2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
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2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县一中高二(下)期末数学试
卷(文科)
一、选择题:本大题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.(5分)已知集合M={x|0<x<3},N={x|x2﹣5x+4≥0},则M∩N=()A.{x|0<x≤1}B.{x|1≤x<3}C.{x|0<x≤4}D.{x|x<0或x≥4} 2.(5分)已知i为虚数单位,若=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=()A.2+i B.﹣2﹣i C.l﹣2i D.1+2i
3.(5分)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为()A.y=sin x B.y=lnx C.y=2x D.y=x3
4.(5分)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是()
A.3B.C.1D.
5.(5分)下列命题中正确的是()
A.若p:∃x∈R,x2+x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1<0
B.若p∨q为真命题,则p∧q也为真命题
C.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的否命题为真命题
D.“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件
6.(5分)执行如图所示的程序框图.若输入a=3,则输出i的值是()
A.2B.3C.4D.5
7.(5分)在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sin x+cos x≥”发生的概率为()A.B.C.D.
8.(5分)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n.若a1=d=1,则的最小值为()
A.10B.C.D.+2
9.(5分)若过点(﹣,0)的直线L与曲线y=有公共点,则直线L的斜率的取值范围为()
A.[﹣,]B.[﹣,0]C.[0,]D.[0,]
10.(5分)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=log2x﹣2的零点依次为a,b,c,则()
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c
11.(5分)已知F1为双曲线C:﹣=1的左焦点,直线l过原点且与双曲线C相交于P,Q两点,若=0,则△PF1Q的周长等于()
A.2+10B.2+10C.22D.24
12.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x),设其导函数为f′(x),当x∈(﹣∞,0]时,
恒有xf′(x)<f(﹣x),令F(x)=xf(x),则满足F(3)>F(2x﹣1)的实数x的取值范围是()
A.(﹣2,1)B.(﹣1,)C.(,2)D.(﹣1,2)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分
13.(5分)已知x,y∈R+,=(x,1),=(1,y﹣1),若⊥,则+的最小值为.14.(5分)已知变量x,y满足约束条件,设z=2x+y,则z的取值范围是.
15.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切,则p的值为.16.(5分)给出下列命题:
①存在实数;
②若α,β为第一象限角,且α>β,则tanα>tanβ;
③函数是最小正周期为5π;
④函数是奇函数;
⑤函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到的图象.
其中正确命题的序号是.(把你认为正确的序号都填上)
三、解答通:解答应写出文宇说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)某市规定,高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格.某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据,按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求抽取的20人中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数;
(Ⅱ)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人,求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率.
18.(12分)已知函数f(x)=2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边,若f(A)=4,b=1,△ABC 的面积为,求a的值.
19.(12分)如图,三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(Ⅰ)求证:BD∥平面FGH.
(Ⅱ)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:BCD⊥EGH.
20.(12分)已知椭圆.F1,F2分别为椭圆C的左,右焦点,A1,A2分别为椭圆C的左,右顶点.过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l:x=my+1与椭圆C交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点S.当直线l变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,求此定直线方程;若不是,请说明理由.
21.(12分)已知函数f(x)=lnx﹣.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)证明;当x>1时,f(x)<x﹣1;
(Ⅲ)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x ﹣1).
请在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)
22.(10分)如图,C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,∠ACB平分线DC交AE于点F,交AB于D点.
(Ⅰ)求∠ADF的度数;
(Ⅱ)若AB=AC,求AC:BC.
[选修4-4:坐标系与参数方程](共1小题,满分0分)
23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴
的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:,求直线l与曲线
C相交所成的弦的弦长.
[选修4一5;不等式选讲](共1小题,满分0分)
24.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县一中高二(下)期末
数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.【解答】解:由x2﹣5x+4≥0,变形得:(x﹣1)(x﹣4)≥0,
解得:x≤1或x≥4,
∴N={x|x≤1或x≥4},
∵M={x|0<x<3},
则M∩N={x|0<x≤1}.
故选:A.
2.【解答】解:∵=y+2i,x,y∈R,
∴x﹣i=﹣2+yi,
∴,解得x=﹣2,y=﹣1.
∴复数x+yi=﹣2﹣i.
故选:B.
3.【解答】解:y=sin x为奇函数,但在(0,+∞)上不单调,故排除A;
y=lnx的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故y=lnx为非奇非偶函数,故排除B;y=2x在区间(0,+∞)上单调递增,但2﹣x≠﹣2x,它不是奇函数,故排除C;
y=f(x)=x3定义域为R,关于原点对称,
且f(﹣x)=(﹣x)3=﹣x3=﹣f(x),
所以y=x3为奇函数,
而且y=x3在(0,+∞)上单调递增.
故选:D.
4.【解答】解:由三视图知几何体直四棱柱,且四棱柱的高为2,
底面是等腰梯形,等腰梯形的上、下底边长分别为1、2,高为1,
∴几何体的体积V=×2=3.
故选:A.
5.【解答】解:A.若p:∃x∈R,x2+x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1≥0,因此不正确.B.若p∨q为真命题,可知:p与q中只要有一个正确即可,而p∧q若为真命题,必须要求p与q都为真命题,因此不一定为真命题
C.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的否命题为“若x2﹣3x+2≠0,则x≠1”是真命题;D.“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的既不充分也不必要条件,因此不正确.
综上可得:只有C正确.
故选:C.
6.【解答】解:当a=9时,i=1;
当a=21时,i=2;
当a=45时,i=3;
当a=93时,i=4;结束循环
故选:C.
7.【解答】解:∵sin x+cos x≥,
即sin(x+)≥,
∴sin(x+)≥,
∵x∈[0,π],
∴x+∈[,],
∴在区间[,]内,满足sin(x+)≥的x再加上满足:
x+∈[],
∴在区间[0,π]内,满足sin(x+)≥的x满足:
x∈[,],
∴事件“sin x+cos x≥”发生的概率为P==.
故选:D.
8.【解答】解:∵等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n.a1=d=1,
∴=
=1++
=
≥+=,
当且仅当,即n=4时,取最小值.
故选:B.
9.【解答】解:由y=,得x2+y2=1(﹣1≤x≤1,y≥0),
作出图象如图,
设过点(﹣,0)且与半圆x2+y2=1(﹣1≤x≤1,y≥0)相切的直线的斜率为k(k>0),则直线方程为y=k(x+),即kx﹣y+.
由,解得k=(k>0).
∴直线L的斜率的取值范围为[0,].
故选:D.
10.【解答】解:令函数f(x)=2x+x=0,可知x<0,即a<0;令g(x)=log2x+x=0,则0<x<1,即0<b<1;
令h(x)=log2x﹣2=0,可知x=4,即c=4.显然a<b<c.
故选:A.
11.【解答】解:由题意,直线l过原点且与双曲线C相交于P,Q两点,=0,∴PF1⊥QF1,
∴以PQ为直径的圆经过F1,
∴|PQ|=2c=10,
设F2为双曲线C:﹣=1的右焦点,则根据双曲线的对称性,可得|PF1|=|QF2|,∴|QF1|﹣|PF1|=2,
∵|QF1|2+|PF1|2=100,
∴2|QF1||PF1|=44,
∴(|QF1|+|PF1|)2=144,
∴|QF1|+|PF1|=12,
∴△PF1Q的周长等于22,
故选:C.
12.【解答】解:∵f(x)是奇函数,
∴不等式xf′(x)<f(﹣x),等价为xf′(x)<﹣f(x),
即xf′(x)+f(x)<0,
∵F(x)=xf(x),
∴F′(x)=xf′(x)+f(x),
即当x∈(﹣∞,0]时,F′(x)=xf′(x)+f(x)<0,函数F(x)为减函数,
∵f(x)是奇函数,
∴F(x)=xf(x)为偶数,且当x>0为增函数.
即不等式F(3)>F(2x﹣1)等价为F(3)>F(|2x﹣1|),
∴|2x﹣1|<3,
∴﹣3<2x﹣1<3,
即﹣2<2x<4,
∴﹣1<x<2,
即实数x的取值范围是(﹣1,2),
故选:D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分
13.【解答】解:=(x,1),=(1,y﹣1),⊥,
∴•=x+y﹣1=0,
即x+y=1,
∵x,y∈R+,
∴(+)(x+y)=2++≥2+2=4,当且仅当x=y=时取等号.
故答案为:4.
14.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
联立,解得B(2,2),
A(0,2),
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z,
由图可知,当直线y=﹣2x+z过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为2;当直线y=﹣2x+z过B时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为6.
∴z的取值范围是[2,6].
故答案为:[2,6].
15.【解答】解:抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣,
因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x﹣3)2+y2=16相切,
所以3+=4,解得p=2.
故答案为:2
16.【解答】解:,其最大值<,故①错误;
令α=390°,β=30°均为第一象限角,且α>β,则tanα=tanβ,故②错误;
函数是最小正周期为T==5π,故③正确;
函数=是奇函数,故④正确;
函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到的图象,故
⑤错误;
故答案为:③④
三、解答通:解答应写出文宇说明,证明过程或演算步骤.
17.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,
参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为20×0.04×5=4(人),
参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为20×0.02×5=2(人).
所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6(人).
…(5分)
(Ⅱ)设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A.
由(Ⅰ)可知,
参加社区服务在时间段[90,95)的学生有4人,记为a,b,c,d;
参加社区服务在时间段[95,100]的学生有2人,记为A,B.
从这6人中任意选取2人有ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB
共15种情况.
事件A包括ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB共7种情况.
所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率.…(13分)
18.【解答】解:(1)f(x)=2
=
=sin2x+(1+cos2x)+2
=sin2x+cos2x)+3
=2sin(2x+)+3
∴T==π.
(2)由f(A)=4得2sin(2A+)+3=4,∴sin(2A+)=,
又∵A为△ABC的内角,∴<2A+<,∴2A+=,A=.
由S△ABC=,得bc sin A=×1×c×=,c=2.
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc cos A=1+4﹣2×=3,∴a=.
19.【解答】(I)证法一:如图所示,连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G为AC的中点.
∴DF平行且等于GC,∴四边形CFDG是平行四边形,
∴DM=MC.又BH=HC,
∴MH∥BD,又BD⊄平面FGH,MH⊂平面FGH,
∴BD∥平面FGH;
证法二:在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,H为BC的中点.
∴BH平行且等于EF,
∴四边形BHFE为平行四边形.
∴BE∥HF.
在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,
∴GH∥AB,又GH∩HF=H,
∴平面FGH∥平面ABED,
∵BD⊂平面ABED,∴BD∥平面FGH.
(II)证明:连接HE,∵G,H分别为AC,BC的中点,
∴GH∥AB,
∵AB⊥BC,∴GH⊥BC,
又H为BC的中点,∴EF∥HC,EF=HC.
∴EFCH是平行四边形,∴CF∥HE.
∵CF⊥BC,∴HE⊥BC.
又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,
∴BC⊥平面EGH,又BC⊂平面BCD,
∴平面BCD⊥平面EGH.
20.【解答】解:(1)∵过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M .
∴,b2=a2﹣c2=a2﹣3.
∵点在椭圆上,∴,
∴3a2﹣9+4a2=a4﹣3a2
∴a4﹣10a2+9=0,∴(a2﹣9)(a2﹣1)=0,
∴a2=9或a2=1<c2(舍去).
∴b2=a2﹣c2=6.
∴椭圆C的方程为.…(4分)
(2)当l⊥x轴时,,,又A1(﹣3,0),A2(3,0)
,,联立解得.
当l过椭圆的上顶点时,,,,
,联立解得.
若定直线存在,则方程应是x=9.…(8分)
下面给予证明.
把x=my+1代入椭圆方程,整理得(2m2+3)y2+4my﹣16=0,△>0成立,记P(x1,y1),Q(x2,y2),则,.
,
当x=9时,纵坐标y应相等,,须
须2y1(my2﹣2)=y2(my1+4),须my1y2=4(y1+y2)
∵,.
∴成立.
综上,定直线方程为x=9.…(14分)
21.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx﹣,
∴f′(x)=>0(x>0),
∴0<x<,
∴函数f(x)的单调增区间是(0,);
(Ⅱ)令F(x)=f(x)﹣(x﹣1),则F′(x)=
当x>1时,F′(x)<0,
∴F(x)在[1,+∞)上单调递减,
∴x>1时,F(x)<F(1)=0,
即当x>1时,f(x)<x﹣1;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,k=1时,不存在x0>1满足题意;
当k>1时,对于x>1,有f(x)<x﹣1<k(x﹣1),则f(x)<k(x﹣1),
从而不存在x0>1满足题意;
当k<1时,令G(x)=f(x)﹣k(x﹣1)(x>0),则
G′(x)==0,可得x1=<0,x2=>1,
当x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故G(x)在(1,x2)上单调递增,
从而x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x﹣1),
综上,k的取值范围为(﹣∞,1).
请在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)
22.【解答】解:(I)∵AC为圆O的切线,
∴∠B=∠EAC
又知DC是∠ACB的平分线,
∴∠ACD=∠DCB
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD
即∠ADF=∠AFD
又因为BE为圆O的直径,
∴∠DAE=90°
∴(4分)
(II)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB,
∴△ACE∽△ABC
∴(6分)
又∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=30°,(8分)
∴在RT△ABE中,
(10分)
[选修4-4:坐标系与参数方程](共1小题,满分0分)
23.【解答】解:曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0,即(x ﹣2)2+y2=4
直线l的参数方程,化为普通方程为x﹣y﹣1=0,
曲线C的圆心(2,0)到直线l的距离为
所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长=.
[选修4一5;不等式选讲](共1小题,满分0分)
24.【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=|2x﹣2|+2,
∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6,
|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2,
∴﹣2≤x﹣1≤2,
解得﹣1≤x≤3,
∴不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}.
(2)∵g(x)=|2x﹣1|,
∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,
2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3,
|x﹣|+|x﹣|≥,
当a≥3时,成立,
当a<3时,|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥>0,∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2,
解得2≤a<3,
∴a的取值范围是[2,+∞).。