椭圆小总结(基础版)

高二数学促中
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点P到两个定点F₁、F₂的距离之和等于常数(|PFᵢ |+|PF₂|=2a>|F₁F₂|) ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意：若|PF₁ |+|PF₂ |=|F₁F₂|,则动点P的轨迹为线段F₁F₂；
若|PF₁ |+|PF₂|<|F₁F₂|,则动点P的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的简单几何性质
椭圆：x 2
a 2+y2
b2
=1(a⟩b>0)与y2
a2
+x2
b2
=1(a⟩b>0)的简单几何性质
标准方程x2
a2+
y2
b2
=1(a>b>0)
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
图形
性质
焦点
F₁(-c,0),F₂(c,0)F₁(0,-c),F₂(0,c)
焦距
| F₁F₂|=2c| F₁F₂|=2c
范围
| x│≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a
对称性关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(±a,0),(0,±b)
(0,±a),(±b,0)轴长长轴长=2a,短轴长=2b长半轴长=a,短半轴长=b(注意看清题目)
例题解析
一、椭圆定义及标准方程：
例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x 轴上，焦距为4，且过点（5
2
，−3
2
）；
（2）若a =3b ,且过点P （3,0）； （3）过点A(√3,−2),B(−2√3,1)；
例2：已知B , C 是两个定点，|BC|=6，且ΔABC 的周长为16，求顶点A 的轨迹方程.
例3：（1）已知 ΔABC 的顶点B ，C 在椭圆
x 23
+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭
圆的另外一个焦点在BC 边上，则 ΔABC 的周长是___________; （2）已知F 1，F 2是椭圆C:
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点， 且PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，若ΔPF 1F 2的面积为9，则b=__________； （3）已知F 1，F 2是椭圆C:x 29
+
y 24
=1的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2=60°，
求ΔPF 1F 2的面积.
二、椭圆的几何性质： 增加知识点：
1. 焦半径：椭圆上的点与焦点的连线段.
设P(x 0，y 0)，则|PF 1|=a +ex 0，（e 为椭圆离心率） 2. 过焦点（x 轴上）的弦与椭圆交点坐标（±c ，±
b 2a
）
例4：（1）已知椭圆的一个焦点为F （1,0），离心率为12
，则椭圆的标准方程为________； （2）椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m =_________; （3）已知椭圆C ：
x 2a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为
√3
3
，过F 2的直线 l 交C 于A 、B 两点，若ΔAF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为__________;
例5：（求离心率） （1）设椭圆C ：x 2
a 2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的左右焦点为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，
∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为___________； （2）设椭圆C ：
x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A 、B 两
点，连接AF ，BF ，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF =
45
，则C 的离心率为___________；
（3）设椭圆C ：
x 2a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相
较于A 、B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为____________
练习 ：
题型2 求离心率的值
1.[江西南昌二中2019高二检测]已知椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为
A ，点
B 在椭圆上，且BF 与x 轴垂直，直线AB 交y 轴于点P.若 |AP||PB|
=3, 则椭圆的离心率是 ( )
A.√3
2
B.
√2
2
C.12
D.1
3
2.如图，已知F ₁，F ₂分别是椭圆的左、右焦点，现以F ₂为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M ，N.若直线MF ₁是圆F ₂的切线，则椭圆的离心率为( )
A.√3−1
B.2−√3
C.
√2
2
D.
√3
2
3.[福建漳州2020高二检测]已知椭圆
C:
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F ₁,F ₂,M 为椭圆上一动点.△F ₁MF ₂面积的最大值为
12
ab,则椭圆的离心率为
( )
A.1
2
B.1
C.3
5
D.√3−1
4.[四川内江2019高二期末]椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a >b >0)短轴的一个端点和两个焦点
相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为b 5
,则该椭圆的离心率为 .。