2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13 立体几何 )

图 2
俯视图
侧视图
正视图2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（13立体几何 ）
一、选择题：
1．(2013安徽理)在下列命题中，不是公理．．
的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行
（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】A
【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。

所以选A
2. (2013北京文)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个
答案 B
解析 设正方体边长为1，不同取值为P A ＝PC ＝PB 1＝6
3
，
P A 1＝PD ＝PC 1＝1，PB ＝33，PD 1＝233
共有4个．
3．(2013广东理) 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．
143 C ．16
3
D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为
1和2的正方形,高为2,故()
22
11412233
V =+⨯=,故选B ．
4．(2013广东文) 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是
A ．16
B ．13
C ．2
3
D ．1
【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形， 三棱锥的高为2，则111
=112=323
V ⋅
⋅⋅⋅，选B.
5．(2013广东文) 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ
C ．若l α⊥，//l β，则//αβ
D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了.
6．(2013广东理) 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．
A
1A
正视图
侧视图
7、(2013湖北理) 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<<
C. 2134V V V V <<<
D. 2314V V V V <<<
【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C 【相关知识点】三视图，简单几何体体积
8. (2013湖南文) 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1
的矩形，则该正方体的正视图的面积等于____ D ____ A ．
B.1
【答案】 D
【解析】 正方体的侧视图面积为
.2..2212同，所以面积也为正视图和侧视图完全相为，所以侧视图的底边长⋅=
9．(2013湖南理) 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．
等于 A ．
1 B
C
D 【答案】 C
【解析】 由题知，正方体的棱长为1，
12
1
-2.]2,1[]2,1[1<而
上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。

10. (2013江西文) 一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为
A. 200+9π
B. 200+18π
C. 140+9π
D. 140+18π [答案]：A
[解析]：还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱。

11. (2013江西理) 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n +=
A.8
B.9
C.10
D.11
答案 A 解析 由已知得m ＝4，n ＝
4，∴
m ＋n ＝8.选A.
12．(2013辽宁文、理)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3 172 B ．2 10 C.132
D ．3 10 答案 C 解析 ∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥底面ABC ，
将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l ＝
32＋42＋122＝2R ，R ＝13
2.
【解析2】由球心作面ABC 的垂线，则垂足为斜边BC 中点M 。

计算AM=5
2
，由垂径定理，OM=
11
62
AA =，所以半径132=
13．(2013全国大纲文、理) 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于(
)．
A ．
23 B
C ．3
D ．13 答案：A
解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点
H .
∵11BD AC
BD AA AC AA A ⊥⎫
⎪
⊥⎬
⎪
=⎭
1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面
平面
11=CH BD CH C O BD C O O ⊥⎫
⎪
⊥⎬⎪⎭
CH ⊥平面C 1BD ， ∴∠HDC
为CD 与平面BDC 1所成的角． 设AA 1＝2AB ＝
2，则=
=22AC OC
，1C O
由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即222
CH ＝， ∴2
=
3
CH . ∴sin ∠HDC ＝22
3==13
HC DC .故选A.
14．(2013全国新课标Ⅱ理)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )
B C
A
B1
C1A1O
M
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l 答案 D
解析 假设α∥β，由m ⊥平面α，n ⊥平面β，则m ∥n ，这与已知m ，n 为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l 1，则l 1⊥m ，l 1⊥n ，在直线m 上任取一点作n 1平行于n ，那么l 1和l 都垂直于直线m 与n 1所确定的平面，所以l 1∥l
.
15、(2013全国新课标Ⅱ文、理) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是
(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则
得到正视图可以为（ ）
(A) (B) (C) (D) 【答案】A
【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.
16、(2013全国新课标Ⅰ理) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
A 、500π3cm 3
B 、866π3cm 3
C 、1372π3cm 3
D 、2048π3
cm 3
【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题. 【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则2
2
2
(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为
3453
π⨯=500π33
cm ，故选A.
17．(2013全国新课标Ⅰ文、理)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π 答案 A 解析：将三视图还原成直观图为：
上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．
所以V ＝2×2×4＋1
2×22×π×4＝16＋8π.
故选A.
18．(2013山东文) 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )
8
C ．4(5＋1)，8
3
D ．8,8
答案 B
解析 该四棱锥的直观图如图，所以侧面积为：4×1
2
×2×5＝45，
体积为：V ＝13×2×2×2＝8
3
.
tan PAO OA ∠==3PAO ∠=，选B.
20．(2013四川文) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
A ．棱柱
B ．棱台
C ．圆柱
D ．圆台
答案 D
解析 根据三视图可知，此几何体是圆台，选D.
21．(2013四川理) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )
答案 D
解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.
22．(2013浙江文) 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β 答案 C
解析 两条平行线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．故选C.
A ．108 cm 3
B ．100 cm 3
C ．92 cm 3
D ．84 cm 3 答案 B
解析: 将三视图还原成直观图，如图，是去掉一个角的长方体．
V ＝3×6×6－13×⎝
⎛⎭⎫1
2×3×4×4＝100. 故选B.
24．(2013浙江理) 在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面，对于空间任意一点P ，)]([1P f f Q αβ=，)]([2P f f Q βα=恒有21PQ PQ =，则 （A ）平面α与平面β垂直
（B ）平面α与平面β所成的（锐）二面角为0
45 （C ）平面α与平面β平行
（D ）平面α与平面β所成的（锐）二面角为060
【命题意图】本题考查新定义问题的解决，重在知识的迁移，属于较难题 【答案解析】A 用特殊法立即可知选项A 正确
25．(2013重庆文) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．180
B ．200
C ．220
D ．240 答案 D 解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，底面
梯形的面积为1
2(2＋8)×4＝20，梯形的腰长为32＋42＝5，棱柱
的四个侧面的面积之和为(2＋8＋5＋5)×10＝200.所以棱柱的表面积为200＋2×20＝240.
26．(2013重庆理) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.5603 B.580
3 C ．200 D ．240 答案 C 解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，梯形的
面积为1
2
(2＋8)×4＝20，所以棱柱的体积为20×10＝200.
二、填空题：
27．(2013安徽文、理)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S 。

则下列命题正确的是__①②③⑤___（写出所有正确命题的编号）。

①当1
02
CQ <<时，S 为四边形 ②当1
2CQ =
时，S 为等腰梯形
④当
3
14
CQ <<时，S 为六边形
⑤当1CQ =时，S 【答案】 ①②③⑤
【解析1】 CQ DT PQ AT PQ AT T D D 22//1=⇒=且，则相交于设截面与. 对①，时当2
1
0.<<CQ ,则.10<<DT 所以截面S 为四边形，且S 为梯形.所以为真. 对②, 1 = DT ,2
1
.时当=CQ 重合与1,D T ，截面S 为四边形.,11Q D AP APQD =所以截面S 为等腰梯形. 所以为真.
对③, 时当43.=
CQ .31
.21,23,411111====⇒R C T D DT QC 利用三角形相似解得所以为真. 对④, 2 DT 2
3
,143.<<<<时当CQ .截面S 与线段1111C D ,D A 相交，所以四边形S 为五边形.所以为
假.
对⑤, A G APC G D A S C CQ 111111,Q 1.即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当=.对角线长度分别为.2
6
32的面积为，和S 所以为真. 综上，选①②③⑤
【解析2】（1）1
2
CQ =
，S 等腰梯形，②正确，图如下：
（2）1CQ =，S 22
=，⑤正确，图如下：
（3）34CQ =
，画图如下：11
3
C R =，③正确
（4）
3
14
CQ <<，如图是五边形，④不正确；
（5）1
02
CQ <<
，如下图，是四边形，故①正确
【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。

28．(2013北京文)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_____________． 答案 3
解析 由三视图知，四棱锥的高h ＝1，底面是边长为3的正方
形，∴四棱锥的体积V ＝13S ·h ＝1
3
×32×1＝3.
29. (2013北京理)如图，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1
中，E 为BC 的中点，点P 在线段D
答案 25
5
解析 取B 1C 1中点E 1，连接E 1E ，D 1E 1，过P 作PH ⊥D 1E 1，连接C 1H .∴EE 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，
PH ∥EE 1，∴PH ⊥底面A 1B 1C 1D 1，∴P 到C 1C 的距离为C 1H .当点P 在线段D 1E 上运动时，最小值为C 1到线段D 1E 1的距离．在Rt △D 1C 1E 1
中，边D 1E 1上的高h ＝2×15＝2
5
5.
30．(2013福建理) 已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组
合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________ 【答案】12π
【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2
的正方体，
2412R S R ππ∴====球表
31．(2013湖北文) 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台
形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 答案 3
解析 天池盆中水的形状是以上底半径10寸，下底半径6寸，高9寸的圆台，
∴平地降雨量＝1
3
×9×π(102＋10×6＋62)π×142
＝3.
32．(2013江苏) 如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是
1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．
【答案】1：24
【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，
三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．
33. (2013江西文) 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α
上，且AB//CD,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 。

[答案]：4
[解析]：设CD 的中点为M ，连结EM ，FM 易证平面EFM ⊥平面α，则EF 与平面α平行，不会相交，故EF 只与其余四个面相交。

答案 16π－16
解析 由三视图知，该几何体是由一个底面半径r ＝2的圆柱内挖去了一个底面边长为2的正四棱柱，又该几何体的高h ＝4，
∴V ＝(π×22－22)×4＝16π－16.
35．(2013全国大纲文、理) 已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其
公共弦长等于球O 的半径，OK ＝3
2
，且圆O 与圆K 所在的平面所成的
一个二面角为60°，则球O 的表面积等于__________．
答案：16π
解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，
则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°. 又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE
R . 又OK ⊥EK ，∴32＝OE ·sin 60°
∴R ＝2. ∴S ＝4πR 2＝16π.
36．(2013全国新课标Ⅱ文) 已知正四棱锥O ABCD -
，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________。

【答案】24π
【解析】设正四棱锥的高为h
，则2
1
3
h ⨯
=，解得高h =
=
OA ==,所以球的表面积为2424ππ=.
37．(2013全国新课标Ⅰ文)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．
答案 92
π
解析 如图所示，CD 是截面圆的直径． ∴⎝⎛⎭⎫12CD 2·π＝π，即CD ＝2，
设球O 的半径为R ，由AH ∶HB ＝1∶2，
∴AH ＝13×2R ＝23R ，∴OH ＝R －23R ＝
1
3
R ，
由OD 2＝OH 2＋HD 2得：R 2＝1
9
R 2＋1，
∴R 2＝98 ∴S 球＝4πR 2＝92π.
38. (2013陕西文) 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 【答案】π3
【解析】 综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。

其 表面积 = πππ342
1
22=+⋅r r
39. (2013陕西理) 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 3
.
【答案】
3
π 【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。

所以体积
3
2121312ππ=⋅⋅⋅⋅=V
40. (2013上海文) 已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r,O 是上底面圆心，A 、B
BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则r
l
【答案】
3
【解析】 3336
tan
=⇒==
r
l
l r π
由题知，
41．(2013上海理) 在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和
22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封
闭图形记为D
，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成
的几何体为Ω，过(0,)(||1)y
y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱
和一个长方体，得出Ω的体积值为__________
【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为2
2
1228216πππππ⋅⋅+⋅=+．
42． (2013天津文
) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92
π
, 则正方体的棱长
为 .
【解析】设正方体的棱长为a 2r =
，即球半径r =。

若球的体积为92π
，即34
9)32
ππ=，解得a =
43．(2013浙江理) 若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体
的体积等于 cm 3
．
【命题意图】本题考查三视图和体积计算，属于容易题
【答案解析】24 由题意，该几何体为一个直三棱柱截去一个
三棱锥所得
三、解答题：
44．(2013安徽文)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=.
已知2,PB PD PA ===. （Ⅰ）证明：PC BD ⊥
（Ⅱ）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积.
【解析】
（1）证明：连接,BD AC 交于O 点
PB PD = P O B D ∴⊥
又 ABCD 是菱形 BD AC ∴⊥ 而AC PO O ⋂= BD ∴⊥面PAC ∴BD ⊥PC
(2) 由（1）BD ⊥面PAC ︒⨯⨯⨯==
45sin 3262
1
21PAC PEC S S △△ =32
2
36=⨯⨯
1111
32322
P BEC
B PE
C PEC V V S BO --∆==⋅⋅=⨯⨯=
【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.
三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力. 45．(2013安徽理)如图，圆锥顶点为p 。

底面圆心为o ，其母线与底面所成的角为22.5°。

AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°， （Ⅰ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （Ⅱ）求cos COD ∠。

【答案】 （Ⅰ） 见下. （Ⅱ） 212-17 【解析】 （Ⅰ）
m AB PCD AB PCD CD CD AB m C 直线面面且直线面设面//////,D P PAB ⇒⇒⊂=⋂ ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ .
所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C .
（Ⅱ） r
PO
OPF F CD r =
︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒
-︒
=︒∠==︒⋅︒⇒=
︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60
tan
,2
COD r OF PO OF .
)223(3)],1-2(3[2
1
cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22
-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.
46. (2013北京文)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD .E 和F 分别为CD 、PC 的中点．求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；
(3)平面BEF ⊥平面PCD .
证明 (1)平面P AD ∩平面ABCD ＝AD .
又平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AD . ∴P A ⊥底面ABCD .
(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点 所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .
所以ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD . 又因为BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD 所以BE ∥平面P AD .
(3)∵AB ⊥AD ，且四边形ABCD 为平行四边形． ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD .
由(1)知P A ⊥底面ABCD ，则P A ⊥CD ∴CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD 又E 、F 分别为CD 、CP 的中点， ∴EF ∥PD ，故CD ⊥EF .
由EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥底面PCD .
47. (2013北京理) 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5. (1)求证：AA 1⊥平面ABC ；
(2)求证二面角A 1BC 1B 1的余弦值；
(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BD
BC 1
的值．
(1)证明 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC .
又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴AA 1⊥平面ABC . (2)解
在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2＝AC 2＋AB 2，AB ⊥AC
∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .
A 1(0,0,4)，
B (0,3,0)，
C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)，B 1C 1→＝(4，－3,0)，BB 1→
＝(0,0,4)．
设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1
，z
1)，平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
A 1C 1→·n 1＝0，A 1
B →·
n 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
4x 1＝03y 1－4z 1＝0
∴取向量n 1＝(0,4,3)
由⎩⎪⎨⎪⎧
B 1
C 1→·n 2＝0，BB 1→·
n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
4x 2－3y 2＝0，
4z 2＝0.
取向量n 2＝(3,4,0)
∴cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝165×5＝16
25
.
(3)证明 设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→
. ∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)， 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. ∴AD →
＝(4λ，3－3λ，4λ)
又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0
则λ＝925，因此BD BC 1＝925
.
48．(2013福建文) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥面，//AB DC ，
AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠=．
（1）当正视图方向与向量AD 的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图.（要
求标出尺寸，并画出演算过程）；
（2）若M 为PA 的中点，求证：//DM PBC 面； （3）求三棱锥D PBC -的体积．
本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础
知识，考查空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合能力、化归与转化思想，满分12分． 解法一：
（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ， 由已知得，四边形ADCE 为矩形，3AE CD == 在Rt BEC ∆中，由5BC =，4CE =,依勾股定理得： 3BE =，从而6AB =
又由PD ⊥平面ABCD 得，PD AD ⊥
从而在Rt PDA ∆中，由4AD =，60PAD ∠=︒,
得PD = 正视图如右图所示：
（Ⅱ）取PB 中点N ，连结MN ，CN 在PAB ∆中，M 是PA 中点，
∴MN
AB ，1
32
MN AB =
=，又CD AB ,3CD = ∴MN CD ，MN CD =
∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM CN
又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ∴DM 平面PBC
（Ⅲ）1
D PBC P DBC DBC V V S
PD --∆==⋅ 又6PBC s ∆=，
PD =
D PBC V -=解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）取AB 的中点E ，连结ME ,DE
在梯形ABCD 中，BE CD ，且BE CD = ∴四边形BCDE 为平行四边形
∴DE BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ∴DE 平面PBC ，又在PAB ∆中，ME PB ME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC
∴ME 平面PBC .又DE ME E =, ∴平面DME 平面PBC ，又DM ⊂平面DME ∴DM 平面PBC （Ⅲ）同解法一
49．(2013福建理) 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，
//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．
（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面
（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为6
7
，求k 的值；
（3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，
规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k
的表达式（直接写出答案，
不必要说明理由）
本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想
象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分．
解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE
//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==
在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q
222BE CE BC ∴+=
90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥
1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD
1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ， CD ∴⊥平面11ADD A
（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r
的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k
所以(4,6,0)AC k k =-u u u r ，1(0,3,1)AB k =u u u r ，1(0,0,1
)AA =u u u r 设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由10
AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r
得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩
取2y =，得(3,2,6)n k =-
设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||
AA n
AA n AA n θ=〈〉=⋅uuu r
uuu r uuu r 6
7
=
=
，解得1k =．故所求k 的值为1 A B D
C D 1
C 1B 1
A 1
C D O
B
E
'A
H
（Ⅲ）共有4种不同的方案2
257226,018
()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>
⎪
⎩
50．(2013
广东文) 如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，
AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱
锥A BCF -，其中BC =．
(1) 证明：DE //平面BCF ；
(2) 证明：CF ⊥平面ABF ；
(3) 当2
3AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F V -【解析】（1）在等边三角形
ABC 中，AD AE = AD AE DB EC
∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE
⊄平面BCF ，
BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ； （2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 在三棱锥A BCF -中，
BC =22
2BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②
BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面；
（3）由（
1）可知//
GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面
.
11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.
51．(2013广东理) 如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的
点,CD BE =
=O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中
A O '=.
(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；
(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.
【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD === 连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得
OD == 由翻折不变性可知A D '=,
. C O B D
E A C
D O
B
'A
图1
图2
所以
222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,
理可证A O OE '⊥
, 又OD OE O =,所以A O '⊥平面BCDE
. (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.
结合图1可知,
H 为AC 中点,
故OH =,从而A
H '==所以cos OH A HO A H
'∠==
',所以二面角A CD '-
向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D
- 所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y
z =为平面A CD '的法向量,则
00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨
'⋅=⎪⎩,即3020
y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,
所以cos ,3n n OA n OA ⋅'=
==
⋅'
,即二面角A CD B '--.
52．(2013湖北文) 如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为
S 中．
（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；
（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿
藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知
1231
()3
V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.
(1)证明 依题意A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ， C 1C 2⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2， 又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3. 因此四边形A 1A 2B 2B 1，B 1B 2C 2C 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形． 由AA 2∥平面MEFN ，AA 2⊂平面AA 2B 2B ， 且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ，
可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE ，同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG .
又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，
则D 、E 、F 、G 分别为A 1B 1、A 2B 2、A 2C 2、A 1C 1的中点， 即DE 、FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线，
因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝1
2
(d 1＋d 2)，
第20题图
FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝1
2
(d 1＋d 3)，
而d 1<d 2<d 3，故DE <FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)解 V 估<V ，证明如下：
由A 1A 2⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN ，
而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN ，
由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝12BC ＝1
2a 即为梯形DEFG 的高．
因此S 中＝S 梯形DEFG ＝12(d 1＋d 22＋d 1＋d 32)·a 2＝a
8(2d 1＋d 2＋d 3)．
即V 估＝S 中·h ＝ah
8
(2d 1＋d 2＋d 3)．
又S ＝12ah ，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝ah
6
(d 1＋d 2＋d 3)．
于是V －V 估＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)－ah
8
(2d 1＋d 2＋d 3)
＝ah
24[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]． 由d 1<d 2<d 3，得d 2－d 1>0，d 3－d 1>0，故V 估<V .
53、(2013湖北理) 如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点。

（I ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；
（II ）设（I ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足
1
2
DQ CP =。

记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线
PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=。

（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：
连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，
所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l .
因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .
（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC .
因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.
已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC BC C =，所以l ⊥平面PBC .
连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥.
故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.
第19题图 第19题解答图1 第19题解答图2
由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且1
2
DQ CP =.
连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .
连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，
故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得
sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CF
BF
β=， 从而sin sin sin CF BF CF
BF DF DF
αβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=.
（Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且1
2
DQ CP =.
连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD .
以点C 为原点，向量,,CA CB CP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有
(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1
(,0,),(0,0,)2
E a c
F c .
于是1
(,0,0)2
FE a =，(,,)QP a b c =--，(0,,)BF b c =-，
所以||cos
||||
FE QP FE QP a α⋅==
⋅2sin a α=+
又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得||
sin ||||
QP QP a θ⋅=
=
⋅m m
设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z
=n ，
所以由0,
0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,2
0.ax by cz ⎧=⎪
⎨
⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n .
于是|
||cos |||
||β⋅
=
=⋅m n m n ，从而sin β=.
故sin sin sin αβθ=
=，即sin sin sin θαβ=.
54. (2013湖南文) 如图2.在直菱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=错误！未找到引用源。

，AA 1=3，D 是BC 的中点，点E 在菱BB 1上运动。

（I ） 证明：AD ⊥C 1E ；
（II ） 当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时， 求三菱子C 1-A 2B 1E 的体积
【答案】 （Ⅰ） 见下 （Ⅱ）.3
2 【解析】 (Ⅰ)
11C CBB AD E 面为动点，所以需证因为⊥.
AD BB ABC AD ABC BB C B A ABC ⊥⇒⊂⊥∴-11
111,面且面是直棱柱 AD BC BC D ABC RT ⊥∴∆的中点，为是等腰直角且又 .
.1111111E C AD C CBB E C C CBB AD B BB BC ⊥⇒⊂⊥⇒=⋂面且面由上两点，且(证毕)
的高是三棱锥是直棱柱中，在1111111111.2C B A E EB C B A ABC EB E B A RT -∴-=∆⇒ .
.3
2
32213131111111111111的体积为所以三棱锥E B A C EB S V V C B A C B A E E B A C -⋅=⋅⋅=⋅⋅==∆--
55．(2013湖南理) 如图5，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，
190,,1, 3.BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===
（I ）证明：1AC B D ⊥；
（II ）求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值。

【答案】 （Ⅰ） 见下 （Ⅱ）7
21
【解析】 (Ⅰ)
AC
BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱
D
B A
C BDB
D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。

面且又 . (证毕)
（Ⅱ）。

的夹角与平面的夹角即直线与平面直线θ111111,////ACD AD ACD C B AD BC C B ∴ 轴正半轴。

为轴正半轴，为点，量解题。

设原点在建立直角坐标系，用向X AD Y AB A ()BD AC y BD y AC y C y B D D A ⊥-== ),0,,3(),0,,1()0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,01，则，设
).
3,0,3(),0,3,1(.30,003012==∴=⇒>=+-⇒=⋅AD AC y y y BD AC ）
，，（），，（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.0
,111==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅AD n ACD AD n AC n n ACD
721
3
733|,cos |sin 003,313-1=⋅=><=⇒==∴AD n AD n ACD θ），，（），，（的一个法向量平面 7
21
11夹角的正弦值为
与平面所以ACD BD 。

(完)
56．(2013江苏) 如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证：
（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥．
证：（1）因为SA ＝AB 且AF ⊥SB ，
所以F 为SB 的中点．
又E ，G 分别为SA ，SC 的中点， 所以，EF ∥AB ，EG ∥AC ．
又AB ∩AC ＝A ，AB ⊂面SBC ，AC ⊂面ABC ， 所以，平面//EFG 平面ABC ．
（2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝BC ，
AF ⊂平面ASB ，AF ⊥SB ． 所以，AF ⊥平面SBC ． 又BC ⊂平面SBC ，
所以，AF ⊥BC ．
又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， 所以，BC ⊥平面SAB ． 又SA ⊂平面SAB ， 所以，SA BC ⊥．
57．(2013江西文) 如图，直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB//CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA 1=3，
E 为CD 上一点，DE=1，EC=3
（1） 证明：BE ⊥平面BB 1C 1C;
（2） 求点B1 到平面EA 1C 1 的距离
解.（1）证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F
，则
1,2BF AD EF AB DE FC ===-==
在Rt BFE BE Rt BFC BC ∆∆中，，中，
在222
9BCE BE BC EC ∆+中，因为＝＝，故BE BC ⊥
由1111BB ABCD BE BB BE BB C C ⊥⊥⊥平面，得，所以平面 （2
）111111113
A B C E A B C V AA S ∆-∙三棱锥的体积＝
11111
Rt A D C AC ∆在中，，
同理，1EC
，
1EA
因此11
A C E S ∆=。

设点B1到平面11EAC 的距离为d ，则111
B EA
C -三棱锥的体积
1113A EC V d S ∆∙∙＝
d ==
58．(2013江西理) 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，
△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝3
2
，连接CE 并延长交AD 于F .
(1)求证：AD ⊥平面CFG ；
(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．
(1)证明 在△ABD 中，因为E 为BD 中点，
所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π
2
，
∠ABE ＝∠AEB ＝π
3
.
因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，
从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π
3，
所以∠FED ＝∠FEA .
故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，∴EF ∥AB ，GF ∥P A . 又∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴GF ⊥AD ，EF ⊥AD ， 故AD ⊥平面CFG
.
(2)解 以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝⎛⎭
⎫32，3
2，0，D (0，3，0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32， 故BC →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，CP →
＝⎝⎛⎭⎫－32
，－32，32，
CD →
＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0.
设平面BCP 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·CP →＝0n 1·BC →＝0即⎩⎨⎧
－32x 1－32y 1＋3
2z 1＝012x 1＋32y 1＝0
令y 1＝－3，则x 1＝3，z 1＝2，n 1＝(3，－3，2)． 同理求得面DCP 的法向量n 2＝(1，3，2)， 从而平面BCP 与平面DCP 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝44×22＝24
.
59． (2013辽宁文)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点． (1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC . 证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC .
(2)连OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．
由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ， 又O 为AB 中点，得OM ∥BC . 因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ， MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ， BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC . 所以平面QMO ∥平面PBC .
因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .
60．(2013辽宁理) 如图，.AB PA C 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 （I ）求证：PAC PBC ⊥平面平面； （II
）
2.
AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值
(1)证明 由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，。