14 数字迷综合

各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．
1．在图14—1所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．如果CHINA所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少?
【分析与解】显然和的首位C为1，
由千位上H+K对应为H，所以K为0或9，但K为加数首位，那么K只能为9；
由十位上N+N对应为N，所以N为0或9，但K为9，那么N只能为0．
有：HOOG+900G=1HIOA．
注意到百位相加时有进位，个位相加时不进位，则O+0=I+10，G+G=A．
又因为24︱1HIOA，所以：3︱(1+H+I+0+A)且
而2O=I+10，所以I不可能为奇数，那么A只能为8，A为8时，G为8÷2=4．
此时偶数只剩2、6，当I为2时，0为(2+10)÷2＝6；
当I为6时，0为(6+lO)÷2＝8，与A重复，不满足．
即H604+9604=1H208，此时1+H+2+0+8=ll+H，3 ︱11+H，那么H为1、4、7，而1、4已取过，所以H 为7．
那么有7604+9604＝17208为所求算式，CHINA所代表的五位数为17208．
2．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?
【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．
A显然只能为1，则BCD+EFG=993，
当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，
对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积；
当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积；
它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000．
3.在算式的每个方框内各填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使得算式成立．
【分析与解】记等式为a
b
－
c
d
＝
1
ef
．其中a、b、c、d、e、f六个数字都是质数．
显然b、d不等，不然为同分母分数相减，所得的差分母不变，而1位质数只有2、3、5、7．因为
b、d均为质数，所以a
b
-
c
d
=
a d c b
b d
⨯-⨯
⨯
=
1
ef
，且
1
a d c b
b d ef
⨯-⨯=
⎧⎪
⎨
⨯=
⎪⎩
.
先考察b×d=ef，因为b、d、e、f均为质数，一一验证，有：
（十位为1,不是质数），
（个位为1,不是质数），（b、d相同)，
5×7=35，（十位为4，不是质数，且b、d相同)，所以
5
7
b
d
=
⎧
⎨
=
⎩
、
7
5
b
d
=
⎧
⎨
=
⎩
再考察a×d—c×b=1,
7a一5c=1，解得
35
47
a t
c t
=+
⎧
⎨
=+
⎩
(t为自然数)，但不满足a、c均为一位质数；
5a一7c=1，解得
37
25
a t
c t
=+
⎧
⎨
=+
⎩
，所以原式为：
3
7
－
2
5
=
1
35
.
4.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是1
3
,
1
7
,
1
9
,
1
11
,
1
33
另外4个数的分母个位
数字都是5．请写出这4个分数．
【分析与解】 l一(1
3
+
1
7
+
1
9
+
1
11
+
1
33
)=
2101
33711
⨯
⨯⨯⨯
=
1010
335711
⨯
⨯⨯⨯⨯
需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．
经试验得693+231+77+9=1010．
所以，其余的4个分数是：15,115,145,1385
.
5.
在上面的圆圈和方框中，分别填人适当的自然数，使等式成立．问在方框中应填多少?
【分析与解】 记圆圈里填入的是a ，方框里填入的是b ，那么1a +29b =1112，即29b =1112-1a =1112
12a a
．由于29是个质数，故29︱11a 一12,从而a 除以29余9．
于是
29b ≥1112－19=29
36,故b ≤36． 另外，29b ＜1112,b ＞29×1211=317
11
,即b ≥32．
分别验证b=32，33，34，35，36各种情况，可知只有当b=32和6=36时符合条件.
6.
请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式．
【分析与解】 1988=2×2×7×7l=4×497，112+14＝13，在等式两边同时乘上1497
，就得15964+11988＝
1
1491
．显然满足题意． 又135+114=110
，两边同乘以1142，就得14970+11988＝1
1420．显然也满足．
13053+11988＝11204，18094+11988＝11596
均满足.
7.6口0.3=○，6口
10.3=○，6口0.3=○，6口.1
0.3
=○ 在上面4个算式的方框内，分别填上加、减、乘、除4种运算符号，使所得到的4个算式的答数之和
尽可能大．那么这个和等于多少? 【分析与解】0．3＜.
0.3 ＜
.
10.3
=3＜
10.3=103
，
所以，0.3前面应填除号, .
0.3前面填减号，.
10.3
前填加号，
1
0.3
前填乘号，才能使这四个算式的结果之和最大．这个最大的和是：
（6÷0.3）+（6-.
0.3）+（6+
.
10.3
）+（6×
10.3
） =（6×103）+（6-13）+（6+3）+（6×103
） =5423
8．小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数○1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少?
【分析与解】 甲组的前三个数0.625，23，914都是小于1的数，21732
与这三个数运算后，得5.05，45164，4516；不论减1还是加l 后，这三个数都比21732大，而这是217
32
与小于1的数运算的结果，因此
可以猜想方框内是除号．
现在验算一下：
2
1732÷0.625=8132×85=8120=4.05； 21732÷23=8132×32=31564
； 217
32÷914=8132
×149=6316=31516；
217
32
÷3=2732.
从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4
5
16
是错的． 按照算式
乙组的数÷甲组的数+1…………………………* 2÷3+1=1
23，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有1.5÷3+1=112
，
而1.5÷0.625+l=3.4，1.5÷2
3
+1=3.25．
由此可见，确定的算式*是正确的．
表中有两个错误，4
5
16
应改为4
15
16
，2应改为1.5，
415
16
+1
1
2
=5+
158
16
=6
7
16
．
改正后的两个数的和是6
7 16
．
9.把1．2，3．7，6．5，2．9，4．6分别填在图14—2的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数的平均值填在三角形中．请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小．问这个最小的数是多少?
【分析与解】要求平均数尽可能小，就要尽量少使用大的数，而要多
使用小的数．
这五个○,两端的○中的数只参加一次运算，应该填入6.5和4.6；中
间的○中的数参加了三次运算，应该填1.2，其余两个圆圈填2.9和3.7，
这时有两种填法，不论哪一种，计算以后知道△中填的数应该是3.1．
所以△中数为3.1．
10．图14—3中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上．
(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由．
(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．
【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等．
事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k．
在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次．
因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：
8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的．
(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+4＝11．
而4～11共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一．图(a)和图(b)是两种填法．
11．如图14—4，6个圆圈之间连接着13条线.请从0至13中取出6个数分别填入各圆圈内，使每条线段两端点上所填数的差(大数减小数)恰好取遍1至13中的每一个数．
【分析与解】为了取到13，所选的数必须包含0和13，又只有13—1＝12．12—0＝12，所以至少还应有1和12中的1个，不妨设为1．
把0—13之间的数组成如下几组(1，12)、(2，11)、(3，10)、(4，9)、(5，8)、(6，7)，一旦某个数被选中，同组的数就都可以出现在差中．由于已经取1，又为了每个数都可以在差中取到，因此应该适当地在后5组中选取出不同组的3个数．
在(2，11)中，如果选了2，那么再选取一个数，该数及其减1、减2都可以在差中取到，注意到(4，9)、(5，8)中的数都可以由其他两组的数减1、减2得到，因此选出10和6即可．
12．图14—5中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．
【分析与解】 表述1：设每行的和为S ，在左下图中，除了a 出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+…+11)+a=66+a ；
在右上图中除了a 出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+…11)+4a＝66+4a ． 综合以上两式466(1)
5664(2)
S a S a =+⎧⎨
=+⎩，
①×5-②×4得66-11a=0，所以a=6，则S=18．
考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+…+11)-t=5S=90．即4*-t=24，由t 是1～11间的数且t≠*，可知*=7，而每行相等的和S 为18.
表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x ，
首先考虑以下四条直线：(h 、f 、a)，(i 、g 、a)，(x 、d 、b)，(j 、e 、c)，除了标有a 的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a 的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S ，则有： (1＋11)×11÷2+a=4S ，即66+a=4S ．
再考虑以下五条直线：(h 、f 、a)，(i 、g 、a)，(j 、x 、a)，(e 、d 、a)，(c 、b 、a)，同理我们可得到66+4a=5S ．
综合两个等式6646645a S
a S
+=⎧⎨+=⎩，可得a 为6，每条直线上和S 为18．
最后考虑含x 的五条直线：(x 、h)，(x 、g 、f)，(j 、x 、a)，(x 、d 、b)，(i 、x 、c)．其中除了x 出现了5次，e 没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：
66+4x －e=5S=90，即4x-e=24，由e 是1—11间的数且e≠x 可知x=7．
即每行相等的和S 为18，*所填的数为7．
13.由3个不同数字能组成6个互异的三位数，这6个三位数的和是2886．求所有这样的6个三位数中最小的三位数．
【分析与解】设满足条件的最小三位数为abc ，则由a 、b 、c 组成的其他5个三位数为：acb 、bac 、
bca 、cab 、cba ，于是这6个数的和为abc ＋acb +bac +bca +cab +cba =222(a+b+c)=2886，所以
a+6+c=13，于是最小的abc 为139．
所以所有这样的6个三位数中最小的三位数是139．
14．一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数．已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l 倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数．
【分析与解】方法一：17=..0.142857，27=..0.285714，37＝..0.428571，47＝..0.571428，5
7
＝..0.714285，
6
7
＝..0.857142。

对应有142857，285714，428571，571428，714285，857142，它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍．
且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意． 所以这个六位数为142857．
方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然2*****的6倍就不是六位数，于是不妨设这个
六位数为1abcde，那么6个六位数中必定存在一个数为1
abcde.
而个位数字1，只能由1×1，3×7或9×9得到．但是1
abcde只能对应为1abcde×(2—6)，所以只
能是1abcde×3得到．即1
abcde=1abcde×3．
于是，我们不难递推出d为5，c为8，b为2，a为4，所以这个六位数为142857．
方法三：部分同方法二，1
abcde=1abcde×3．
那么有abcde×10+l=(100000+abcde)×3，解得abcde=42857．
所以这个六位数为142857．
15．一个玩具，有一个红色的按钮、一个黄色的按钮和100个能站能坐的小木偶．按一下红色的按钮就会有一个站着的小木偶坐下去，按一下黄色按钮，就可以使站着的小木偶增加一倍．现在只有3个小木偶站着，要想使站着的小木偶增加到21个，而且尽量少按按钮，最少需要按多少次?请给出操作方案．
【分析与解】按红色按钮，站立的减少1个；按黄色按钮，站立的增加为原来的2倍．倒推时，奇数只能加1，偶数可以除以2或加1．
试着从21、3这两端向中间推导：
21→22→
111263 23241263
→←←
⎧
⎨
→←←←⎩
显然第一种情形只用按5次，第二种情形需按6次．
那么最少需要按5次，依次按黄、黄、红、黄、红色按钮即可使站着的小木偶增加到21个．。