3)棱锥的分类．
按底面多边形的________分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……
(4)正棱锥的概念．
如果棱锥的底面是__________，且它的顶点在过底面中心且与底面________的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的__________，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的________．
知识拓展
(1)只有正棱锥才有斜高，其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都等长．
(2)正棱锥中有几个重要的特征直角三角形，利用它们可以把许多立体几何问题转化为平面几何问题解决．如图所示，正棱锥中，点O为底面中心，M是CD的中点，则△SOM，△SOC 均是直角三角形，常把一些量归结到这些直角三角形中去计算．很明显，△SMC，△OMC也是直角三角形．
做一做3－1 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
做一做3－2 正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，如图所示，则截面的面积为()
A ．3
2a 2 B ．a 2
C ．12a 2
D ．1
3
a 2
4．棱台 (1)棱台的概念．
棱锥被________于底面的平面所截，________和______间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别称为棱台的________和________；其他各面称为棱台的________；相邻两侧面的公共边称为棱台的________；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的________；两底面间的距离叫做棱台的______． (2)棱台的表示法．
用表示上下底面各顶点的字母表示棱台． (3)棱台的分类．
按底面多边形的________分为：三棱台、四棱台、五棱台…… (4)正棱台的概念．
由________截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的________，这些等腰梯形的高叫做棱台的________． 知识拓展
在正棱台中，有三个重要的直角梯形——两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面对角线的一半组成一个直角梯形；斜高、侧棱和上下两底面边长的一半组成一个直角梯形．正棱台的计算问题，常转化为这几个直角梯形的计算问题．
做一做4 棱台不具有的性质是( ) A ．两底面相似 B ．侧面都是梯形 C ．侧棱都平行
D ．侧棱延长后都交于一点 重点难点
1．棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征比较 剖析：
名师点拨
(1)有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，反例如下图．
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，反例如下图．
2．教材中的“思考与讨论” 如何判断一个多面体是棱台？
剖析：要判断一个多面体是不是棱台，首先看两个底面是否平行，其次把侧棱延长看是否相
交于一点，这两条都满足的几何体才是棱台．
典型例题
题型一识别简单的空间几何体
例1 下列几何体是棱柱的有()
A．5个B．4个C．3个D．2个
反思：本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图形，看到图形就想到文字叙述．
题型二概念的理解和应用
例2 一个棱柱是正四棱柱的条件是()
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，且有一个顶点处的两条棱互相垂直
D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形
反思：在本题的解答过程中易出现选B的情况，导致此种错误的原因是两个侧面垂直于底面，并不能保证侧棱一定垂直于底面，只有是两个相邻的侧面才可以．
题型三有关柱、锥、台的计算问题
例3 正四棱台的上、下底面面积分别为4,16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．
反思：本题由正四棱台的性质可知：上，下底面都是正方形，侧面是全等的等腰梯形，即可
得出上、下底边及斜高的长；再由两个直角梯形便可计算出侧棱、斜高、高．故解题时应注意优先分析几何图形的关系，减少盲目性．
例4 如图所示，直平行六面体AC1的侧棱长为100 cm，底面两邻边的长分别是23 cm和11 cm，底面的两条对角线的比为2∶3，求它的两个对角面的面积(过相对侧棱的截面叫对角面)．
题型四立体图形的展开与平面图形的折叠问题
例5 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4.M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N.求点P的位置．
反思：解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题，一般都是将空间几何体表面展开，转化为求平面内两点间的线段长，这体现了数学中的转化思想．
题型五易错辨析
例6 下列说法中正确的有()
①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥；
③有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台．
A．0个B．1个C．2个D．3个
错解：B(或C或D)
错因分析：没有正确地理解棱柱、棱锥、棱台的定义． 随堂练习
1.下图所示的几何体是棱台的是( )
2.下列命题中正确的是( )
A ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C ．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
3.如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )
A ．2
B ．3
C ． 5
D ．7
4.棱柱的侧面是________形，棱锥的侧面是________形，棱台的侧面是________形．
5.正三棱锥底面面积为9
43，侧棱长为4，求此三棱锥的斜高和高．
参考答案
基础知识
1．(1)面棱顶点对角线4(2)凸多面体(3)截面
做一做1 44
2．(1)四边形平行底面侧面侧棱顶点高(3)边数斜直正棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方体
做一做2－1 C
做一做2－2 C
【解析】由直棱柱的定义，知①正确；由正棱柱的定义，知底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误；由棱柱的定义知其侧面都是平行四边形，故③正确．
3．(1)多边形有一个公共顶点的三角形侧面顶点侧棱底面高(3)边数(4)正多
边形垂直等腰三角形斜高
做一做3－1 D
做一做3－2 C
【解析】由正棱锥的性质，底面ABCD是正方形，
∴AC＝2a.在等腰△SAC中，SA＝SC＝a，AC＝2a，
∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝1 2a2.
∴选C.
4．(1)平行截面底面下底面上底面侧面侧棱顶点高(3)边数(4)正棱锥等腰梯形斜高
做一做4C
典型例题
例1 D
【解析】棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱．很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合．
例2 D
【解析】对于选项A，满足了底面是正方形，但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧面也是矩形．对于选项B，有两个侧面垂直于底面，不能保证侧棱垂直于底面．对于选项C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直．对于选项D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．
例3 解：如图，设O′，O分别为上下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′，BC的中点，
∴EF⊥BC，EF为斜高．
由上底面面积为4，上底面为正方形，可得B′C′＝2；同理，BC＝4.
∵四边形BCC ′B ′的面积为12，
∴12
×(2＋4)·EF ＝12， ∴EF ＝4.
过B ′作B ′H ⊥BC 交BC 于H ，则BH ＝BF －B ′E ＝2－1＝1，B ′H ＝EF ＝4.
在Rt △B ′BH 中，
BB ′＝BH 2＋B ′H 2＝12＋42＝17.
同理，在直角梯形O ′OFE 中，计算出O ′O ＝15.综上，该正四棱台的侧棱长为17，斜高为4，高为15.
例4 解：∵棱柱AC 1是直平行六面体，∴两对角面都是矩形，其侧棱AA 1就是矩形的高． 由题意，得AB ＝23 cm ，AD ＝11 cm ，AA 1＝100 cm ，BD ∶AC ＝2∶3，设BD ＝2x cm ，则AC ＝3x cm.
在平行四边形ABCD 中，BD 2＋AC 2＝2(AB 2＋AD 2)，
即(2x )2＋(3x )2＝2×(232＋112)，解得x ＝10.
∴BD ＝20 cm ，AC ＝30 cm.
∴两个对角面的面积分别为
S 矩形BDD 1B 1＝BD ·BB 1＝2 000(cm 2)，
S 矩形ACC 1A 1＝AC ·AA 1＝3 000(cm 2)．
例5 解：把该三棱柱展开后如图所示．
设CP ＝x ，则AP ＝3＋x .
根据已知可得方程22＋(3＋x )2＝29.
解得x ＝2.
所以点P 的位置在距离点C 为2的地方．
例6 A
正解：对于说法①，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱．显然题中漏掉了
“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图(1)．
对于说法②，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图(2)所示．
对于说法③，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体不一定是棱台，如图(3)所示．故说法①②③都是错误的，因此选A.
随堂练习
1．D
【解析】选项A中的几何体四条侧棱延长后不相交于一点；选项B和选项C中的几何体的截面不平行于底面；只有选项D中的几何体符合棱台的定义与特征．
2．A
【解析】由棱柱的结构特征进行判断．
3．C
【解析】如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则易得FG＝2，EG＝1，故EF＝ 5.
4．平行四边 三角 梯
5．解：如图，设正三棱锥为S －ABC ，O 为底面△ABC 的中心，D 为BC 边的中点，连接
OC ，OD ，SO ，SD ，则斜高为SD ，高为SO ，正△ABC 的面积为94
3，所以BC ＝3，所以CD ＝32，OC ＝3，OD ＝32
.
在Rt △SOC 和Rt △SOD 中，得高SO ＝SC 2－OC 2＝42－(3)2＝13，斜高SD ＝SO 2＋OD 2＝
13＋34＝552，即此正三棱锥的斜高为552，高为13.。