高三数学绝对值不等式试题

高三数学绝对值不等式试题
1.已知函数
(Ⅰ)a=-3时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围
【答案】(Ⅰ) [-1，2] ；(Ⅱ) （-，]
【解析】(Ⅰ) 当a="-3" 时，即为≤6，将分成，和三
种情况，通过分类讨论去掉绝对值，将原不等式等价转化为三个一元一次不等式组，解这些不等式组即可得到原不等式的解集； (Ⅱ)利用绝对值不等式性质：求出
的最小值，由关于x的不等式恒成立及不等式恒成立的知识知，＜，解这个不等式，即可得到实数的取值范围．
试题解析：(Ⅰ) 当a="-3" 时，为≤6，等价于或
或，解得或或，
所以不等式的解集为[-1，2]；(5分)
(Ⅱ) 因为=，
所以＜，解得
实数a的取值范围（-，]．(10分)
【考点】含绝对值不等式解法，绝对值不等式性质，恒成立问题
2.若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是()
A．[3，+∞)
B．(－∞，3]
C．(-1,2)
D．(-2,3]
【答案】B
【解析】当x≤－1时，|x＋1|＋|x－2|＝－x－1－x＋2＝－2x＋1≥3；
当－1<x≤2时，|x＋1|＋|x－2|＝x＋1－x＋2＝3；
当x>2时，|x＋1|＋|x－2|＝x＋1＋x－2＝2x－1>3；
综上可得|x＋1|＋|x－2|≥3，所以只要a≤3.即实数a的取值范围是(－∞，3]，故选B.
3.设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )
A．2
B．－3
C．7
D．0
【答案】B
【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，
又x∈Z，∴A中的最小元素为－3，选B.
4.不等式解集是_____________________.
【答案】
【解析】设，则.由，解得，所以解集
为
【考点】分段函数图像不等式
5.解不等式：x＋|2x－1|＜3.
【答案】{x|－2＜x＜}
【解析】原不等式可化为或
解得≤x＜或－2＜x＜.
所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．
6.若存在实数使得成立，则实数的取值范围为.
【答案】
【解析】在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为的点距离，就表示点到横坐标为1的点的距离，∵，∴要使得不等式成立，只要最小值就可以了，即，∴．故实数的取值范围是，故答案为：．
【考点】绝对值不等式的解法．
7.已知函数．若关于的不等式的解集是，则的取值范围
是 .
【答案】
【解析】因为函数．若关于的不等式的解集是.即等价于对恒成立.等价于恒成立.即的最小值大于或等于.由绝对值不等式的性质可得.所以即.所以填.
【考点】1.绝对值不等式的性质.2.不等式中恒成立问题.3.最值问题.
8.已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）当时，解不等式：．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
即求出即可；
（2）去绝对值解答.
试题解析：（1）即2分
又5分
（2）当时，
当时，
当时，
综上，解集为10分
【考点】不等式选讲、绝对值不等式.
9.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】表示的是到的距离和到的距离之和，表示的是到的距离，当时，此时若时则不能保证的解集为；当时，此时
若时则不能保证的解集为；当，即，此时当
为时，所以.
【考点】1.绝对值不等式的几何意义.
10.已知函数
(I)若不等式的解集为，求实数的值；
(II)在(I)的条件下,若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围为（-∞，5]．
【解析】（Ⅰ）不等式的解集为，求实数a的值，首先解不等式，解得，利用解集为，从而求出的值；（Ⅱ）若对一切实
数恒成立，转化为求的最小值，只要实数的取值小于或等于它的最小值，不等式对一切实数恒成立，故关键点是求的最小值，由（Ⅰ）知，
故，设，于是，易求出最小值为5，则的取值范围为（-∞，5]．
试题解析：（Ⅰ）由得，解得．又已知不等式的解集为，所以，解得.
（Ⅱ）当时，，设，于是，
所以当时，；当时，；当时，．综上可得，的最
小值为5．从而若，即对一切实数恒成立，则的取值范围为（-∞，5]．【考点】本题考不等式的解法，考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想.
11.设函数
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）若函数有最小值，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）分类去掉绝对值符号，化为整式不等式再解，最后取并集即可.
（Ⅱ）把函数f（x）化为分段函数，然后再找出f(x)有最小值的充要条件解之即可.
试题解析：（Ⅰ）a=1时，f(x)=+x+3
当x≥时，f(x)≤5可化为3x-1+x+3≤5,解得≤x；
当x<时，f(x)≤5可化为-3x+1+x+3≤5,解得-,
综上可得，原不等式的解集为
（Ⅱ）f(x)= +x+3=
函数有最小值的充要条件是，解得
【考点】1.绝对值不等式；2.分段函数及其求函数值.
12.设函数，．
(1) 解不等式；
(2) 设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.(1)利用数轴分段法求解；（2）借助数形结合思想，画出两个函数的图像，通过图像的上下位置的比较，探求在上恒成立时实数的取值范围.
试题解析：(1) 由条件知，
由，解得. (5分)
(2) 由得，由函数的图像
可知的取值范围是. (10分)
【考点】（1）绝对值不等式；（2）不等式证明以及解法；（3）函数的图像.
13.（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为．
（Ⅱ）（不等式选讲）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围
【答案】，3≤x≤8
【解析】即，即，配方得，，
所以，直线与圆相交的弦长为。

【考点】极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系。

点评：中档题，极坐标方程化为普通方程，常用的公式有，，
等。

涉及圆的弦长问题，利用几何法往往形象直观，易于理解。

∵函数f（x）=|x-4|+|x-a|≥|x-4+a-x|=|a-4|，f（x）的最小值为3，∴|a-4|=3，
解得，a=1或7，又a＞1，∴a=7，
即f（x）=|x-4|+|x-7|≤5，
若x≤4，f（x）=4-x+7-x=11-2x≤5，解得x≥3，故3≤x≤4；
若4＜x＜7，f（x）=x-4+7-x=3，恒成立，故4＜x＜7；
若x≥7，f（x）=x-4+x-7=2x-11≤5，解得x≤8，故7≤x≤8；
综上3≤x≤8，
故答案为：3≤x≤8．
【考点】绝对值不等式的性质，绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法。

点评：中档题，求此类函数的最值问题，可以利用绝对值不等式的性质，也可以利用绝对值的几何意义。

解绝对值不等式，通常利用“分段讨论法”，也可以利用绝对值的几何意义。

14.设f(x)＝2|x|－|x＋3|，若关于x的不等式f(x)＋|2t－3|≤0有解，则参数t的取值范围为
________．
【答案】[0,3]
【解析】f(x)＝2|x|－|x＋3|的图象为折线段，当时，取到最小值为而f(x)＋|2t－3|≤0，即，要使不等式有解，所以，解得
【考点】本小题主要考查含绝对值的不等式的性质及参数范围的求解.
点评：解决此类问题时，要注意有解和恒成立的区别.
15.已知函数，
（Ⅰ）已知常数，解关于的不等式；
（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）不等式的解集为
（2）
【解析】解：（Ⅰ）由得，或
或故不等式的解集为 3分
（Ⅱ）∵函数的图象恒在函数图象的上方
∴恒成立，即恒成立 5分
∵，
∴的取值范围为. 7分
【考点】绝对值不等式
点评：主要是考查了绝对值不等式的定义，以及不等式的恒成立问题转化为最值来处理的运用，属于中档题。

16.不等式的解集是 .
【答案】
【解析】原不等式化为解集为
【考点】绝对值不等式
点评：求解绝对值不等式关键是把绝对值符号去掉，本题中隐含条件，因此不等式两边可同时平方去掉绝对值，简化了分情况讨论的方法
17.不等式的解集是
【答案】
【解析】解：由得
18.已知函数，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由得,
故不等式的解集为.
19.设且
（I）当时，求的取值范围；
（II）当时，求的最小值.
【答案】（I）；（II）
【解析】（I）当z=1时，可得,解出y代入可得到关于x的绝对值不等式，再采用零点分段法，去绝对值，分段求解即可.
(II)根据柯西不等式，
然后转化为,即可求出的最小值.
（I）当时，则，即，代入原不等式化简得
，解得
（II）
即，当且仅当，又，即时，
20.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
对于任意的实数恒成立，记实数M的
最大值是m．
（1）求m的值；
（2）解不等式
【答案】（1）2；（2）
【解析】(1)不等式恒成立，即,然后转化为求的最小值.
(2)在（1）的情况下，根据零点分段法，分三种情况分别解不等式，最后再求并集即可.
解：（I）不等式恒成立，
即对于任意的实数恒成立，
只要左边恒小于或等于右边的最小值．…………2分
因为，
当且仅当时等号成立，
即成立，
也就是的最小值是2．…………5分
（2）解法1：利用绝对值的意义得：
解法2：当，
所以x的取值范围是
解法3：构造函数
的图象，利用图象有得：
………………10分
21.已知对于任意非零实数m，不等式恒成立，则
实数x的取值范围是。

【答案】__.
【解析】因为对于任意非零实数m，不等式恒成立，则变形为
，因为对于任意非零实数m
因此只需要满足即可，可以解得为
22.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是
【答案】
【解析】本试题主要是考查了绝对值不等式的恒成立问题的运用。

因为根据绝对值的几何意义可知|x+1|+|x-2|的最小值为3，要是不等式恒成立，只要a小于等于3即可。

解：因为，对任意恒成立，所以有
23.使不等式对于一切实数恒成立的实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】解：因为
24.设b≤|x-a|+|x-b|对任意的恒成立．则a与b满足的关系是____．
【答案】
【解析】根据绝对值的几何意义可知|x-a|+|x-b|的最小值为|b-a|，所以
25.已知关于x的不等式（其中）.
(Ⅰ)当a=4时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若不等式有解，求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的最小值为
【解析】(I)当时，然后利用零点分段法分成分段分别解不等式最后求并集即可. (II)先求出函数f(x)=|2x+1|-|x-1|的值域，然后让,即可求出a的取值范围
（Ⅰ）当时，，
时，，得（1分）
时，，得（2分）
时，，此时不存在（3分）
∴不等式的解集为（5分）
（Ⅱ）∵设
故，即的最小值为
26.已知，不等式的解集为{x|-2｝。

(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若恒成立，求k的取值范围。

【答案】（1）a=2 （2）
【解析】(Ⅰ)由得.
又的解集为，
所以当时，不合题意.
当a>0时，,得.
(Ⅱ)记，
则
所以，因此.
考点定位：本大题主要考查解不等式及利用解集求实数的取值范围，意在考查考生运用函数零点分类讨论的解题思想求最值来解决恒成立问题
27.已知函数
（Ⅰ）求不等式≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）原不等式等价于
或或
解得或或，不等式的解集为（5分）
（Ⅱ）∵，若不等式恒成立，只需a＜4，故a的取值范围是
【解析】（I）解绝对值不等式要采用零点分段法，本题分为三段，然后每一段都要求解，最后求并集即可.
.
（II）在（I）问的基础上求出f(x)的最小值，让a小于f(x)
min
28.若存在实数满足,则实数的取值范围是___．
【答案】
【解析】根据绝对值的几何意义可知此不等式表示的几何意义是P(x,0)到点A（3，0），B（m,0）的距离之和小于5,由于只要存在实数x即可.故离A距离为5的两个点的坐标分别为(-2,0)和(8,0)，数形结合可确定-2<m<8.
29.实数x满足则的值．
【答案】8
【解析】由得
30.若不等式恒成立, 则的取值范围是。

【答案】
【解析】略
31.已知均为正数，且，则的最小值为 .
【答案】16
【解析】略
32.对任意实数，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的图象为
由图象可得
故选择B
33.不等式的解集为。

【答案】
【解析】本题考查含绝对值的不等式的解法.
用零点分段法：分别令和得和
⑴若，则不等式可化为，即，解得；
⑵若，则不等式可化为，即，解得；
⑶若，则不等式可化为，即，解得
由⑴⑵⑶得或
所以原不等式的解集为
34.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
（I）若a=-1，解不等式
（II）如果的取值范围。

【答案】（1）
（2）
【解析】解：（Ⅰ）当时，，
解之得.
所以原不等式的解集为. ……………………5分
（Ⅱ）,函数的最小值小于2，
因为，故的最小值为.由
解得为所求. ………………………………………… 10分
35.不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】本题考查二次不等式的解法，不等式的同解变形及转化思想.
不等式可化为，即，因为所以解得
故选A
36.不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】略
37.（（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数
（I）解不等式；
（II）求函数的最小值.
【答案】解：（Ⅰ）令，则
……………………………3分
作出函数的图象，它与直线的交点为和
．
∴的解集为．…………….5分
（Ⅱ）由函数的图像可知，
当时，取得最小值．………………………………10分
【解析】略
38.选修4－5：不等式选讲
已知, 求的最大值和最小值.
【答案】时，的最大值为4，最小值为.
【解析】解：由
由图象易知
当时，达到最小值：
当时，达到最大值：4
故时，的最大值为4，最小值为.
39.（10分）解不等式
【答案】略
【解析】略
40.若不等式时恒成立，则实数m的取值范围为。

【答案】
【解析】略
41.．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：（1），----------------------------------------------------------2分
当
当
当
综上所述．----------------------5分
（2）易得，若，恒成立，
则只需，
综上所述．------------------------------10分
【解析】略
42.关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜的解集不是空集，的取值范围是
A．0＜＜1B．＞1C．0＜≤1D．≥1
【答案】B
【解析】本题考查绝对值不等式的性质及转化思想,分析解决问题的能力.
因为对任意，都有恒成立，所以要使不等式的解集表示空集，需使故选B
43.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为
【答案】a∈∪
【解析】略
44.（不等式选讲选做题）的解集是 .
【答案】
【解析】略
45.（不等式选讲选做题）设函数则=_____；若，则x的取值范围是________；
【答案】[-1，1]
【解析】将函数去绝对值化为分段函数，再在各段上解不等式f(x)5取其并集。

46.已知函数，若，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】略
47.选修4—5；不等式选讲
已知a,b,c,d都是实数，且a2+b2=1,c2+d2=1,求证：|ac+bd|≤1.
【答案】略
【解析】设a=cos,b=sin,c=cos,d=sin
|ac+bd|=|cos cos+sin sin|
=|cos（－）|≤1
方法二：只需证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）
即证：2abcd≤a2d2+b2c2
即证：（ad－bc）2≥0
上式显然成立
∴原不等式成立。

48.不等式的解集是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】把原不等式中的x2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x的解集．
解答：解：原不等式化为|x|2-|x|-2＞0
因式分解得（|x|-2）（|x|+1）＞0
因为|x|+1＞0，所以|x|-2＞0即|x|＞2
解得：x＜-2或x＞2．
故选B．
49.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．【答案】x的范围：
【解析】由题知，恒成立，
故不大于的最小值…………
∵，当且仅当时取等号
∴的最小值等于2. …………
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解…………
解不等式得…………
50.已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）含有两个绝对号的不等式，利用零点分段法解不等式，关键是求每个绝对号的零点，并从小到大标在数轴上且将定义域分段，并去绝对号解不等式；（2）若关于x的不等式的解集非空等价于不等式有解，只需利用绝对值三角不等式求函数
的最小值即可.
试题解析：（Ⅰ）原不等式等价于
或
解，得
即不等式的解集为
（Ⅱ）
【考点】1、绝对值不等式解法；2、绝对值三角不等式.
51.若对任意实数，不等式恒成立，则实数的范围为_________．
【答案】.
【解析】因为对任意实数，不等式恒成立，即，对任意实数恒成立，所以，所以应填.
【考点】含绝对值不等式的解法.
52.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若的最小值为1，求a的值.
【答案】（1）{x|－1＜x＜1}；（2）a＝－4或0.
【解析】本题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力. 第一问，先利用零点分段法去掉绝对值，得
到关于的分段函数，再分别解的不等式，综合所得不等式；第二问，利用不等式的性质，关键是等号成立的条件必须同时成立，得到最小值，令其等于1，解绝对值不等式即可得到a的值.
试题解析：（Ⅰ）因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝，
且f(1)＝f(－1)＝3，所以，f(x)＜3的解集为{x|－1＜x＜1}； 4分
（Ⅱ）|2x－a|＋|x＋1|＝|x－|＋|x＋1|＋|x－|≥|1＋|＋0＝|1＋|
当且仅当(x＋1)(x－)≤0且x－＝0时，取等号．
所以|1＋|＝1，解得a＝－4或0． 10分
【考点】不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质.
53.不等式的解集为（）
A．[-4，2]B．
C．D．
【答案】A
【解析】由于|x-1|+|x+3|表示数轴上的x对应点到-3和1对应点的距离之和，当x=2或-4时，|x-1|+|x+3|=6，由此求得不等式的解集．
|x-1|+|x+3|表示数轴上的x对应点到-3和1对应点的距离之和，当x=2或-4时，|x-1|+|x+3|=6，故只有当时，不等式|x-1|+|x+3|＞6成立，故选A．
【考点】绝对值不等式
54.若不等式恒成立，则实数的取值范围为．
【答案】
【解析】∵不等式恒成立，∴，利用绝对值的几何意义可知，∴.
【考点】绝对值的几何意义.
55.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1）解不等式；
（2）若对一切实数均成立，求的取值范围．
【答案】（1）; （2）
【解析】（1）分段去绝对值解之即可;（2）求出函数的最小值即可.
试题解析：（1）当x时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0
得x>-5，所以x成立
当时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0
得x>1,所以1<x<4成立
当时f(x)=-x-5>0得x<-5所以x<-5成立，
综上,原不等式的解集为;
（2）f(x)+=|2x+1|+2|x-4|
当
所以m≤9
【考点】含绝对值不等式的解法与恒成立问题.
56.集合由满足：对任意时，都有的函数组成．对于两个函数，以下关系成立的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得，故连接，两点斜率的绝
对值小于等于4，当，，，，，
，，故答案为A.
【考点】1、新定义的应用；2、导数的几何意义.
57.（本小题满分10分，不等式选讲）
已知不等式对于满足条件的任意实数恒成立,求实数的取值范围．
【答案】
【解析】利用柯西不等式求出的最大值；
试题解析：因为，所以
，又对任意实数恒成立, 故
，
解得．
【考点】1．柯西不等式；2．不等式恒成立问题；
58.不等式的解集为．
【答案】
【解析】原不等式等价于如下不等式组：
（1），
（2），
（3），
所以原不等式的解集为.
【考点】绝对值不等式的解法.
59.若关于的不等式有解时，实数的最大值为5，则实数的值为_____．
【答案】或
【解析】设表示数轴上一点到1，m对应点距离之差，若，，的最小值为，最大值为，关于的不等式有解，则，实数的最大值为5，则；若，
的最小值为，最大值为，关于的不等式有解，则，实数的最大值为5，则；所以实数的值为或；
【考点】1．含绝对值的函数；2．存在性问题；
60.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=｜3x+2｜
（Ⅰ）解不等式，
（Ⅱ）已知m+n=1（m,n>0），若恒成立，求实数a的取
值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（1）不等式，即,通过分类讨论求出不等式的解；（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）
．
试题解析：（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）不等式，即，
当时，即解得
当时，即解得
当时，即无解，
综上所述． 5分
（Ⅱ），
令
时，，要使不等式恒成立，
只需即． 10分
【考点】（1）解绝对值不等式（2）恒成立问题．。