高中数学必修五 余弦定理

证法3 (用正弦定理证明) ∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. ∴b2＋c2－2bccosA＝4R2(sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA) ＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)] ＝4R2[sin2B＋sin2C－2sin2Bsin2C＋2sinB· sinCcosBcosC] ＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋sin2C(1－sin2B)＋ 2sinBsinCcosBcosC]
证法2 (解析法)如图，以A点为原点，以△ABC的边AB所 在直线为x轴，以过A与AB垂直的直线为y轴，建立直角坐标 系，则A(0,0)，C(bcosA，bsinA)，B(c,0)，由两点间的距离公式 得
BC2＝(bcosA－c)2＋(bsinA－0)2， a2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A， 即a2＝b2＋c2－2bccosA. 同理可证b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
在△ABC中，已知a＝2，b＝2 2 ，C＝15° ，求角
【例1】
A，B和边c的值． 【分析】 来求c的值． 由条件知C为边a，b的夹角，故应由余弦定理
6＋ 2 【解】 cos15° ＝cos(45° －30° )＝ 4 . 由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)＝8－4 3， ∴c＝ 8－4 3＝ 6－ 22＝ 6－ 2.
(3)常见结论：设a，b，c是△ABC的角A，B，C的对边， ①若a2＋b2＝c2，则C＝90° ； ②若a2＋b2>c2，则C<90° ； ③若a2＋b2<c2，则C>90° ； π ④若sin2A＝sin2B，则A＝B，或A＋B＝2.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一
典 例 剖 析 已知两边及夹角解三角形
(4)要注意正弦定理或余弦定理结合使用，同时，要注意三 角公式的应用． (5)利用余弦定理求三角形内角时，一般先求小角，后求 大角． (6)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，也 可以使用余弦定理．如：已知a，b，A，可先由余弦定理求出 c，即a2＝b2＋c2－2bccosA.此时，边c的解的个数对应三角形解 的个数．
2
11 5 3 2 1－ 14 ＝ 14 .
5 3 ∴最大角A为120° ，sinC＝ . 14
规律技巧
已知三角形三边求角可先用余弦定理，再用正
弦定理．利用余弦定理求角时，角是唯一确定的，用正弦定理 求角时，则需根据三角形边角关系确定角的取值，要防止产生 增解或漏解.
三
已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形
名师讲解 1.余弦定理的其他证法 课本使用了向量的方法推导出了余弦定理，还可以用其他 方法进行证明．
证法1 (勾股定理法)在三角形ABC中，已知边a，b及C，求 边c的长． 如果C＝90° ，那么可以用勾股定理求c的长； 如果C≠90° ，那么是否仍可以用勾股定理来解呢？ 很自然的想法是构造直角三角形，以便于应用勾股定理进 行计算． 当C为锐角时(图①)，高AD把△ABC分成两个直角三角形 ADB和ADC；当C为钝角时(图②)，作高AD，则构造了两个直 角三角形ADB和ADC，算出c的关键是先算出AD和BD(或DC)．
2．从余弦定理，可以得到它的推论： cosA＝____________________________， cosB＝____________________________， cosC＝____________________________.
自 1.平方 和 积 b2＋c2－2bccosA c2＋a2－ 我 2accosB a2＋b2－2abcosC 校 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 a2＋b2－c2 2. 2bc 2ca 2ab 对
【错因分析】
运用余弦定理求边长时，易产生增解，因
此要结合题目中隐含条件进行判断．
【正解】 由正弦定理，得 c sinC sin2A ＝ ＝ ＝2cosA， a sinA sinA c 3 ∴ ＝ .又a＋c＝10，∴a＝4，c＝6. a 2 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＋20 3 得 12b ＝4，∴b＝4，或b＝5.
题目已知两边和一边的对角，要求另一边和其
他的角，可首先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和 角，亦可由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a， 再由正弦定理求角A，角C.
3 【解】 解法1：由b<c，B＝30° ，b>csin30° ＝ 2 3 ，知本 题有两解． csinB 3 3 1 3 ∵sinC＝ ＝ × ＝ ， b 3 2 2 ∴C＝60° ，或C＝120° . 当C＝60° 时，A＝90° ，由勾股定理，得 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6； 当C＝120° 时，A＝30° ，△ABC为等腰三角形， ∴a＝3.
2×2 3×3· cos30° ＝3，∴c＝ 3.
2．在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝4：5：6， 求△ABC的最大内角．
解 设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k>0)，则a＋b＋c ＝7.5k， 解得a＝3.5k，b＝2.5k，c＝1.5k， ∴a是最大的边，即角A是△ABC的最大角． b2＋c2－a2 1 由余弦定理，得cosA＝ ＝－ . 2bc 2 ∵0° <A<180° ，∴A＝120° ，即最大角为120° .
2
解得c＝ 3± 3.∵c>0，∴c＝3＋ 3.
解法2：在△ABC中，a＝2 3，b＝ 6，A＝45° ， 2 6× 2 bsinA 1 由正弦定理，得sinB＝ ＝ ＝ . a 2 2 3 ∵b<a，∴B<A，∴B＝30° ，C＝105° . ∵sinC＝sin(60° ＋45° )＝sin60° cos45° ＋cos60° sin45° ＝ 6＋ 2 ， 4 6＋ 2 2 3× 4 asinC ∴c＝ ＝ ＝3＋ 3. sinA 2 2
第一章
解三角形
§1.1
算法与程序框图
第二课时
余弦定理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.了解余弦定理与勾股定理的区别与联系． 2．理解余弦定理的推导过程． 3．掌握余弦定理及其变式，用余弦定理解决一些简单的三 角形度量问题.
课前热身 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的 ____________的____________减去这两边与它们的夹角的余弦 的____________的两倍，即 a2＝__________________________， b2＝__________________________， c2＝__________________________.
当b＝4时，∵a＝4，∴A＝B. 又C＝2A，且A＋B＋C＝π， π 3 ∴A＝4与已知cosA＝4矛盾，不合题意，舍去． 当b＝5时，满足题意．∴b＝5.
随堂训练 1.在△ABC中，已知a＝2 3，b＝3，C＝30° ，求c的值．
解
由余弦定理c2ห้องสมุดไป่ตู้a2＋b2－2abcosC＝(2
3
)2＋32－
3．如何判断三角形的形状问题 (1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三 角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)． (2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般 地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系； 要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变 形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．
a c 解法1：由正弦定理sinA＝sinC，得 3 5× 2 csinA 5 3 sinC＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角A为120° ，sinC＝ 14 .
a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法2：∵cosC＝ 2ab ＝ ＝ ， 2×7×3 14 ∴C为锐角． ∴sinC＝ 1－cos C＝
解法2：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos30° ，即 a2－9a＋18＝0. ∴a＝6，或a＝3. 1 6×2 asinB 当a＝6时，由正弦定理，得sinA＝ b ＝ 3 ＝1， ∴A＝90° ，C＝60° . 当a＝3时，A＝30° ，C＝120° .
＝4R2[sin2Bcos2C＋sin2Ccos2B＋2sinBsinC· cosBcosC] ＝4R2sin2(B＋C)＝4R2sin2A＝a2. 同理可证b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
2．使用余弦定理的注意事项 (1)利用余弦定理解三角形时，要注意根据条件恰当选取 公式．一般地，求边长时，使用余弦定理；求角时，使用定理 的推论． (2)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它 们解三角形时要根据条件灵活选择． (3)余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、 边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其 变成了可以计算的公式．
【例3】
在△ABC中，已知角A，B，C所对的三边长分别
为a，b，c，若a＝2 3，b＝ 6，A＝45° ，求边长c. 【分析】 已知△ABC中的两边及其中一边的对角，应用
余弦定理或正弦定理都可以解决问题．
【解】
解法1：在△ABC中，a＝2 3，b＝ 6，A＝45° ，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即 2 12＝6＋c －2 6c× 2 ，即c2－2 3c－6＝0.
→ → 考查向量 AC 在向量 BC 方向上的正射影数量：当C分别为锐 角和钝角时，得到的两个数量符号相反；当C为直角时，其向 → 量 AC 在直角边上的正射影的数量为零．因此，不论C是锐角、 钝角还是直角，都有
AD＝bsinC，DC＝bcosC，BD＝a－bcosC. 在Rt△ADB中，运用勾股定理，得 c2＝AD2＋BD2＝b2sin2C＋(a－bcosC)2 ＝a2＋b2－2abcosC. 同理可得 b2＝a2＋c2－2accosB， a2＝b2＋c2－2bccosA.
规律技巧 比较两种解法，从中体会各自的优点，从而总结 出适合自己思维的解题规律和方法. 1解法1直接运用正弦定理，求出sinC＝ 解，不要漏解. 2解法2利用余弦定理，列出关于a的等量关系式建立方 程，运用解方程的方法求出边长a. 3 2 ，注意C有两
3在解三角形时，有时用正弦定理，有时用余弦定理，若 已知两边及夹角时，可考虑使用余弦定理，先求第三边，再用 正弦定理或余弦定理及三角形内角和定理求解三角形中另外的 元素.
易错探究 3 在△ABC中，C＝2A，a＋c＝10，cosA＝ ，求b. 4
【错解】
c sinC sin2A 由正弦定理a＝sinA＝ sinA ＝2cosA，
c 3 ∴a＝2.又a＋c＝10， ∴a＝4，c＝6. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA， 得b2－9b＋20＝0， ∴b＝4或b＝5.
a c 由正弦定理，得sinA＝sinC，
6－ 2 2× 4 asinC asin15° 1 sinA＝ c ＝ c ＝ ＝2， 6－ 2 1 ∵b>a，sinA＝2，∴A＝30° . ∴B＝180° －A－C＝135° .
规律技巧
本题求出c后，用正弦定理求角A，需要讨论确
定A的值，而求出c后，再用余弦定理求角A，可以避免讨论.
规律技巧
使用正弦定理求角时，要注意讨论解的情况，
舍去增根；使用余弦定理求角时，角的余弦值对应的角是唯一 的．可以避免讨论．比较本例两种方法知，解法1比解法2简 单，因此解题时，应根据具体情况作出选择.
四
正弦定理、余弦定理的应用比较
3 ，B＝30° ，求角
【例4】 △ABC中，已知b＝3，c＝3 A，角C和边a. 【分析】
二
已知三边解三角形
【例2】 和sinC. 【分析】
在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角
解答本题可先由大边对大角，确定出最大的
角，再由正、余弦定理求出最大角及sinC.
【解】 ∵a>c>b，∴A为最大角． 由余弦定理变形，得 b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cosA＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sinA＝sin120° ＝2.