人教版高一物理必修第二册专题：5.2小船过河和关联速度
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2.绳末端速度分解的分析： 如右图所示，取船与绳的连 结点 A 为研究对象(此点既 是船上的点，又是绳子上的 点)．因为船上 A 点的速度即船的实际运动速度 v， 绳子 A 点既有沿绳方向的收缩(或伸长)速度 v1(沿 绳方向的直线运动)，又有沿垂直绳方向的转动速 度 v2(以绳轮间支点为中心的圆周运动)，所以 v 是 v1 和 v2 的合速度．
提示：将船的 运动分解成沿 绳方向的运动 和垂直绳方向 的运动。
V1
V V2
V=V1/cos600=8m/s
8
※6、一人骑自行车向西行驶，当车速为4m/s
时，他感觉到风从正南方向吹来，当车速增加到
7m/s时，他感觉到风从东南（东偏南45°）方
向吹来，则风对地的速度大小为（ ）
A、4m/s
B、5m/s
C、6m/s
D、7m/s
v合
v合 v2
v2
v1
v1
45
v1 3m / s
9
二、绳拉船模型分析 1．模型展示：船在靠岸的过程中，通过一条跨过定滑轮的绳拉 船．研究拉船的绳端速度与船速的关系．在绳跟滑轮间的支撑点 看绳拉船头部位，该部位的实际运动是受水面约束的直线运动， 这也是合运动．它实际上是同时参与了两个分运动：一是沿绳方 向的直线运动，二是具有沿垂直绳方向线速度的圆周运动．此类 问题在建筑工地的塔吊工作中也很常见．
7．两个典型模型的分析 一、小船渡河模型分析
1．模型展示：小船在渡河时，同时参与了两个运
动：一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相
对水的运动．小船实际发生的运动是合运动，而
这两个运动是分运动．模型主要讨论船渡河时间
最短和位移最短这两个问题．设一条河宽 d，船
在静水中的速度为 v1，水流速度为 v2，下面讨论 小船渡河的这两类问题．
2．三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水
的流速)、v(船的实际速度)．
1
3．三种情景 (1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间 最短，t 短＝vd1(d 为河宽)．
(2)过河路径最短(v2＜v1 时)：合速度垂直于河 岸，航程最短，x 短＝d.
2
(3)过河路径最短(v2＞v1 时)：合速度不可能垂直于 河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如右图所 示，以 v2 矢量末端为圆心，以 v1 矢量的大小为半 径画弧，从 v2 矢量的始端向圆弧作切线，则合速 度沿此切线方向航程最短． 由图可知：sin θ＝vv12，最短航程：x 短＝sind θ＝vv21d.
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小船渡河问题 1．小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河 水流动的速度无关． 2．小船渡河问题，多是求渡河最短时间或是渡河最小位移，需牢记这两类 渡河问题的解题关键： (1)船头与河岸垂直时渡河时间最短； (2)船随水向下游运动速度与水速相同； (3)船的合速度与河岸垂直时能到达正对岸．
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如右图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条 件下，当小车匀速向右运动时，物体 A 的受力 情况是( ) A．绳的拉力大于 A 的重力 B．绳的拉力等于 A 的重力 C．绳的拉力小于 A 的重力 D．拉力先大于重力，后变为小于重力
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答案： A
解析： 车水平向右的速度(也就是 绳子末端的运动速度)为合速度，它 的两个分速度 v1、v2 如右图所示， 其中 v2 就是拉动绳子的速度，它等 于 A 上升的速度． 由图得，vA＝v2＝vcos θ. 小车匀速向右运动过程中，θ 逐渐变小，可知 vA 逐渐变大，故 A 做加速运动，由 A 的受力及牛顿 第二定律可知绳的拉力大于 A 的重力，故选 A.
3
甲、乙两船在同一条河流中同时 开始渡河，河宽为 H，河水流速 为 v0，划船速度均为 v，出发时 两船相距23 3H，甲、乙两船船头 均与河岸成 60°角，如右图所示．已知乙船恰好能 垂直到达对岸 A 点，则下列判断正确的是( )
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．甲、乙两船到达对岸的时间不同 B．v＝23 3 C．两船可能在未到达对岸前相遇 D．甲船也在 A 点靠岸
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5．河宽d＝200 m，水流速度v1＝3 m/s，船在静水中的速度v2＝5 m/s.求： (1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多 大？ (2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
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【解析】 (1)当船头指向对岸时，渡河时间最短，如图甲所示．
tmin＝vd2＝40 s 船经过的位移大小
静水中的速度是v＝5m/s.求 （1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最 短时间是多少？船经过的位移多大？ （2）欲使船渡河路程最短，船应怎样渡河？渡 河时间多长？
7
5、在高处拉低处小船时，通常在河岸上通过滑轮
用钢绳拴船，若拉绳的速度为V1=4m／s，当拴船 的绳与水平方向成60°时，船的速度是多少?
5
答案： D
解析： 渡河时间均为vsinH60°，乙能垂直于河 岸渡河，对乙船，由 vcos 60°＝v0，可得 v＝2v0， 甲船在该时间内沿水流方向的位移为(vcos 60° ＋v0)vsinH60°＝23 3H 刚好到 A 点．综上所述， A、B、C 错误，D 正确．
6
4、河宽d＝100m，水流速度v0=3m/s，船在
x＝vtmin＝ v21＋v22tmin≈233 m.
甲
(2)欲使船航行距离最短，需使船的实际位移(合位移)与河岸垂直，设此时船
的航行速度v2与岸成θ角，如图乙所示．
则cos θ＝vv12＝35. v′＝ v22－v21＝4 m/s 渡河时间t′＝vd′＝50 s.
乙
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【答案】 (1)船头指向对岸 40 s 233 m (2)船头指向上游，与岸所成角的余弦值为35 50 s
2.绳末端速度分解的分析： 如右图所示，取船与绳的连 结点 A 为研究对象(此点既 是船上的点，又是绳子上的 点)．因为船上 A 点的速度即船的实际运动速度 v， 绳子 A 点既有沿绳方向的收缩(或伸长)速度 v1(沿 绳方向的直线运动)，又有沿垂直绳方向的转动速 度 v2(以绳轮间支点为中心的圆周运动)，所以 v 是 v1 和 v2 的合速度．
提示：将船的 运动分解成沿 绳方向的运动 和垂直绳方向 的运动。
V1
V V2
V=V1/cos600=8m/s
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※6、一人骑自行车向西行驶，当车速为4m/s
时，他感觉到风从正南方向吹来，当车速增加到
7m/s时，他感觉到风从东南（东偏南45°）方
向吹来，则风对地的速度大小为（ ）
A、4m/s
B、5m/s
C、6m/s
D、7m/s
v合
v合 v2
v2
v1
v1
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v1 3m / s
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二、绳拉船模型分析 1．模型展示：船在靠岸的过程中，通过一条跨过定滑轮的绳拉 船．研究拉船的绳端速度与船速的关系．在绳跟滑轮间的支撑点 看绳拉船头部位，该部位的实际运动是受水面约束的直线运动， 这也是合运动．它实际上是同时参与了两个分运动：一是沿绳方 向的直线运动，二是具有沿垂直绳方向线速度的圆周运动．此类 问题在建筑工地的塔吊工作中也很常见．
7．两个典型模型的分析 一、小船渡河模型分析
1．模型展示：小船在渡河时，同时参与了两个运
动：一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相
对水的运动．小船实际发生的运动是合运动，而
这两个运动是分运动．模型主要讨论船渡河时间
最短和位移最短这两个问题．设一条河宽 d，船
在静水中的速度为 v1，水流速度为 v2，下面讨论 小船渡河的这两类问题．
2．三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水
的流速)、v(船的实际速度)．
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3．三种情景 (1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间 最短，t 短＝vd1(d 为河宽)．
(2)过河路径最短(v2＜v1 时)：合速度垂直于河 岸，航程最短，x 短＝d.
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(3)过河路径最短(v2＞v1 时)：合速度不可能垂直于 河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如右图所 示，以 v2 矢量末端为圆心，以 v1 矢量的大小为半 径画弧，从 v2 矢量的始端向圆弧作切线，则合速 度沿此切线方向航程最短． 由图可知：sin θ＝vv12，最短航程：x 短＝sind θ＝vv21d.
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小船渡河问题 1．小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河 水流动的速度无关． 2．小船渡河问题，多是求渡河最短时间或是渡河最小位移，需牢记这两类 渡河问题的解题关键： (1)船头与河岸垂直时渡河时间最短； (2)船随水向下游运动速度与水速相同； (3)船的合速度与河岸垂直时能到达正对岸．
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如右图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条 件下，当小车匀速向右运动时，物体 A 的受力 情况是( ) A．绳的拉力大于 A 的重力 B．绳的拉力等于 A 的重力 C．绳的拉力小于 A 的重力 D．拉力先大于重力，后变为小于重力
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答案： A
解析： 车水平向右的速度(也就是 绳子末端的运动速度)为合速度，它 的两个分速度 v1、v2 如右图所示， 其中 v2 就是拉动绳子的速度，它等 于 A 上升的速度． 由图得，vA＝v2＝vcos θ. 小车匀速向右运动过程中，θ 逐渐变小，可知 vA 逐渐变大，故 A 做加速运动，由 A 的受力及牛顿 第二定律可知绳的拉力大于 A 的重力，故选 A.
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甲、乙两船在同一条河流中同时 开始渡河，河宽为 H，河水流速 为 v0，划船速度均为 v，出发时 两船相距23 3H，甲、乙两船船头 均与河岸成 60°角，如右图所示．已知乙船恰好能 垂直到达对岸 A 点，则下列判断正确的是( )
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．甲、乙两船到达对岸的时间不同 B．v＝23 3 C．两船可能在未到达对岸前相遇 D．甲船也在 A 点靠岸
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5．河宽d＝200 m，水流速度v1＝3 m/s，船在静水中的速度v2＝5 m/s.求： (1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多 大？ (2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
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【解析】 (1)当船头指向对岸时，渡河时间最短，如图甲所示．
tmin＝vd2＝40 s 船经过的位移大小
静水中的速度是v＝5m/s.求 （1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最 短时间是多少？船经过的位移多大？ （2）欲使船渡河路程最短，船应怎样渡河？渡 河时间多长？
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5、在高处拉低处小船时，通常在河岸上通过滑轮
用钢绳拴船，若拉绳的速度为V1=4m／s，当拴船 的绳与水平方向成60°时，船的速度是多少?
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答案： D
解析： 渡河时间均为vsinH60°，乙能垂直于河 岸渡河，对乙船，由 vcos 60°＝v0，可得 v＝2v0， 甲船在该时间内沿水流方向的位移为(vcos 60° ＋v0)vsinH60°＝23 3H 刚好到 A 点．综上所述， A、B、C 错误，D 正确．
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4、河宽d＝100m，水流速度v0=3m/s，船在
x＝vtmin＝ v21＋v22tmin≈233 m.
甲
(2)欲使船航行距离最短，需使船的实际位移(合位移)与河岸垂直，设此时船
的航行速度v2与岸成θ角，如图乙所示．
则cos θ＝vv12＝35. v′＝ v22－v21＝4 m/s 渡河时间t′＝vd′＝50 s.
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【答案】 (1)船头指向对岸 40 s 233 m (2)船头指向上游，与岸所成角的余弦值为35 50 s