2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高二(上)第一次月考数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高二（上）第一次月考数学试卷1
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.直线2y+2x−5=0的倾斜角是()
A. 45°
B. 135°
C. 120°
D. 150°
2.若双曲线x2
4−y2
m
=1的焦距为6，则m的值为()
A. 32
B. 5
C. 8
D. −5
3.已知平行直线l1：3x+4y−3
4
=0，l2：12x+16y+37=0则l1，l2的距离为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.若过椭圆x2
4+y2
3
=1的上顶点与右焦点的直线l，则该椭圆的左焦点到直线l的距离为()
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
5.若x，y满足约束条件{x≥0
x+2y≥3
2x+y≤6
，则z=x+y的最小值是()
A. −3
B. 6
C. 3
2
D. 3
6.双曲线x2
4−y2
b2
=1(b>0)上一点P到右焦点的距离为8，则点P到左焦点的距离为()
A. 12或6
B. 2或4
C. 6或4
D. 12或4
7.已知圆C1：x2+y2+2x+8y−8=0，圆C2：x2+y2−4x−4y−2=0，则圆C1与圆C2的位
置关系是()
A. 内含
B. 相交
C. 相切
D. 外离
8.与椭圆x2
49+y2
24
=1有公共焦点，且离心率e=5
4
的双曲线的方程为()
A. x2
9−y2
16
=1 B. x2
16
−y2
9
=1 C. y2
9
−x2
16
=1 D. y2
16
−x2
9
=1
9.圆x2+y2=16上的点到直线x−y=3的距离的最大值为()
A. 3√2
2B. 4−3√2
2
C. 4+3√2
2
D. 8
10.已知椭圆x2+2y2=4，则以(1,1)为中点的弦所在直线的斜率为()
A. 1
2B. −1
2
C. 2
D. −2
11.已知集合A={x|y=log2(x2−8x+15)}，B={x|a<x<a+1}，若A∩B=⌀，则a的取值
范围是()
A. (−∞,3]
B. (−∞,4]
C. (3,4)
D. [3,4]
12.已知点A、B分别为椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的右顶点与上顶点，点M为线段AB的中点，若
∠MOA=30°，则椭圆的离心率是()
A. 1
3B. √2
3
C. √6
3
D. 2√2
3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.点A(0,1)关于直线2x+y=0的对称点坐标是______ ．
14.设点P为椭圆C：x2
a2+y2
4
=1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，
则△PF1F2的面积为________．
15.已知双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦点F1(−2√5,0)，右焦点F2(2√5,0)，离心率e=√5
2
.若
点P为双曲线C右支上一点，则|PF1|−|PF2|=________．
16.在极坐标系中，已知两点P(2,π
3)，Q(2√3,5π
6
)，则线段PQ的长度为____．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.已知直线l:y=2x+1,及两点A(−2,3)、B(1,6)，点P在直线l上.
(1)若点P到A、B两点的距离相等，求点P的坐标；
(2)求|PA|+|PB|的最小值．
18.已知A(0,−1)，B(4,−1)，以AB为直径的圆C截过点M(−1,0)的直线l所得的弦长为2√2．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求直线l的方程．
19. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)经过点E(√3,1
2)，且离心率为√3
2
． (1)求椭圆Γ的方程；
(2)直线l 与圆O ：x 2+y 2=b 2相切于点M ，且与椭圆Γ相交于不同的两点A ，B ，求|AB|的最大值．
20. 已知圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)与直线l 1：x −y −2√2=0相切．
(1)求圆O 的方程；
(2)求直线l 2：4x −3y +5=0截圆O 所得弦AB 的长；
(3)过点G(3,1)作两条直线与圆O 相切，切点分别为M ，N ，求直线MN 的方程．
21. 已知椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e =√22，且过点(1,√2
2
)， (1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l ：y =k(x +1)与该椭圆交于M 、N 两点，且|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=
2√26
3
，求直线l 的方程．
22.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的上顶点M与左右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为√3，
又椭圆C的离心率为1
2
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．
-------- 答案与解析 --------1.答案：B
解析：
【分析】
由直线方程求出斜率，再由斜率公式求出直线的倾斜角．
本题考查由直线方程求出直线的斜率、倾斜角，以及斜率公式，属于基础题．【解答】
解：由题意知，直线方程是：2y+2x−5=0，
∴直线2y+2x−5=0的斜率k=−1，
由k=tanα，α∈[0∘,180∘)得，则直线的倾斜角是135°，
故选：B．
2.答案：B
解析：解：因为双曲线x2
4−y2
m
=1，所以a=2，b=√m，
又双曲线的焦距是6，所以6=2√4+m，解得m=5．
故选：B．
利用双曲线的标准方程，求出a，b，c，利用双曲线x2
4−y2
m
=1的焦距是6，求出m的值．
本题是基础题，考查双曲线的简单性质，双曲线的定义的应用，考查计算能力．
3.答案：B
解析：解：已知平行直线l1：3x+4y−3
4
=0，l2：12x+16y+37=0，即已知平行直线l1：12x+ 16y−3=0，l2：12x+16y+37=0，
故它们之间的距离为
√122+162
=2，
故选：B．
先把两条平行直线方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式，得出结论．本题主要考查两条平行直线间的距离公式应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．
4.答案：C
解析：解：由椭圆x2
4+y2
3
=1，可得a=2，b=√3，c=√a2−b2=1．
可得：上顶点(0,√3)，右焦点(1,0)，
则直线l的方程为：x+
√3
=1，即√3x+y−√3=0．
该椭圆的左焦点(−1,0)到直线l的距离=|−√3−√3|
2
=√3．故选：C．
由椭圆x2
4+y2
3
=1，可得a，b，c.可得：上顶点，右焦点，则可得直线l的方程，利用点到直线的距
离公式即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.答案：C
解析：解：由约束条件{x≥0
x+2y≥3
2x+y≤6
作出可行域如图，
A(0,3
2
)，
化目标函数z=x+y为y=−x+z，由图可知，当直线y=−x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最小值为3
2
．
故选：C．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
6.答案：D
解析：
【分析】
本题主要考查双曲线的定义．
【解答】
解：由定义得：||PF1|−8|=2a=4,
所以点P到左焦点的距离为12或4．
故选D．
7.答案：B
解析：
【分析】
本题考查两圆的位置关系，利用两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交．【解答】
解：圆C1：x2+y2+2x+8y−8=0即(x+1)2+(y+4)2=25，
表示以A(−1,−4)为圆心，以5为半径的圆．
C2：x2+y2−4x+4y−2=0即(x−2)2+(y+2)2=10，
表示以A(2,−2)为圆心，以√10为半径的圆．
两圆的圆心距d=√9+4=√13，大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交，
故选B．
8.答案：B
解析：解：∵椭圆x2
49+y2
24
=1的焦点为(±5,0)，
∴与椭圆x2
49+y2
24
=1有公共焦点，且离心率e=5
4
的双曲线方程中，
c=5，a=4，b2=25−16=9，
∴所求的双曲线方程为：x2
16−y2
9
=1．
故选：B．
先求出椭圆x2
49+y2
24
=1的焦点为(±5,0)，由此得到与椭圆x2
49
+y2
24
=1有公共焦点，且离心率e=5
4
的双
曲线方程中，c=5，a=4，从而能求出双曲线方程．
本题考查双曲线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的简单性质的应
用．
9.答案：C
解析：
【分析】
本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题．求出圆心到直线的距离，是解题的关键．
【解答】
解：圆心(0,0)到直线x−y=3
2=3√2
2
，又圆的半径等于4，
故圆x2+y2=16上的点到直线x−y=3的距离的最大值为4+3√2
2
，故选C．
10.答案：B
解析：
【分析】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
【解答】
解：已知椭圆x2+2y2=4，
设以(1,1)为中点的弦交圆A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x12+2y12=4①，
x22+2y22=4②，
①−②(x12−x22)+2[y12−y22]=0，
则(x1+x2)(x1−x2)=−2(y1+y2)(y1−y2)，
弦的中点为(1,1)，即x1+x2
2=1,y1+y2
2
=1，
则y1−y2
x1−x2
=−1
2
，
即所求直线的斜率为−1
2
．
故选B．
11.答案：D
解析：解：集合A={x|y=log2(x2−8x+15)}={x|x2−8x+15>0}={x|x<3或x>5}，B={x|a<x<a+1}；
若A∩B=⌀，则3≤a且a+1≤5，
解得3≤a≤4，
∴a的取值范围为[3,4]．
故选：D．
化简集合A，根据A∩B=⌀，得出3≤a且a+1≤5，从而求a的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
12.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查椭圆离心率的求法，属于基础题．
推导出OM=MA=MB，∠MOA=∠BAO=30°，则可得到a，b的关系，由此能求出椭圆的离心率．【解答】
解：∵A、B分别为椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的右顶点与上顶点，
∴A(a,0)，B(0,b)，
∵M为线段AB的中点，∠AOB=90°，∴OM=MA=MB，∠MOA=∠BAO，∵∠MOA=30°，
∴∠BAO=30°，
∴|OB|
|OA|=b
a
=tan30°=√3
3
，
∴a=√3b，
∴c2=a2−b2=3b2−b2=2b2，
∴c=√2b
∴椭圆的离心率e=√2
√3=√6
3
．
故选：C．
13.答案：(−4
5,3 5 )
解析：
【分析】
本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，属于基础题．
设点A(0,1)关于直线2x+y=0的对称点坐标是B(a,b)，利用垂直、和中点在对称轴上这两个条件求出a、b的值，可得对称点坐标．
【解答】
解：设点A(0,1)关于直线2x+y=0的对称点坐标是B(a,b)，
则由{b−1a−0
×(−2)=−12⋅a+02
+b+12
=0
，求得{a =−4
5b =35
，可得B(−45,35)，
故答案为：(−45,3
5).
14.答案：4√3
3
解析： 【分析】
由椭圆的性质可得c =√a 2−4，又∠F 1PF 2=60°，|F 1P|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2√a 2−4，然后运用余弦定理得|F 1F 2|2=(|F 1P|+|PF 2|)2−2|F 1P||PF 2|−2|F 1P|·|PF 2|cos60°=4a 2−3|F 1P|·|PF 2|=4a 2−16，可得|F 1P|·|PF 2|=163
，进而运用三角形面积公式求出结果．
【解答】
解：由题意知，c =√a 2−4，
又∠F 1PF 2=60°，|F 1P|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2√a 2−4，
∴|F 1F 2|2=(|F 1P|+|PF 2|)2−2|F 1P||PF 2|−2|F 1P|·|PF 2|cos60°=4a 2−3|F 1P|·|PF 2|=4a 2−16， ∴|F 1P|·|PF 2|=
163
，
∴S △PF 1F 2=12|F 1P|·|PF 2|sin60°=1
2×163
×√3
2
=
4√3
3
． 故答案为
4√3
3
．
15.答案：8
解析：解：由题意c =2√5，∵e =√5
2.∴a =4，
由双曲线的定义可知|PF 1|−|PF 2|=2a =8． 故答案为：8．
利用双曲线的焦点坐标以及离心率求出实半轴a ，然后利用双曲线的定义求解即可． 本题考查双曲线的定义以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
16.答案：4
解析： 【分析】
本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
直接利用转换关系和两点间的距离公式求出结果． 【解答】
解：已知两点P(2,π
3)，Q(2√3,
5π6
)，
转换为直角坐标为：P(1,√3)，Q(−3,√3)， 则|PQ|=√(1+3)2+0=4． 故答案为4．
17.答案：解：(1)线段AB 的中点为(−12,92)，k AB =3−6
−2−1=1．
∴线段AB 的垂直平分线方程为：y −9
2=−(x +1
2)， 化为：x +y −4=0．
联立{x +y −4=0y =2x +1，解得x =1，y =3．
∴P(1,3)．
(2)设点A(−2,3)关于直线l 的对称点为A′(a,b)， 则{3−b
−2−a ×2=−13+b 2
=2×−2+a 2
+1
，解得a =145，b =3
5
． 则|PA|+|PB|≥|A′B|=√(
145
−1)2+(35
−6)2=
9√105
．
解析：(1)线段AB 的中点为(−12,9
2)，k AB =3−6
−2−1=1.可得线段AB 的垂直平分线方程，再与直线l 的方程联立即可得出．
(2)设点A(−2,3)关于直线l 的对称点为A′(a,b)，可得{3−b
−2−a
×2=−1
3+b
2
=2×
−2+a 2
+1
，解得a ，b.可得|PA|+|PB|≥|A′B|．
本题考查了直线方程、对称性、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.答案：解：(1)依题意得圆心C(2,−1)，半径r =12|AB|=1
2√(0−4)2+(−1+1)2=2，
∴圆C 的标准方程为(x −2)2+(y +1)2=4；
(2)当直线l 与x 轴垂直，即直线l 方程为x =−1时，显然不符合题意， 即直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为y =k(x +1)，即kx −y +k =0， 则圆心C 到直线l 的距离d =
2=
2
∵圆C 截直线l 所得的弦长为2√2，∴d =√22−(2√22
)2
=√2，
∴
2=√2，
解得k =−1或k =1
7，
∴直线l 的方程为y =−1·(x +1)或y =1
7⋅(x +1)， 即x +y +1=0或x −7y +1=0．
解析：本题考查了圆的方程求解以及直线与圆的位置关系，属于中档题． (1)由题意求解圆的圆心与半径，即可求解．
(2)利用弦长求圆心到直线的距离，然后可求直线方程．
19.答案：解：(1)将E(√3,12)代入椭圆方程，3a 2+1
4b 2=1，
由椭圆的离心率e =c a =√a 2
−b 2
a =√32，
解得：a =2，b =1， ∴椭圆Γ的方程为
x 24
+y 2=1．
(2)当直线l 垂直于x 轴时，由直线l 与圆O ：x 2+y 2=1相切， 可知直线l 的方程为x =±1，易求|AB|=√3．
当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y =kx +m ， 由直线l 与圆O ：x 2+y 2=1相切，得√k 2+1=1，即m 2=k 2+1， 将y =kx +m 代入
x 24
+y 2=1，整理得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0，
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8km
1+4k 2，x 1x 2=
4m 2−41+4k 2
，
|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km
1+4k 2)2−
16m 2−161+4k 2
=
4√1+k 2
√1+4k 2−m 2
1+4k 2
，
又因为m 2=k 2+1， 所以|AB|=4√3|k|√k 2
+11+4k
2≤2(3k
2+k 2+1)
1+4k 2
=2，
当且仅当√3|k|=√k 2+1，即k =±√2
2时等号成立，
综上所述，|AB|的最大值为2．
解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查分类讨论思想，属于中档题．
20.答案：解：(1)由题意知，r =√2
22=2，
所以圆O 的方程为x 2+y 2=4；
(2)由题意，圆心到l 2的距离d =22=1，
∴|AB|=2√4−1=2√3 ；
(3)由题意知，M ，N 在以GO 为直径的圆上．
其方程为(x −3
2)2+(y −1
2)2=5
2，即x 2+y 2−3x −y =0 ， 又M ，N 在圆O ：x 2+y 2=4上，两式相减得3x +y =4 即直线MN 的方程为3x +y −4=0．
解析：本题考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，属于中档题． (1)由题意知，r =
√222
=2.即可得圆O 的方程．
(2)由题意，圆心到l 2的距离 d ，|AB|=2√r 2−d 2 即可．
(3)由题意知，M ，N 在以GO 为直径的圆上，又M ，N 在圆O ：x 2+y 2=4上，两式相减得直线MN 的方程．
21.答案：解：(1)由椭圆的离心率e =c a =√1−b 2
a 2=√22
，则a 2=2b 2，
将(1,√2
2)代入椭圆方程：x 2
2b 2+y 2
a
2=1，解得：a 2=2，b 2=1，
∴求椭圆的方程为
x 22
+y 2=1； …(4分)
(2)设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，
联立{y =k(x +1)
x 22+y 2
=1，消元得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， ∴x 1+x 2=−4k 2
1+2k ，x 1x 2=
2k 2−21+2k
，
∴y 1y 2=k(x 1+x 1+2)=2k
1+2k 2，
又∵F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)，F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)，则F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2−2,y 1+y 2)，
∴|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1+x 2−2)2+(y 1+y 2)2=√(8k 2
+21+2k 2)2+(2k 1+2k 2)2=2√263，
化简得40k 4−23k 2−17=0，
解得k 2=1或k 2=−17
40(舍去)，则k =±1，
∴所求直线l 的方程为y =x +1，y =−x −1. …(12分)
解析：(1)由椭圆的斜率公式，将点代入椭圆方程，即可求得a 和b 的方程，即可求得椭圆方程； (2)将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标，利用向量的模长公式即可求得k 的值，求得椭圆方程．
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．
22.答案：解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的上顶点M 与左右焦点F 1，F 2构成三角形MF 1F 2
面积为√3， ∴bc =√3，
∵e =c
a =1
2，a 2=b 2+c 2， ∴a =2，b =√3，c =1， ∴椭圆方程为
x 24
+y 23
=1；
(2)过点F 1的直线l 的方程为x =my −1，
联立方程组{x =my −1x 24
+y 23
=1
，消x 可得(3m 2+4)y 2−6my −9=0，
设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=−9
3m 2+4， ∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2
)2
−4y 1y 2=√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=
12√m 2+13m 2+4
，
∴△F 2AB 面积S =12
|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=12√m
2+1
3m 2+4
令√m 2+1=t ，则t ≥1， ∴S =
12t 3t 2+1
=
123t+1t
，
由于y =3t +1
t ，t ≥1 ∴y ′=3−1
t 2≥0恒成立， ∴y =3t +1t 在[1,+∞)为增函数，
∴y min =3+1=4，当t =1时，即m =0时取等号 ∴S max =
124=3，
故△F2AB面积的最大值为3．
解析：(1)利用已知条件求出椭圆的a，b，c，然后求解椭圆方程．
(2)设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解三角形的面积，转化求解表达式的最值即可．
本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，注意韦达定理、换元法、函数单调性的合理运用．属于中档题．。