2024届廊坊市第一中学数学八年级第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届廊坊市第一中学数学八年级第二学期期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象如图所示，当y >0时，x 的取值范围是（ ）
A ．x >0
B ．x <0
C ．x >-1
D ．x >2
2．在□ABCD 中，点P 在对角线AC 上，过P 作EF ∥AB ，HG ∥AD ，记四边形BFPH 的面积为S 1，四边形DEPG 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是（ ）
A ．S 1>S 2
B ．S 1=S 2
C ．S 1<S 2
D ．无法判断
3．如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，3BC =，30DCB ∠=，动点E 从B 点出发，沿B C D A ---运动至A 点停止，设运动的路程为x ，ABE ∆的面积为y ，则y 与x 的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．下列结论中正确的有 （ ）
①若一个三角形中最大的角是80°，则这个三角形是锐角三角形
②三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
③一个三角形最少有一个角不小于60°
④一个等腰三角形一定是钝角三角形
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A ．AB=CD
B ．AD=B
C C ．AB=BC
D ．AC=BD
6．多项式 x 2 - 4 因式分解的结果是（ ）
A ．(x + 2)2
B ．(x - 2)2
C ．(x + 2)(x - 2)
D ．(x + 4)(x - 4)
7．下列方程中，是一元二次方程的为( )
A ．20ax bx c ++=
B ．230x x +=
C ．2110x x +=
D ．()2210x x x +--= 8．无理数5+1在两个整数之间，下列结论正确的是（ ）
A ．2-3之间
B ．3-4之间
C ．4-5之间
D ．5-6之间 9．函数
的图象不经过第二象限，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
10．如图，在平行四边形ABCD 中，点A 1, A 2, A 3, A 4和C 1, C 2, C 3, C 4分别是AB 和CD 的五等分点，点B 1, B 2和D 1,D 2分别是BC 和DA 的三等分点.已知四边形A 4B 2C 4D 2的面积为18，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．22
B ．25
C ．30
D ．15 11．如图，在
中，分别以点A ，C 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ．若，，则的周长是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
12．如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°
,BD 平分∠ABC ．若CD=3,BC+AB=16,则△ABC 的面积为()
A ．16
B ．18
C ．24
D ．32
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝8，AO ＝BO ，点M 是射线CO 上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为______．
14．函数2(y kx k k =-+为任意实数)的图象必经过定点，则该点坐标为____．
15．如图，平行四边形ABCD 中，8AB =，12BC =，∠120B =，点E 是BC 的中点，点P 在ABCD 的边上，若PBE ∆为等腰三角形，则EP 的长为__________．
16．如图，在四边形ABCD 中，已知AB=CD ，再添加一个条件 _______（写出一个即可），则四边形ABCD 是平行四边形．（图形中不再添加辅助线）
17．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO =30º，则∠ACB 的为_____º.
18．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD 交CD 于点E ，AE 的垂直平分线交AB 于点G ，交AE 于点F ．若
AD ＝4cm ，BG ＝1cm ，则AB ＝_____cm ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图1．在边长为10的正方形ABCD 中，点M 在边AD 上移动（点M 不与点A ，D 重合），MB 的垂直平分线分别交AB ，CD 于点E ，F ，将正方形ABCD 沿EF 所在直线折叠，则点B 的对应点为点M ，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，
（1）若4AM =，求BE 的长；
（2）随着点M 在边AD 上位置的变化，MBP ∠的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MBP ∠的度数；
（3）随着点M 在边AD 上位置的变化，点P 在边CD 上位置也发生变化，若点P 恰好为CD 的中点（如图2），求CF 的长．
20．（8分）如图，等边三角形ABC 的边长是6，点D 、F 分别是BC 、AC 上的动点，且BD ＝CF ，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接BF 、EF ．
（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；
（2）连接DF ，当BD 的长为何值时，△CDF 为直角三角形？
（3）设BD ＝x ，请用含x 的式子表示等边三角形ADE 的面积．
21．（8分）如图，正比例函数2y x =的图象与反比例函数(0)k y k x
=
≠的图象交于A ，B 两点，其中点B 的横坐标为1-．
（1）求k 的值．
（2）若点P 是x 轴上一点，且6ABP S ∆=，求点P 的坐标．
22．（10分）先化简，再求值()222191691
a a a a a a --÷+⨯++-，其中a=-2 23．（10分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线24AC =，30ACO ∠=︒．
(1)求点B 的坐标；
(2)把矩形OABC 沿直线DE 对折，使点C 落在点A 处，折痕DE 分别与OC 、AB 、AC 相交于点D 、E 、F ，求直线DE 的解析式；
(3)若点M 在直线DE 上，平面内是否存在点N ，使以O 、F 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）求证：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形是菱形.
（1）根据所给的图形，将已知、求证补充完整：
已知：如图，在四边形ABCD 中，AC BD =，_______________________.
求证：____________________.
（2）证明这个命题.
25．（12分）
为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）.
根据上述信息，解答下列各题：
×
（1）该班级女生人数是__________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；
（2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；
（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）. 统计量
平均数（次） 中位数（次） 众数（次） 方差 … 该班级男生 3 3 4 2 …
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.
26．已知关于x 的方程226350x x m m -+--=的一个根为一1，求另一个根及m 的值.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解题分析】
首先找到当y＞0时，图象所在位置，再根据图象可直接得到答案．
【题目详解】
当y＞0时，图象在x轴上方，
∵与x交于（-1，0），
∴y＞0时，自变量x的取值范围是x＞-1，
故选：C．
【题目点拨】
考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中找到对应的直线．
2、B
【解题分析】
【分析】先证四边形ABPE和四边形PFCG都是平行四边形，再利用平行四边形对角线平分
四边形面积即可.
【题目详解】因为，在□ABCD中，点P在对角线AC上，过P作EF∥AB，HG∥AD，
所以，四边形边形ABPE和四边形PFCG都是平行四边形，
所以，S△ABC=S△CDA,S△AEP=S△PHA,S△PFC=S△CGP,
所以，S△ABC- S△AEP - S△PFC =S△CDA- S△PHA- S△CGP,
所以，S△BFPH=S△DEPG，即：S1=S2
故选：B
【题目点拨】本题考核知识点：平行四边形性质.解题关键点：平行四边形对角线平分四边形面积.
3、D
【解题分析】
当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，当点E在DC上运动时，三角形的面积不变，当点E在AD上运动时三角形的面积不等减小，然后计算出三角形的最大面积即可得出答案．
【题目详解】
当点E在BC上运动时,三角形的面积不断增大,最大面积=1
2
×3×
1
2
×4=3；
当点E在DC上运动时，三角形的面积为定值3.
当点E在AD上运动时三角形的面不断减小，当点E与点A重合时，面积为0.
故选：D.
【题目点拨】
此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于结合函数图象进行解答.
4、B
【解题分析】
根据锐角三角形的定义判断①；根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断②；根据三角形的内角和定理判断③；根据等腰三角形的性质判断④．
【题目详解】
解：①若一个三角形中最大的角是80°，则这个三角形是锐角三角形，根据锐角三角形的定义可知，本说法正确；
②三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故此说法错误；
③如果三角形中每一个内角都小于60°，那么三个角三个角的和小于180°，与三角形的内角和定理相矛盾，故此说法正确；
④一个等腰三角形，它的顶角既可以是钝角，也可以是直角或锐角，所以等腰三角形不一定是钝角三角形，此说法错误；
正确的说法是①④，共2个
故选：B．
【题目点拨】
本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角形及钝角三角形，熟记定理与性质是解题的关键．
5、C
【解题分析】
要使四边形ABCD是菱形，根据题中已知条件四边形ABCD的对角线互相平分可以运用方法“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”或“邻边相等的平行四边形是菱形”，添加AC⊥BD或AB=BC．
【题目详解】
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴要使四边形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB=BC，
【题目点拨】
考查了菱形的判定方法，关键是熟练把握菱形的判定方法①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
6、C
【解题分析】分析：根据公式a 2﹣b 2=（a +b ）（a ﹣b ），进行计算即可．
详解：x 2﹣4=（x +2）（x ﹣2）．
故选C ．
点睛：本题主要考查对因式分解﹣平方差公式的理解和掌握，能熟练地运用公式分解因式是解答此题的关键． 7、B
【解题分析】
根据一元二次方程的概念逐一进行判断即可得.
【题目详解】
A. 2ax bx c 0++=，当a=0时，不是一元二次方程，故不符合题意；
B. 2x 3x 0+=，是一元二次方程，符合题意；
C. 2110x x
+=，不是整式方程，故不符合题意； D. ()2x 2x x 10+--=，整理得：2+x=0，不是一元二次方程，故不符合题意，
故选B.
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“只含一个未知数，并且含有未知数的项的次数最高为2次的整式方程是一元二次方程”是解题的关键.
8、B
【解题分析】
在哪两个整数之间
【题目详解】
解：∵22=1，32=9，
∴23；
∴3＜1．
【题目点拨】
此题主要考查了无理数的估算能力，需掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
9、A
【解题分析】 根据图象在坐标平面内的位置关系确定的取值范围，从而求解．
【题目详解】 解：一次函数的图象不经过第二象限，
则可能是经过一三象限或一三四象限，
经过一三象限时，k -2=1；
经过一三四象限时，k -2＜1． 故．
故选：A ．
【题目点拨】 本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
10、C
【解题分析】
可以设平行四边形ABCD 的面积是S ，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD 的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A 4B 2C 4D 2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
【题目详解】
解：设平行四边形ABCD 的面积是S ，设AB=5a ，BC=3b ．AB 边上的高是3x ，BC 边上的高是5y ． 则S=5a•3x=3b•5y ．即ax=by=15
S ． △AA 4D 2与△B 2CC 4全等，B 2C=13
BC=b ，B 2C 边上的高是45•5y=4y ． 则△AA 4D 2与△B 2CC 4的面积是2by=215
S ． 同理△D 2C 4D 与△A 4BB 2的面积是15
S ． 则四边形A 4B 2C 4D 2的面积是S-215S-215S-15S -15S =35S ，
即3
5
S=18，
解得S=1．
则平行四边形ABCD的面积为1．
故选：C．
【题目点拨】
本题考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解题的关键．11、A
【解题分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AC，如图，则DA=DC，然后利用等线段代换得到△ABD的周长=AB+BC．
【题目详解】
解：由作法得MN垂直平分AC，如图，
∴DA=DC，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=3+4=1．
故选：A．
【题目点拨】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
12、C
【解题分析】
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再根据S△ABC=S△BCD+S△ABD列式计算即可得解．
【题目详解】
如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=3，
∴S△ABC=S△BCD+S△ABD=1
2
BC⋅CD+
1
2
AB⋅DE=
1
2
(BC+AB)×3
∵BC+AB=16，
∴△ABC的面积=1
2
×16×3=24.
故选C.
【题目点拨】
本题考查角平分线的性质定理，作辅助线是解题关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、或 1
【解题分析】
分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．
【题目详解】
如图1，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OB=1，
又∵∠AOC=∠BOM=60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM=BO=1，
∴Rt△ABM中，AM
如图2，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OA=1，
又∵∠AOC=60°，
∴△AOM是等边三角形，
∴AM=AO=1；
如图3，当∠ABM=90°时，
∵∠BOM=∠AOC=60°，
∴∠BMO =30°
， ∴MO =2BO =2×
1=8， ∴Rt △BOM 中，BM =22MO OB -=43，
∴Rt △ABM 中，AM =22AB BM +=47．
综上所述，当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为43或47或1．故答案为43或47或1．
14、 (1，2)
【解题分析】
先把函数解析式化为y=k （x-1）+2的形式，再令x=1求出y 的值即可．
【题目详解】
解：函数y kx k 2=-+可化为()y k x 12=-+，
当x 10-=，即x 1=时，y 2=，
∴该定点坐标为()1,2．
故答案为：()1,2．
【题目点拨】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，把原函数的解析式化为y=k （x-1）+2的形式是解答此题的关键．
15、357或1
【解题分析】
根据点P 所在的线段分类讨论，再分析每种情况下PBE ∆腰的情况，然后利用直角三角形的性质和勾股定理分别求值即可．
【题目详解】
解：①当点P在AB上时,由∠ABC=120°,此时PBE
∆只能是以∠PBE为顶角的等腰三角形,BP=BE,过点B作BF⊥PE 于点F,如下图所示
∴∠FBE=1
2
∠ABC=10°,EP=2EF
∴∠BEF=90°－∠FBE=30°∵12
BC=，点E是BC的中点
∴BE=1
6 2
BC=
在Rt△BEF中，BF=1
3 2
BE=
根据勾股定理：EF=2233
BE BF
-=
∴EP=2EF=63；
②当点P在AD上时，过点B作BF⊥AB于F，过点P作PG⊥BC，如下图所示
∵∠ABC=120°
∴∠A=10°
∴∠ABF=90°－∠A=30°
在Rt△ABF中AF=1
4
2
AB=，2243
AB AF BE
-=>
∴BP≥BF＞BE，EP≥BF＞BE
∴此时PBE
∆只能是以∠BPE为顶角的等腰三角形,BP=PE,
∴PG=BF=43EG=1
3 2
BE=
根据勾股定理：2257
PG GE
+=
③当点P在CD上时，过点E作EF⊥CD于F，过点B作BG⊥CD
由②可知：BE的中垂线与CD无交点，
∴此时BP≠PE
∵∠A=10°，四边形ABCD为平行四边形
∴∠C=10°
在Rt△BCG中，∠CBG=90°－∠C=30°，CG=1
6 2
BC=
根据勾股定理：2263
BC CG BE
-=>
∴BP≥BG＞BE
∵EF⊥CD，BG⊥CD，点E为BC的中点
∴EF为△BCG的中位线
∴EF=1
33
2
BG BE
=<
∴此时PBE
∆只能是以∠BEP为顶角的等腰三角形,BE=PE=1．
综上所述：EP的长为6357或1．
故答案为：6357或1
【题目点拨】
此题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质和勾股定理，掌握三线合一、30°所对的直角边是斜边的一半、利用勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
16、AD=BC（答案不唯一）
【解题分析】
可再添加一个条件AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形ABCD是平行四边形．17、60°
【解题分析】
首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．
【题目详解】
解：△AOB 中，OA=OB ，∠ABO=30°；
∴∠AOB=180°-2∠ABO=120°；
∴∠ACB=
12
∠AOB=60°． 故选A ．
【题目点拨】
本题考查圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
18、1
【解题分析】
根据题意先利用垂直平分线的性质得出AF ＝EF ，∠AFG ＝∠EFD ＝90°，DA ＝DE ，再证明△DEF ≌△GAF （ASA ），从而得DE ＝AG ，然后利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证明四边形DAGE 为平行四边形，之后利用一组邻边相等的四边形为菱形证明DAGE 为菱形，从而可得AG ＝AB ，最后将已知线段长代入即可得出答案．
【题目详解】
解：∵AE 的垂直平分线为DG
∴AF ＝EF ，∠AFG ＝∠EFD ＝90°，DA ＝DE
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，DC ＝AB ，
∴∠DEA ＝∠BAE
∵AE 平分∠BAD 交CD 于点E
∴∠DAE ＝∠BAE
∴在△DEF 和△GAF 中 DEA BAE EF AF
EFD AFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△DEF ≌△GAF （ASA ）
∴DE ＝AG
又∵DE ∥AG
∴四边形DAGE 为平行四边形
又∵DA ＝DE
∴四边形DAGE 为菱形．
∴AG ＝AD
∵AD ＝4cm
∴AG＝4cm
∵BG＝1cm
∴AB＝AG+BG＝4+1＝1（cm）
故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查平行四边形的判定与性质及菱形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．三、解答题（共78分）
19、（1）29
5
；（2）不变，45°；（3）
20
9
．
【解题分析】
（1）由翻折可知：EB=EM，设EB=EM=x，在Rt△AEM中，根据EM2=AM2+AE2，构建方程即可解决问题．
（2）如图1-1中，作BH⊥MN于H．利用全等三角形的性质证明∠ABM=∠MBH，∠CBP=∠HBP，即可解决问题．（3）如图2中，作FG⊥AB于G．则四边形BCFG是矩形，FG=BC，CF=BG．设AM=x，在Rt△DPM中，利用勾股定理构建方程求出x，再在Rt△AEM中，利用勾股定理求出BE，EM，AE，再证明AM=EG即可解决问题．
【题目详解】
（1）如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD=10，
由翻折可知：EB=EM，设EB=EM=x，
在Rt△AEM中，∵EM2=AM2+AE2，
∴x2=42+（10-x）2，
∴x=29
5
．
∴BE=29
5
．
（2）如图1-1中，作BH⊥MN于H．
∵EB=EM，
∴∠EBM=∠EMB，
∵∠EMN=∠EBC=90°，
∴∠NMB=∠MBC，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，
∴∠AMB=∠BMN，
∵BA⊥MA，BH⊥MN，
∴BA=BH，
∵∠A=∠BHM=90°，BM=BM，BA=BH，∴Rt△BAM≌△BHM（HL），
∴∠ABM=∠MBH，
同法可证：∠CBP=∠HBP，
∵∠ABC=90°，
∴∠MBP=∠MBH+∠PBH=1
2
∠ABH+
1
2
∠CBH=
1
2
∠ABC=45°．
∴∠PBM=45°．
（3）如图2中，作FG⊥AB于G．则四边形BCFG是矩形，FG=BC，CF=BG．设AM=x，
∵PC=PD=5，
∴PM+x=5，DM=10-x，
在Rt△PDM中，（x+5）2=（10-x）2+25，
∴x=10
3
，
∴AM=10
3
，
设EB=EM=m，
在Rt△AEM中，则有m2=（10-m）2+（10
3
）2，
∴m=50
9
，
∴AE=10-5040 99
=，
∵AM⊥EF，
∴∠ABM+∠GEF=90°，∠GEF+∠EFG=90°，∴∠ABM=∠EFG，
∵FG=BC=AB，∠A=∠FGE=90°，
∴△BAM≌△FGE（AAS），
∴EG=AM=10
3
，
∴CF=BG=AB-AE-EG=10-104020 399
-=．
【题目点拨】
此题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
20、（1）见解析；（2）BD＝2或4；（3）S△ADE x﹣3）2+
4
（0≤x≤6）
【解题分析】
(1)：要证明四边形BDEF是平行四边形，一般采用对边平行且相等来证明，因为已经有了DB=CF，只要有△ABD全等△ACE，就能得到∠ACE=∠ABD=60°，CE=CF=EF=BD，再利用∠CFE＝60°＝∠ACB，就能平行，故第一问的证；
(2)：反推法，当△CDF为直角三角形，又因为∠C=60°，当∠CDF=90°时，可以知道
2CD=CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=4，当∠CFD=90°时，可以知道CD=2CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=2，故当BD=2或4时，△CFD为直角三角形；
(3)：求等边三角形ADE的面积，只要知道边长就可求出，但是AD是变化的，所以我们采用组合面积求解，利用四边形ADCE减去△CDE即可，又因为△ABD≌△ACE，所以四边形ADCE的面积等于△ABD的面积，所以只需要求出△ABC的面积与△CDE即可,从而即可求面积.
【题目详解】
解：（1）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABD＝∠BCF＝60°，∵BD＝CF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），
∴BD＝CF，
如图1，连接CE，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝60°，BD＝CE，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CF＝BD，∠CFE＝60°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∵BD＝EF，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）∵△CDF为直角三角形，
∴∠CFD＝90°或∠CDF＝90°，
当∠CFD＝90°时，∵∠ACB＝60°，
∴∠CDF＝30°，
∴CD＝2CF，
由（1）知，CF＝BD，
∴CD＝2BD，
即：BC＝3BD＝6，
∴BD＝2，
∴x＝2，
当∠CDF＝90°时，∵∠ACB＝60°，
∴∠CFD＝30°，
∴CF＝2CD，
∵CF ＝BD ，
∴BD ＝2CD ，
∴BC ＝3CD ＝6，
∴CD ＝2，
∴x ＝BD ＝4，
即：BD ＝2或4时，△CDF 为直角三角形；
（3）如图，
连接CE ，由（1）△ABD ≌△ACE ，
∴S △ABD ＝S △ACE ，BD ＝CE ，
∵BD ＝CF ，
∴△CEF 是等边三角形，
∴EM ，
∴S △CDE ＝12CD×EM ＝12（6﹣x ）×2
x ＝4x （6﹣x ） ∴BH ＝CH ＝
12BC ＝3，
∴AH ＝
∴S △ABC ＝12
BC•AH ＝ ∴S △ADE ＝S 四边形ADCE ﹣S △CDE
＝S △ACD +S △ACE ﹣S △CDE
＝S △ACD +S △ABD ﹣S △CDE
＝S △ABC ﹣S △CDE
＝﹣4
x （6﹣x ）
x ﹣3）2+4
（0≤x≤6）
【题目点拨】
第一问虽然求证平行四边形，实际考查三角形全等的基本功
第二问，主要考查推理能力，把△CFD 为直角三角形当做条件，来求BD 的长，但是需要注意的是，写过需要先给出BD 的长，来证明△CFD 为直角三角形，
第三问，考查面积，主要利用组合图形求面积
21、（1）k=2；（2）P 点的坐标为(3,0)或(3,0)-．
【解题分析】
（1）把1x =-代入正比例函数2y x =的图象求得纵坐标，然后把B 的坐标代入反比例函数(0)k y k x
=≠，即可求出k 的值；
（2）因为A 、B 关于O 点对称，所以OA OB =，即可求得132
AOP ABP S S ∆∆==，然后根据三角形面积公式列出关于m 的方程，解方程即可求得．
【题目详解】
解：（1）正比例函数2y x =的图象经过点B ，点B 的横坐标为1-．
2(1)2y ∴=⨯-=-，
∴点(1,2)B --， ∵反比例函数(0)k y k x
=≠的图象经过点(1,2)B --，
1(2)2k ∴=-⨯-=；
（2）OA OB =，
132
AOP ABP S S ∆∆∴==， 设(,0)P m ，则1||232
m ⨯=， ||3m ∴=，即3m =±，
P ∴点的坐标为(3,0)或(3,0)-．
【题目点拨】
本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，三角形的面积等知识点，利用数形结合是解答此题的关键．
22、33
a a -+,原式=-5； 【解题分析】
先把除法运算转化为乘法运算，再把分子分母运用完全平方公式和平方差公式因式分解，约去公因式，化成最简形式，再把a 的值代入求值.
【题目详解】
原式()()()
()()211331113a a a a a a a +-+-=⋅⋅+-+ 33
a a -=+， 当2a =-时，原式5=-.
【题目点拨】
这道求代数式值的题目，不应考虑把a 的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，把除法转换为乘法，约去分子分母中的公因式，然后再代入求值.
23、（1）B ；
（2）12y =- ；（3）存在符合条件的点N 共有4个，分别为 1N 2(6,N --
36)N - 4N
【解题分析】
分析：（1）利用三角函数求得OA 以及OC 的长度，则B 的坐标即可得到；
（2）分别求出D 点和E 点坐标，即可求得DE 的解析式；
（3）分当FM 是菱形的边和当OF 是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得N 的坐标．
详解：（1）在直角△OAC 中，tan ∠ACO=3
OA OC =，
∴设OA=3x ，则OC=3x ， 根据勾股定理得：（3x ）2+（3x ）2=AC 2，
即9x 2+3x 2=571，
解得：x=43．
则C 的坐标是：（123，0），B 的坐标是（123,12）；
（2）由折叠可知12AF CF == 90AFE DFC ∠=∠=︒，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ∥CD ，
∴30BAC ACO ∠=∠=︒，
∴AE CD ==83，
∴()43,0D ()
83,12E 设直线DE 的解析式为y kx b =+，则4308312
k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，
解得312k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
； ∴312y x =-.
（3）∵OF 为Rt △AOC 斜边上的中线，
∴OF=12
AC=12， ∵()43,0D ()
83,12E ， ∴tan ∠EDC=12=343
∴DE 与x 轴夹角是10°
， 当FM 是菱形的边时（如图1），ON ∥FM ，
∴∠NOC=10°或120°．
当∠NOC=10°时，过N作NG⊥y轴，
∴NG=ON•sin30°=12×1
2
=1，OG=ON•cos30°=12×
3
2
=13，
此时N的坐标是（1，13）；
当∠NOC=120°时，与当∠NOC=10°时关于原点对称，则坐标是（-1，-13）；当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称，
∵F的坐标是（31），
∴∠FOD=∠NOF=30°，
在直角△ONH中，OH=1
2
OF=1，ON=
3
3
OH
cos NOH
==
∠
作NL⊥y轴于点L．
在直角△ONL中，∠NOL=30°，
∴NL=1
2
ON=23OL=ON•cos30°=3×
3
．
此时N的坐标是（31）．
当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，
此时点N的坐标为：（3-1）．
则N的坐标是：（3-1）或（1，3-1，3）或（31）．
点睛：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及菱形的性质，本题对于N的位置的讨论是解第三问的关键．
24、（1）E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，（2）四边形EFGH为菱形.
【解题分析】
（1）根据所给的图形，将已知、求证补充完整即可；
（2）由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．
【题目详解】
（1）已知：如图，在四边形ABCD中，AC BD
，E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，
求证：四边形EFGH为菱形.
（2）证明：∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，
∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，
∴EH∥BD，EH=1
2
BD，FG∥BD，FG=
1
2
BD，
∴EH∥FG，EH=FG=1
2 BD，
∴四边形EFGH为平行四边形，又EF为△ABC的中位线，
∴EF=1
2
AC，又EH=
1
2
BD，且AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形．
【题目点拨】
此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，以及菱形的判定，利用了数形结合及等量代换的思想，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键．
25、（1）20，1；（2）2人；（1）男生比女生的波动幅度大．
【解题分析】
（1）将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平均数．
（2）先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”，再列方程解答即可．
（1）比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小，需要求出女生的方差．
【题目详解】
（1）该班级女生人数是2+5+6+5+2=20，女生收看“两会”新闻次数的中位数是1．
故答案为20，1．
（2）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为
1320=65%，所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%．设该班的男生有x 人，则136x x
-++（）=60%，解得：x =2． 答：该班级男生有2人． （1）该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为
122536455220⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1，女生收看“两会”新闻次数的方差为：2222223153263353423520
⨯-+⨯-+⨯-+-+-（）（）（）（）（）=1310． ∵2＞1310
，∴男生比女生的波动幅度大． 【题目点拨】
本题考查了平均数，中位数，方差的意义．解题的关键是明确平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
26、1212m m ==，，另一根为7.
【解题分析】
把x=-1代入方程可得关于m 的方程，解方程可求得m 的值，把m 的值代入原方程得到关于x 的方程，解方程即可求得另一个根.
【题目详解】
把x=-1代入方程得1+6+m 2-3m-5=0，
即m 2-3m+2=0，解得12m 1m 2==，，
当m=1或m=2时，方程为x ²-6x-7=0，
解得x=-1或x=7，即另一根为7，
综上可得12m 1m 2==，，另一根为7.
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的根以及解一元二次方程，正确把握一元二次方程根的定义以及解一元二次方程的方法是解题的关键.。